Неувязки с размерностью

В своей книге "Элегантная вселенная" Брайан Грин пишет следующее

В 1987 г. Шин-Тун Яу и его студент Ганг Тиан, работающий сейчас в Массачусетсом технологическом институте, сделали интересное математическое наблюдение. Используя хорошо известный математический прием, они обнаружили, что одни многообразия Калаби-Яу можно преобразовать в другие путем протыкания их поверхности и сшивания образовавшегося отверстия согласно строго определенной математической процедуре. Грубо говоря, они обнаружили, что внутри исходного пространства Калаби-Яу можно выделить двумерную сферу определенного вида.

(Двумерная сфера аналогична поверхности надувного мяча, который, как и все знакомые нам объекты, трехмерен. Здесь, однако, мы говорим только о поверхности, не учитывая толщину материала, из которого сделан мяч, а также пространство внутри него. Точки на поверхности мяча определяются двумя числами, «широтой» и «долготой», аналогично тому, как определяются координаты на поверхности Земли. Вот почему поверхность мяча, как и поверхность упоминавшегося в предыдущих главах Садового шланга, является двумерной.)

 Приведу отдельно ключевую фразу:

Точки на поверхности мяча определяются двумя числами, «широтой» и «долготой». Вот почему поверхность мяча является двумерной.

В школе на уроках линейной алгебры нас учили иначе:

Число k называется  размерностью линейного пространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любая система из k+1 вектора — линейно зависима.

Обозначается dim L = k. Пространство L называется k- мерным. Иногда обозначается Lk.

И еще давали фундаментальное свойство - размерность остается неизменной при любых линейных преобразованиях пространства.

Следовательно, чтобы поверхность мяча была двумерным пространством, необходимо показать что она получена из плоскости в результате линейного преобразования. Но искривление пространства по определению является преобразованием нелинейным и Брайан Грин никак не сможет без искривления натянуть круг на шар. Придется и гнуть, и растягивать, и склеивать.

За этим утверждением автора просматривается некое лукавство, он как бы подтекстно говорит "Мы-то с вами знаем что поверхность мяча 3-мерная, но давайте прикинемся что она двумерная, математика ведь глупая, она  не заметит". 

В данном случае автор явно указывает что речь идет именно о математике, поэтому и возникло возражение. Но вопрос этот дискуссионный, дело в том что в дифференциальном плане автор прав, в любой точке поверхности мяча пространство двумерное, но интегрально все обстоит иначе - любая область на поверхности мяча 3-мерная.