Перколяция

[Говоря о перестройке общества, мы, по существу, говорим о социальном фазовом переходе. О переходе из режима броуновского движения индивидов к режиму конвекции.  Поэтому, думаю, не повредит немного познакомиться с наукой, которая изучает подобные переходные режимы. Конечно, сидеть и набирать формулы в редакторе - дело малоприятное. Но немного покажу, что такое перколяция.

За основу я взял книгу Ю.Тарасевича "Перколяция. Теория, приложения, алгоритмы". - МИБ.]

… следует проявлять осторожность, объявляя, что некоторая область науки близка к завершению. … К моему удивлению, теория перколяции не мертва.
Дитрих Штауффер

 

Предисловие

Теории перколяции уже более пятидесяти лет. Ежегодно на Западе публикуются сотни статей, посвященных как теоретическим вопросам перколяции, так и ее приложениям. Опубликована несколько монографий, посвященных как теории, так и приложениям, а также обзоров. К сожалению, в нашей стране о теории перколяции знают немногие. Во многом это связано с тем, что литература по теории перколяции на русском языке довольно скудна. Мне известна единственная книга отечественных авторов, вышедшая на русском языке и целиком посвященная перколяции (речь о книге Эфроса в библиотечке “Квант”). Даже если добавить несколько книг, в том числе и переводных, где теории перколяции посвящены отдельные главы  — список оказывается не очень впечатляющим.

С одной стороны, ощущается потребность в книге, которая могла бы послужить учебником на начальном этапе знакомства с перколяцией. С другой стороны, монография, которая отражала бы последние достижения теории перколяции и состояние проблемы на сегодняшний день, тоже весьма актуальна. Эти две во многом взаимоисключающие друг друга задачи послужили толчком для написания книги. В какой мере удалось выполнить поставленную задачу, судить читателям.

Теория перколяции имеет дело с образованием связанных объектов в неупорядоченных средах. С точки зрения математика теорию, перколяции следует отнести к теории вероятности на графах. С точки зрения физика, перколяция — это геометрический фазовый переход. С точки зрения программиста — широчайшее поле для разработки новых алгоритмов. С точки зрения практика — простой, но мощный инструмент, позволяющий в едином подходе решать самые разнообразные жизненные задачи.

Теория перколяции привлекает к себе внимание специалистов по ряду причин:

• легкие и элегантные формулировки задач теории протекания сочетаются с трудностью их решения;
• их решение требует объединения новых идей из геометрии, анализа и дискретной математики;
• физическая интуиция бывает весьма плодотворной при решении этих задач;
• техника, развитая для теории перколяции, имеет многочисленные приложения в других задачах о случайных процессах;
• теория перколяции дает ключ к пониманию иных физических процессов.

То, что перколяцией занимаются специалисты в разных областях, породило определенные проблемы: исследователи порой плохо ориентируясь в работах по перколяции, выполненных специалистами из другой предметной области. Гриммет пишет: «Перколяция стала предметом энергичных исследований математиков и физиков, каждая группа использует свой собственный язык». Штауффер призывает специалистов в области компьютерных экспериментов читать работы специалистов в области математической физики и наоборот. Это способствовало бы, по его мнению, большему прогрессу в теории перколяции.

Введение

Исторически теория перколяции восходит к работам Флори (1941)  и Стокмайера (1943), которые рассматривали процесс образования гелей при полимеризации. Однако, обычно начало теории перколяции связывают с публикацией в 1957 г.

работы Броадбента и Хаммерсли. Авторы ввели в обиход название «теория перколяции» и рассмотрели процесс с математической точки зрения. Термин перколяция использовался для противопоставления диффузии: если в случае диффузии мы имеем дело со случайным блужданием частицы в регулярной среде, то в случае перколяции речь идет о регулярном движении (например, течении жидкости или тока) в случайной среде.

В настоящее время перколяционные процессы рассматриваются математиками, физиками, химиками, программистами, инженерами. Оказалось, что перколяция является удобной моделью для описания широкого класса явлений, которые принято называть критическими. С другой стороны, задача оказалась весьма интересной и с точки зрения чистой математики.

Большинство результатов теории перколяции получено в результате компьютерного моделирования. При этом приходится проводить многие тысячи компьютерных испытаний на больших объектах, что потребовало разработки эффективных алгоритмов.

Выяснилось, что теория перколяции имеет точки соприкосновения с рядом новых и перспективных направлений науки, например, перколяционные процессы могут приводить к самоорганизации и образованию структур, объекты, которые образуются при перколяции, являются фракталами.

Несмотря на то, что в теории перколяции получен ряд строгих результатов, а в ее применении достигнуты значительные успехи, она находится еще в процессе становления, многое еще предстоит понять, доказать, применить.

Что же такое перколяция? Поскольку перколяцией занимаются специалисты из разных областей знаний, то для описания перколяции используется два подхода. С одной стороны, математики применяют формальный подход, основанный на представлениях теории вероятности и теории графов, строгих доказательств и формальных обозначений. С другой стороны, естественники предпочитают более простой и наглядный подход, часто заменяя строгие доказательства ссылками на аналогию, интуицию и здравый смысл. Кажется разумным использовать для начального знакомства с теорией именно второй подход.

Рассмотрим квадратную сетку 3×3 (рис. 1.1). Закрасим часть квадратов черным цветом. В нашем случае их 3. Доля закрашенных квадратов составляет р —    Каким образом мы вибираем квадратики для закрашивания? Во-первых, можно выбирать квадратики случайно и независимо; во-вторых, можно ввести какие-либо правила. В первом случае говорят о случайной перколяции (математики называют ее еще перколяцией Бернулли), во втором — о коррелированной.

1

 

Одним из основных вопросов, на которые пытается ответить теория

перколяции, — при какой доле рс закрашенных квадратов возникает цепочка черных квадратов, соединяющая верхнюю и нижнюю стороны нашей сетки? Легко сообразить, что для сетки конечного размера такие цепочки могут возникать при разных концентрациях (рис. 1.2). Однако, если размер сетки  L устремить к бесконечности, то критическая концентрация станет вполне определенной (рис. 1.3). Это строго доказано. Такую критическую концентрацию называют порог перколяции.


 

Продолжение тут

http://kommunika.ru/?p=12350#comment-91544