Как мы перешли от слов и картинок к символическому мышлению

В этом отрывке из своей новой книги "Вектор: удивительная история пространства, времени и математических преобразований" математик Робин Арианрод исследует 4000-летнюю эволюцию языка математики — от сложных описаний к знаковой форме, которую мы знаем сегодня.

Алгебра была частью математики всегда, с тех пор, как 4000 лет назад эта наука зародилась. Но она не всегда была в той символической форме, которую мы знаем сегодня. Фактически, большую часть времени алгебра записывалась исключительно словами и цифрами, хотя в знаменитом труде Евклида «Начала» (около 300 г. до н.э.)  есть геометрические диаграммы, показывающие как расширять квадраты, которые мы сегодня записали бы формулой «(a + b)^2».

Итак, "алгебра" передавалась в виде громоздких словесных задач или все более сложных диаграмм. Потребовалось много времени, чтобы алгебра выделилась из арифметики и геометрии как отдельный предмет. Она даже не имела отдельного названия до средневековья. Ситуацию изменил персидский математик девятого века Мухаммед ибн-Мусе Аль-Хорезми. Он работал багдадском университете халифа аль-Мамуна, или "Доме мудрости". В этот период ученые собирали древние рукописи со всех концов исламской империи и переводили их на арабский.

Империализм редко бывает этичным и часто жестоким, но в конечном итоге он может привести к культурному взаимообогащению, и в данном случае так и получилось. К 12 веку европейцам пришлось изучать арабский, чтобы читать древние тексты. Именно так они заново познакомились с «Альмагестом» Птолемея и «Началами» Эвклида, попутно добавив в свою копилку знаний и работы самого аль-Хорезми. Название "алгебра”, как известно, происходит от первого слова в названии его книги "Аль-Джабр валь мукабала", что можно примерно перевести как "Сводная книга по расчетам путем завершения и балансировки". Одним из важных последствий ее перевода на латынь в Европе стала популяризация индо-арабской десятичной системы счисления, которая со временем превратилась в нашу современную.

Аль-Хорезми не записывал уравнения в символической форме, которую мы используем сегодня. На самом деле, на современный взгляд, его книга скорее арифметическая, чем алгебраическая.

И все же Аль-Хорезми часто называют "отцом алгебры". Возможно, он использовал слова, а не символы, и задачи, которые он рассматривал, были простыми - его целью, по его словам, было научить студентов решать базовые задачи. Но он систематически описывал словами линейные и квадратные уравнения с алгоритмическими методами их решения, то есть нахождение "неизвестных чисел" - наших современных x и y. Фактически, английское слово "алгоритм”, означающее набор правил для выполнения вычисления или другой операции, происходит от "algorismi”, ранней попытки латинизации работ аль-Хорезми.

Прелесть символьных уравнений в том, что гораздо легче увидеть эти общие закономерности, когда вы можете увидеть проблему с первого взгляда. Сравните это: 

Возьмите квадрат неизвестного числа, затем умножьте неизвестное число на два и вычтите результат из квадрата; теперь пусть общее число будет равно восьми.

И это: 

x^2–2*x=8

Самые ранние математики решали каждое уравнение отдельно. Они не могли вывести метод, например, x^2–ax = b, который будет работать как для уравнения x^2–2*x = 8, так и для других. В конце концов, древние математики действительно начали осознавать рациональность такого подхода, но прогресс был относительно медленным, потому что им приходилось держать все эти шаблоны в голове или в длинных, запутанных текстах.

Первыми, кто опубликовал уравнение в узнаваемой современной символической форме, были Томас Хэрриот в 1631 году, а затем Рене Декарт в приложении к своему "Рассуждению о методе" 1637 года.

Даже знаки +, −, = и ×, которые мы считаем само собой разумеющимися, получили широкое распространение только в 17 веке. Это означает, что более ранние известные нам алгебраисты — древние жители Месопотамии, египтяне, китайцы и греки, средневековые индийцы, персы и арабы, а также ранние европейцы — все выражали свои уравнения в основном словами или графическими образами.

Это уникальный навык - мыслить символически. Но символическое мышление алгоритмично и даже больше, поскольку его символы иногда содержат семена новой мысли.

Классический случай - это Альберт Эйнштейн и его E = mc^2. Эйнштейн не ставил перед собой задачу найти связь между энергией и материей. Скорее, он просто хотел рассчитать кинетическую энергию движущегося электрона в соответствии со своей новой теорией относительности, чтобы его теоретическое предсказание можно было проверить экспериментально.

Однако, лишь спустя несколько месяцев спустя 26-летний Эйнштейн начал осознавать значение своего уравнения. Это были не просто расчеты относительно определенной формы энергии и определенного типа материи, они были общими: если тело получает (или теряет) энергию, оно также получает (или теряет) массу. Эта причудливая идея чужда всему нашему здравому смыслу — но она была скрыта в символах его уравнения. Физикам-экспериментаторам потребовались десятилетия, чтобы экспериментально подтвердить это удивительное математическое предсказание.

Другим примером является последовательность степеней x, x^2, x^3 и так далее. Первая степень равна 1, поэтому x на самом деле является x^1, где 1 традиционно геометрически привязывался к одномерной линии. Следующие два, x^2 и x^3, произносятся как "x в квадрате" и "x в кубе" по аналогии с площадью квадрата и объемом куба. Эти названия подчеркивают то, как ранние математики мыслили геометрически, а не алгебраически, из-за осязаемой природы геометрии. Символьная алгебра абстрактна, вы можете записать столько конечных высших степеней, сколько захотите, без необходимости визуализировать их как физические объекты. Сегодня это может показаться очевидным, но математикам потребовалось три с половиной тысячи лет, чтобы перейти от решения квадратных уравнений к решению кубических и более высоких уравнений. Одна из причин, по которой эти решения так долго не давались, заключалась в том, что алгебра была привязана к словам и конкретным изображениям в течение очень долгого времени.

Например, древние жители Месопотамии решали квадратные уравнения, буквально вычерчивая квадрат. Вот типичная учебная задача того времени: "Прибавьте 20 от моей длины к площади моего квадрата, чтобы получить 21. Насколько квадратен мой квадрат?" Этот тип задач и алгоритм их решения аналогичны тем, которым обучают сегодня, за исключением того, что четыре тысячелетия назад метод был разработан полностью геометрически. Сначала нарисуйте квадрат произвольной стороны x (в современных обозначениях); затем добавьте к нему прямоугольник размером 20 на x. Теперь разделите этот дополнительный прямоугольник на два равных меньших и расположите их рядом с исходным квадратом и под ним. Наконец, заполните этот новый квадрат большего размера, как показано на рисунке 1.2.

Жители Месопотамии имели в виду практические проблемы, когда разрабатывали этот метод, по крайней мере, на начальном этапе. Живя в стране, где вода была в большом почете, их таблички содержали множество задач, касающихся выемки каналов и водохранилищ, вместимости цистерн, строительства и ремонта плотин и дамб, а также административных отчетов, связанных с этими задачами — и для решения этих задач этим древним математикам приходилось решать уравнения, относящиеся к площадям и объемам.