Математики вычислили "невозможное" девятое число Дедекинда

Математики, вооруженные суперкомпьютерами, наконец-то определили значение огромного числа, которое ранее считалось невозможным для вычисления. Речь о "девятом числе Дедекинда" или D (9).

Каждое число Дедекинда представляет собой количество возможных конфигураций определенного вида логической операции "правда-ложь" в разных пространственных измерениях. (Первое число в последовательности - D (0), которое представляет нулевые измерения. Вот почему D (9), представляющее девять измерений, является 10-м числом в последовательности.)

Числа Дедекинда становятся все больше для каждого нового измерения, что затрудняет их точное определение. Восьмое число Дедекинда было рассчитано в 1991 году. После этого некоторые математики сочли невозможным вычислить точное значение девятого числа Дедекинда.

Но теперь два несвязанных исследования от разных исследовательских групп — первое, отправленное на сервер препринтов arXiv 5 апреля, и второе, отправленное на тот же сервер 6 апреля, — сделали невозможное. В ходе исследований, в каждом из которых использовался суперкомпьютер, но выполнялись разные программы, было получено одно и то же число.

Результаты еще не прошли экспертную оценку. Но, поскольку исследования пришли к одному и тому же выводу, есть полная уверенность, что число было правильно расшифровано, прокомментировал Live Science ведущий автор второй статьи Леннарт Ван Хиртум, математик из Падерборнского университета в Германии.

Числа Дедекинда были впервые описаны немецким математиком Рихардом Дедекиндом в 19 веке. Числа связаны с логическими задачами, известными как "монотонные булевы функции" (MBFS).

Булевы функции - это разновидность логики, которая может принимать на вход только одно из двух значений — 0 (false) и 1 (true) — и выдавать только эти два значения. В MBFs вы можете поменять 0 на 1 во входных данных, но только если это позволяет изменять выходные данные с 0 на 1, а не с 1 на 0. Числа Дедекинда - это выходные данные MBFS, где входными данными является определенное пространственное измерение.

Эта концепция может быть довольно запутанной для нематематиков. Но можно визуализировать происходящее, используя фигуры для представления чисел Дедекинда для каждого измерения, объясняет Ван Хиртум.

Например, во втором измерении число Дедекинда относится к квадрату, в то время как третье может быть представлено кубом, четвертое и более высокое - гиперкубами.

Для каждого измерения вершины или точки определенной формы представляют возможные конфигурации MBFS (см. Рисунок ниже). Чтобы найти число Дедекинда, вы можете посчитать, сколько раз вы можете раскрасить каждую вершину каждой фигуры одним из двух цветов (в данном случае красным и белым), но с условием, что один цвет (в данном случае белый) не может располагаться над другим (в данном случае красным).

Диаграмма, на которой показаны выходные данные для первых четырех чисел Дедекинда: слева направо D (0), D (1), D (2) и D(3). Круги представляют возможную конфигурацию для каждой фигуры, где белые вершины не расположены над красными.

Для нулевых измерений фигура представляет собой всего лишь одну точку и D (0) = 2, потому что точка может быть либо красной, либо белой. Для одного измерения фигура представляет собой линию с двумя точками и D (1) = 3, потому что обе точки могут быть либо одного цвета, либо красного над белым. Для двух измерений форма равна квадрату, а D (2) = 6, потому что теперь существует шесть возможных сценариев, в которых ни одна белая точка не находится над красной точкой. А для трех измерений фигура представляет собой куб, и число возможных конфигураций возрастает до 20, поэтому D (3) = 20.

По мере увеличения числа измерений гипотетическая форма становится все более сложным гиперкубом с большим количеством исходов, сказал Ван Хиртум.

Значения следующих пяти чисел Дедекинда равны 168, 7581, 7828354, 2414682040998 и 56130437228687557907788.

Новое идентифицированное значение для D (9) равно 286386577668298411128469151667598498812366.

Ван Хиртум считает, что для вычисления 10-го числа Дедекинда потребуется новый скачок вычислительной техники. "Если бы решили посчитать это число сейчас, для этого потребовалась бы вычислительная мощность, равная общей мощности солнца", - сказал он, заключая, что сейчас такие вычисления "практически невозможными".