Парадокс Рассела.

На модерации Отложенный

   Небольшое вступление.Математика в своём развитии среди прочего выделила в виде отдельного раздела теорию множеств и в этой теории математиков ХIХ века особо заинтересовало понятие "бесконечность". Математик Георг Кантор в семидесятых годах ХIХ века предложил теорию, которая выглядела настоящим прорывом в теории множеств, объяснив многое, до этого необъяснимое. Однако вскоре выяснилось, что теория Кантора чревата серьёзными парадоксами. Один из этих парадоксов получил название парадокс Рассела (антиномия Рассела, также парадокс Рассела — Цермело) - по имени автора Бертрана Рассела (открыт ранее, но не опубликован Эрнстом Цермело). После статьи Рассела в 1903 г., где он привёл интересную наглядную иллюстрацию парадокс Рассела получил широкую известность под названием "парадокса брадобрея". Ниже - эта шутливая иллюстрация математического парадокса (в действительности конечно его формулировка более строга).

 

Солдата назначили на должность полкового цирюльника. Приказ строжайше предписывал брить тех и только тех, кто не бреется сам. За нарушение - смертная казнь.

Солдат исправно исполнял нехитрые служебные  обязанности брадобрея ровно один день. На следующее утро, проведя ладонью по подбородку, он потянулся за лезвием и кисточкой, чтобы придать своим щекам обычный глянец, но... вовремя спохватился. Начни он скоблить собственную щетину - он включит себя в число тех, кто бреется сам. А таковых он брить не имеет права под страхом смертной казни.Если же он откажется себя брить, то включит себя в число тех, кто сам не бреется и кого он брить обязан. В результате брадобрей в любом случае нарушит приказ и в любом случае его ждёт смертная казнь.

 

Интересно, что парадокс Рассела привёл австрийского математика Курта Гёделя (на него нередко ссылается наш знаменитый Анатолий Вассерман) к изложению теоремы: в любой достаточно полной логической системе можно сформулировать предложение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть логическими средствами этой системы.