Лагранжев формализм. Обобщённые координаты. Часть 3

Встречайте заключительную часть "трилогии об обобщённых координатах". Здесь мы рассмотрим "необычное", выходящее за рамки механики применение метода обобщённых координат и подведём итоги.



Пример №2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

У нас в рамках беседы об обобщённых координатах было несколько примеров, когда нецелесообразно выражать положение системы в декартовых координатах. А если рассматриваемая система не чисто механическая, если в качестве обобщённой координаты выступает, ну, например, электрический заряд (вспомним последние примеры из первой части этой беседы), то выразить положение системы в одних декартовых координатах просто невозможно.

И для такой системы предложенный в 18 веке Лагранжем формальный метод в 70-х годах 19 века с успехом использовал Максвелл. А именно: он использовал его, чтобы установить общие динамические законы для системы контуров с электротоком.

Метод Лагранжа с математической точки зрения позволяет исключить из рассмотрения реакции связей в системе и составить, как мы знаем, столько уравнений, сколько у системы степеней свободы. Силы реакции, решив уравнения, мы так и не узнаем. Но мы узнаем активные силы и можем найти закон движения системы.

Правда, в отличие от задачи о маятнике сейчас речь пойдёт не о «конкретном законе движении», а о лишь о выражении действующих в системе контуров обобщённых сил, причём в системе с произвольным числом степеней свободы.

О природе электрического тока во времена Максвелла знали меньше, чем сейчас. Было известно, что электроток – это явление «кинетического характера» (то есть, было известно, что если имеется электроток, то «нечто движется», но что именно и с какой скоростью - неизвестно (имеется в виду скорость движения самого «нечто», а не скорость распространения возмущений в этом нечто, которая близка к скорости света)). Условно это нечто называли «электрической жидкостью».

Так вот, для описания состояния системы контуров с электротоком Максвелл использовал в качестве одних обобщённых координат q_i – количества «прошедшего по проводам электричества», в качестве других g_i – «геометрические» координаты (причём даже без уточнения, какие именно, главное, чтоб они характеризовали размеры, форму и взаимное расположение контуров) . Соответственно двум типам обобщённых координат в системе контуров оказывается 2 типа обобщённых сил – «обычные» механические и электродвижущие силы.

И вот для выражения тех и других сил Максвелл применил знакомое нам уравнение (5.8) - уравнение Лагранжа относительно кинетической энергии):

(d/dt)(∂E_кин)/(∂q´_i) - (∂E_кин)/(∂q_i ) = Q_i_внеш      (5.8)

Только давайте, вслед за Максвеллом, кинетическую энергию обозначим не E_кин, а буквой T, чтобы в наших формулах было меньше индексов. Буквой E в электротехнике обозначают обычно не энергию, а напряжённость электрического поля.

Q_i = (d/dt)(∂T/∂q`_i) - ∂T/dq_i       (5.8а)

Как мы успели заметить, чтобы воспользоваться этим уравнением для определения сил, нужно знать кинетическую энергию системы, точнее, нужно выразить её через обобщённые координаты и скорости.
Кинетическая энергия, как мы выяснили, – квадратичная форма относительно обобщённых скоростей. Применительно к данному случаю это означает, что она может содержать слагаемые с квадратами производных по времени от геометрических координат (квадратами скоростей) v_i^2, с квадратами производных по времени от электрических координат (квадратами сил тока) i_i^2 и с произведениями скоростей и сил тока v_i i_i:



Это громоздкое выражение аналогично знакомому нам выражению



только здесь обобщённых координат не 2, а много.

Коэффициенты A, B, C (с индексами), как и коэффициенты К в формуле (5.9б), могут зависеть от обобщённых координат, но не зависят от обобщённых скоростей. Можно уточнить, что коэффициенты A, B, C могут зависеть лишь от геометрических, но не электрических координат, ибо опыт показывает, что в случае постоянных токов, текущих по неподвижным контурам, кинетическая энергия системы остается неизменною, несмотря на постоянный прирост электрических координат.
Выражение это можно сокращённо представить в виде:

T = T_m + T_e + T_me      (5.17а)

где T_m – сумма слагаемых, зависящих только от производных по времени от геометрических координат («вся первая строчка» «громоздкой формулы») – это «обычная» кинетическая энергия, обусловленная движением самих контуров или, как говорил Максвелл, «пондерокинетическая энергия» («pondus» с латыни переводится «вес»).

T_e – сумма слагаемых, зависящих только от токов («вся вторая строчка») Эту составляющую Максвелл назвал «электрокинетической энергией». Эта «вторая строчка» в случае, если электрических координат две, то есть, если система состоит из двух контуров с током, обретает вид:

T_e = (1/2)(L_11)(q`_1)^2 + (M_12)(q`_1)(q`_2) + (1/2)(L_22)(q`_2)^2    (5.18)

где L_11 и L_22 – коэффициенты самоиндукции контуров с током (иначе говоря, индуктивности), M_12 – коэффициент взаимной индукции (или взаимоиндуктивность) двух контуров.

Наличие ненулевых коэффициентов при перекрёстных произведениях токов, то есть, ненулевых коэффициентов взаимной индукции M_ij – особенность, отличающая электрический ток от течения жидкости. Наличие взаимной индукции, обнаруженной на опыте ещё Фарадеем, означало, что контуры с электротоком взаимодействуют меж собою и подводило к выводу, что кинетическая энергия электротока локализована не в проводнике, а в окружающем его пространстве – во времена Фарадея и Максвелла говорили «в эфире», теперь мы бы сказали - «в поле». В беседе о физическом поле мы убедимся, что энергия T_e – это энергия магнитного поля и что она является кинетической энергией – энергией движения силовых линий электрического поля.

Третья возможная составляющая кинетической энергии T_me («пондероэлектрокинетическая энергия») может иметь конечное значение только при одновременном изменении и геометрических и электрических коор¬динат. Возможность существования пондеро-электрокинетической энергии Т_me, как части полной кинетической энергии системы контуров с током, была впервые установлена Максвеллом именно путем применения рассматриваемого формального метода.
…
Соответственно 2 типам обобщённых координат – геометрических и электрических, в системе возникают 2 типа сил – обычные механические силы и электродвижущие силы.
Каждая компонента силы F_i связана (как мы знаем) с соответствующей координатой g_i уравнением Лагранжа (5.8) Рассмотрим механические силы:

F_i = (d/dt) (∂T/∂g`_i) - (∂T/dg_i)       (5.8б)

Мы вместо внешних сил, воздействующих на данную систему и стремящихся изменить ее кинетическую энергию, можем рассматривать прямо противоположные им силы реакции системы, являющиеся следствием существова¬ния кинетической энергии в данной системе и имеющие природу даламберовской силы инерции:

F_i = (∂T/dg_i ) - (d/dt)(∂T/∂g`_i)       (5.8в)

T – одна и та же для всех компонет сил кинетичекая энергия системы. Она (как мы только что выяснили) состоит из трёх частей Tm+Te+Tme . При помощи теоремы о производной суммы мы можем разложить силу F_i на три составляющие, соответственно трем частям энергии:

F_i = F_im + F_ie + F_ime

где первая составляющая

F_im = (∂T_m)/(dg_i ) - (d/dt)(∂T_m/∂g`_i)       (5.8г)

Это — та часть механической силы, которая возникает в системе в силу чисто механических условий и представляет собою обыкновенную даламберовскую силу инерции весомых масс.

Вторая составляющая, вообще-то, выражается так:

F_ie = (∂T_e)/(dg_i ) - (d/dt )(∂T_e/∂g`_i )       (5.8д)

Но поскольку электрокинетическая энергия T_e не зависит от геометрических скоростей g ?_i, второе слагаемое в этой формуле равно нулю, поэтому формула упрощается:

F_ie = ∂T_e/dg_i        (5.8е)

Это – электромагнитная сила, то есть, механическая сила электромагнитного происхождения. Эта сила используется во всех устройствах, преобразующих электрическую энергию в механическую. Это, конечно, электродвигатели, а также электромагнитные клапаны, реле, громкоговорители.
Наконец, третья составляющая механической силы, а именно, составляющая, зависящая от воз¬можного существования пондеро-электрокинетической энергии T_me, т. е. сила:

F_ime = (∂T_me/dg_i ) - (d/dt)(∂T_me)/(∂g`_i )       (5.8ж)

имеет не столько непосредственно практическое, сколько важное теоретической значение. Эта сила, если она существует, должна указывать, что существует пондероэлектрокинетичекая энергия, она должна показать, как говорили во времена Максвелла, связь между электрической и весомой материями. Связь эта должна проявляться в том, что при «ускорении электрической материи», то есть, при изменении силы тока, должна возникать механическая сила, направление которой должно зависеть от знака производной силы тока по времени.

Во времена Максвелла такая сила, то есть, механическая сила, пропорциональная не самим токам (как электромагнитная сила), а производным токов, не была известна. Была известна лишь электродвижущая сила, пропорциональная производным токов.

Рассматриваемая механическая сила должна быть равна нулю, несмотря на изменение силы тока, если либо электрическая материя невесома, либо если электрический ток представляет собою противоположно направленные движения двух одинаковых по механическим свойствам положительного и отрицательного видов электрической материи.

Максвелл пытался, но не смог обнаружить на опыте рассматриваемую силу…



Теперь мы знаем, что движение отрицательного электричества в металле связано с движением свободных электронов, а положительное электричество связано с остальной частью материи, на несколько порядков большей массы. Поэтому «третья механическая сила», о существовании которой предположил Максвелл, действительно должна существовать. Она была обнаружена (на пределе чувствительности приборов) в опытах Эйнштейна и де Гааза в 1915 году.

Википедия пишет, что эффект Эйнштейна и де Гааза было предсказан Оуэном Ричардсоном в 1908 году. На мой взгляд, когда уже открыт электрон, чтобы предсказать такой эффект, не нужно быть крупным учёным Впрочем, Ричардсон всё-таки, крупный учёный, потому, хотя бы, что много сделал для изучения термоэлектронной эмиссии – явления, лежащего в основе всей «ламповой» электроники.

Максвелл в 60-70-х годах 19 века не знал многое из того, что знал Ричардсон, но использовал всю мощь формального метода и в то же время каждую формальную операцию старался соотнести её физическим смыслом. После исследования трёх составляющих механической силы Максвелл исследует три возможные составляющие электродвижущей силы, но этот вопрос мы здесь разбирать не будем, отсылая интересующихся к шестой главе второго тома очень содержательной и ясно написанной книги - «трактата об электричестве и магнетизме».

8. Заключение (о мировоззренческом значении формализма и его связи с диалектикой)

А здесь хочется сказать несколько слов о мировоззренческом значении восходящего к Лагранжу формального метода. Почему мы вправе использовать произвольную систему координат? Почему мы вправе связать её с одним телом, считая его за неподвижное, а другое считать движущемся? Почему мы, наконец, вправе формально интерпретировать происходящие в системе процессы как движение точки в многомерном искривлённом пространстве, в котором даже теорема Пифагора требует уточнений?

Потому, что система координат – это привнесённый нами инструмент исследования действительных процессов в действительном трёхмерном пространстве. Об этом следует помнить, чтоб в нашей голове Вселенная не «свернулась в многомерный бублик».

А почему мы используем такой инструмент?

Да потому, что так удобнее считать! Считать надо как удобнее, то есть, так, чтоб выкладки получались яснее, а расчёты проще.

Но позитивисты выражение «считать как удобнее» понимают по-своему. Наверное, кому-то «удобнее» считать, что Земля плоская, а кому-то, что Вселенная действительно имеет форму бублика. И не наверное, а точно, кое-каким господам «удобнее» считать, что трудящихся надо с юности приучать к информационной сивухе и оберегать от излишнего образования. Ведь это способствует сохранению очень удобного для господ капиталистического строя.

«Как жить, как управлять таким обществом, где все имеют возможность судить напрямую, получать не препарированную информацию, не через обученных правительством аналитиков, политологов и огромные машины спущенных на головы СМИ, которые как бы независимы, а на самом деле, мы понимаем, что все СМИ заняты сохранением страт?» - так, например, говорил Герман Греф на петербургском международном экономическом форуме в (ПМЭФ) в 2012 году. Скажем Герману Оскаровичу «спасибо» за откровенность. Кстати, в очередной беседе из цикла «политэкономия как точная наука» я надеюсь затронуть вопрос о том, почему при социализме требование невысокого духовного развития трудящихся для эффективного управления экономикой отпадает.

…

Дорогие товарищи! Вы сегодня, надеюсь, оценили значение формального метода, значение умения отвлекать форму от содержания, оперировать формой как таковой, формально подставлять одни формулы в другие.

Но формальным методом в физике владели и изобилующие формулами трактаты писали многие, а таких, как Максвелл (таких, кто существенно способствовал развитию настоящей науки) – единицы.
Дело в том, что, как мы знаем из второй беседы, столь важной для настоящей науки и практики истины нет внутри теории, истина в соотношении теории с действительностью.

Любой действительный объект имеет не одну только форму, не одну сторону, он на деле разносторонен, внутренне противоречив – имеет порою противоположные стороны, моменты внутри себя. О нём как об объекте познания мы на каждом этапе можем обладать частицей абсолютной истины, но при том, процесс познания его безграничен.

И уже не формальный, а диалектический метод позволяет преодолевать границы познания, снимает ограниченность формализма. А без формализма и снимать-то нечего. Вот почему формализм – если и «помеха» диалектике, то только в том смысле, что способен «помешать» ей перестать быть собою и обратиться словоблудием.

И подход Максвелла, на мой взгляд, продемонстрировал пример прекрасного владения и формализмом и диалектикой.

Мы ещё обратимся к творчеству Джеймса Клерковича в связи с теорией электромагнитного поля и молекулярно-кинетической теорией материи. А материал сегодняшней беседы нам весьма пригодится в следующей беседе, в которой мы коснёмся самого сердца теоретической физики – вариационных принципов. Там кроме прочего будет обещанная в прошлой беседе теорема Нётер и там же мы узнаем, как можно нечто оптимизировать, причём не так, как это делают сегодняшние российские власти с социальными гарантиями. И вы, надеюсь, испытаете незабываемое чувство, когда открывается новое понимание того, как устроен наш мир, когда разрозненные явления складываются в мозайку, образуя стройную картину, когда выясняется, что метод, использованный просто из соображений удобства, имеет основанием некоторые фундаментальные свойства действительного мира.

…

В подготовке выпуска использована литература:

Ф. В. Миткевич. Физические основы электротехники (1933)
Дж. К. Максвелл. Трактат об электричестве и магнетизме (1873, русск. изд. 1989)
К. Ланцош. Вариационные принципы механики (1962, русск. изд. 1965)
Г. В. Смирнов. Под знаком необратимости (1977)
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика. Том 1. Механика. (1973)

Выпуск в видео формате: