Лагранжев формализм. Обобщённые координаты. Часть 2

Продолжаем разбираться в заявленной теме. В прошлой части мы добрались до Qi_внеш – суммарной, потенциальной и непотенциальной обобщённой силы, действующей на систему извне и вызывающей изменение параметра qi, так называемая «активная» («внешняя») сила. Давайте для начала вспомним формулу (5.8)

Qi_внеш = d/dt (∂E_кин/∂q`_i) - ∂E_кин/∂q_i      (5.8)

5. Степени свободы и кинетическая энергия

Чтобы пользоваться уравнением (5.8), надо уметь выражать кинетическую энергию E_кин через обобщённые координаты q_i и обобщённые скорости q´_i

В случае «обычных» координат кинетическая энергия E_кин зависит явно только от скоростей (но не координат):

E_кин = (mv^2)/2    (5.9)

Через проекции на декартовы координаты кинетическая энергия выражается как величина, пропорциональная сумме квадратов составляющих скоростей вдоль координат (см. рисунок)



E_кин = (m/2)x´^2 + (m/2)y´^2 + (m/2)z´^2    (5.9а)

В обобщённых координатах в общем случае кинетическая энергия E_кин выражается как квадратичная форма обобщённых скоростей (то есть, как сумма квадратов обобщённых скоростей и их перекрёстных произведений, с некими коэффициентами). В случае двух обобщённых координат общая формула кинетической энергии выглядит так:

E_кин = (K_11)(q´_1^2) + (K_22)(q´_2^2) + (2K_12)(q´_1)(q´_2)    (5.9б)

Возможно, кто-то узнает в коэффициентах K_ij компоненты тензора инерции. Для механических систем Формула эта выводится так. Мы выражаем положение рассматриваемой системы в обобщённых координатах q_1 и q_2, когда выразить его в декартовых координатах x и y невозможно или нецелесообразно. Но в принципе декартовы координаты выражаются через обобщённые координаты:

x = τ_x(q_1,q_2); y = τ_y(q_1,q_2)    (5.10)

(здесь τ_x и τ_y обозначают некие функции от q_1 и q_2)

Находим производные по времени от этих выражений:

x´ = (∂τ_x/∂q_1)q´_1 + (∂τ_x/∂q_2)q´_2,
y´ = (∂τ_y/∂q_1)q´_1 + (∂τ_y/∂q_2)q´_2

и возводим их в квадрат (вспомнив из курса средней школы выражение квадрата суммы "(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab"):



Собирая члены с одинаковыми комбинациями обобщённых скоростей, домножая их на m/2 и вводя сокращённые обозначения для коэффициентов при них, получаем формулу (5.9б):

E_кин = K_11q´_1^2 + K_22q´_2^2 + 2K_12q´_1q´_2 (5.9б)

Вид этого выражения, то есть, значения коэффициентов K_ij зависит от вида обобщённых координат. Этому выражению можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Как мы знаем, в декартовых координатах (на плоскости) это выражение обретает вид:

E_кин = mx´^2/2 + my´^2/2

Проведём несложные преобразования:



То, что мы получили (5.11), это ни что иное, как выражение квадрата элемента длины через приращения координат по теореме Пифагора.



Если бы мы захотели в качестве обобщённых координат взять не декартовы (то есть, прямолинейные прямоугольные), а аффинные (то есть, прямолинейные косоугольные) координаты, то выражение квадрата элемента длины определилось бы обобщённой теоремой Пифагора – теоремой косинусов:

dl^2 = dx^2 + dy^2 + 2dxdycosα

(то есть, помимо полных квадратов у нас появился бы член с перекрёстными произведениями с коэффициентом cosα)



В общем случае произвольных криволинейных координат коэффициенты при dx^2, dy^2 и dxdy могут оказаться разными и, кроме того, меняться от точки к точке (то есть, зависеть от значений обобщённых координат) (вот откуда может взяться явная зависимость ∂E_кин от ∂q_i и не равный нулю член ∂E_кин/∂q_i в уравнении (5.8)!)

Рассмотрим, например, полярные координаты r (расстояние от начала координат) и φ (угол, проведённый из начала координат между фиксированным направлением и направлением на данную точку). Полярные координаты криволинейны (в том смысле, что координатные линии оказываются кривыми), но ортогональны (в том смысле, что координатные линии пересекаются под прямыми углами). «Ортогональный» в дословном переводе с греческого означает «прямоугольный», но по отношению к кривым линиям, пересекающимся под прямыми (то есть, равными 90 градусам) углами принято использовать это иностранное слово. Выражение квадрата элемента длины в полярных координатах обретает вид:

dl^2 = dr^2 + r^2dφ^2 (5.11б)



Здесь перекрёстных произведений нет, т. к. полярные координаты ортогональны, а косинус прямого угла равен нулю. Зато в полярных координатах появляется явная зависимость кинетической энергии от обобщённой координаты r:

E_кин = (m/2)(r´^2 + r^2φ´^2)     (5.9б)

Различные формулы квадрата элемента длины в различных обобщённых координатах можно формально интерпретировать как формулы в искривлённом пространстве, пространстве, описываемом римановой геометрией (а риманова геометрия – это такая геометрия, законы которой в бесконечно малом переходят в законы эвклидовой геометрии, но в целом, извиняюсь за выражение, «прямые искривляются», причём геометрия Лобачевского, упомянутая во 2 беседе оказывается частным случаем римановой геометрии)

Кстати, в общей теории относительности таким образом возникает 4-мерное неравномерно (в зависимости от наличия вблизи массивных тел) искривлённое пространство-время. Но мы пока остановимся на более «классических» примерах, когда обобщённые координаты используются потому, что использовать декартовы координаты нецелесообразно или не представляется возможным.

Нецелесообразно в декартовых координатах выражать, например, положение планеты Солнечной системы. Целесообразнее выражать его в полярных координатах потому, что они более соответствуют характеру задачи и облегчают вывод формул.

Другой пример нецелесообразности выражения положения тел системы в декартовых координатах – когда тела могут двигаться лишь вдоль некоторых кривых или поверхностей потому, что они связаны стержнями, шарнирами, направляющими - когда, как говорят, на систему наложены связи.

Пусть, например, тело может двигаться по некоторой поверхности. Координаты вводятся на самой поверхности (ну, например, на поверхности Земли). Географические координаты – широта и долгота, в связи с запросами практики, использовались Гиппархом ещё во втором веке до нашей эры, более, чем за 1,5 тысячи лет до введения «обычных» абсциссы и ординаты на плоскости.



Целесообразность введения обобщённых координат при наличии связей в том, что необходимое число обобщённых координат при этом оказывается меньше, чем потребовалось бы декартовых координат. Так, на поверхности Земли обобщённых координат две, а если бы мы решили использовать декартовы координаты, то их было бы три - x, y, z, их пришлось бы отсчитывать их из некоторой точки пространства, например, из центра Земли и учитывать уравнение связи x^2 + y^2 + z^2 = R^2, что, конечно, весьма нецелесообразно.

При использовании метода обобщённых координат связи учитываются естественным путём: рассматриваются только возможные при данных связях движения. При этом нам не требуется знать природу связей, но и сами их реакции (т. е. силы, действующие со стороны связей) остаются неизвестными.

Если мы теперь нанесём обычные декартовы координаты на плоскости или в пространстве и будем откладывать вдоль них значения обобщённых криволинейных координат, то получим некоторое представление об искривлённом пространстве, описываемом римановой геометрией.

Собственно, такое откладывание обобщённых (а именно, географических) координат вдоль декартовых координат на плоскости совершают при рисовании географической карты. При этом неизбежно появляются искажения, ведь поверхность шара – сферу нельзя развернуть на плоскость без искажений. Поверхность шара можно спроектировать, например, на поверхность цилиндра и эту последнюю развернуть на плоскость. Тогда мы получим цилиндрическую картографическую проекцию. В этой проекции параллели изображены горизонтальными отрезками, меридианы – вертикальными. Но длина параллели определяется широтой, а на карте их изображения равной длины, поэтому масштаб по горизонтали на карте неравномерен. Если мы масштаб по вертикали в каждой точке карты сделаем равным масштабу по горизонтали, получим карту в цилиндрической равноугольной проекции – проекции Меркатора. Такая карта сохраняет углы и формы бесконечно малых фигур в любой точке, но масштаб карты и искажения конечных фигур растут по мере движения от экватора к полюсу.

…

Сделаем следующий шаг к абстрактному - рассмотрим систему нескольких материальных точек, на которые, возможно, наложены связи и для описания конфигурации которой надо задать n независимых величин – n обобщённых координат (n может быть и больше трёх). Тогда говорят, что система эта имеет n степеней свободы.

Если мы эти n величин отложим вдоль декартовых координат в (воображаемом) n-мерном пространстве, то изменение конфигурации системы (то есть, все процессы в ней) формально сведутся к механическому движению одной частицы в n-мерном пространстве (т. н. пространстве конфигураций), при том в общем случае с римановой, а не обязательно с эвклидовой метрикой. Эта частица, если на неё не действуют силы, движется в пространстве конфигураций по геодезической линии (кратчайшей линии между 2 точками, которая только в эвклидовом пространстве является прямой). На частицу может действовать сила, представленная n-мерным вектором (то есть, имеющим не 3, а n компонент) Кинетическая энергия в пространстве любого числа измерений является скаляром (т. е., имеет 1 компоненту), но вычисляется в общем случае как сумма n^2 слагаемых соответственно числу компонент тензора инерции. И хотя пространства размерностью более трёх физически не существуют и представить их наглядно нельзя, в понятии многомерных пространств отражены существенные черты действительного мира и это понятие помогает нам эти черты, что называется, «разложить по полочкам» в своей голове.


Пример №1. Математический маятник


А теперь давайте вернёмся в наше физическое пространство и рассмотрим более скромный конкретный пример – обычный математический маятник. Давайте попробуем использовать метод построения динамики в обобщённых координатах – метод Лагранжа для нахождения закона его движения.

У математического маятника, колеблющегося в заданной плоскости – всего одна обобщённая координата – угол отклонения от вертикали φ
Нам требуется найти вид его функции Лагранжа (5.6)

L = E_пот - E_кин

и вставить её (в конкретном виде) в уравнение Лагранжа

(d/dt )(∂L/∂q`_i ) - ∂L/∂q_i = Qi_внеш непотенц     (5.7)

Причём, если пренебречь трением, внешних непотенциальных сил в данном случае нет:

(d/dt)(∂L/∂q`_i) - ∂L/∂q_i = 0       (5.7в)

Если нам удастся это сделать, мы получим дифференциальное уравнение относительно обобщённой координаты φ (она в данном случае одна) и её производных по времени. Для нахождения уравнения движения, то есть функции координаты от времени φ(t) останется решить дифференциальное уравнение.

Для начала требуется выразить E_пот и E_кин как функции обобщённой координаты φ и её производных по времени.
Выражение для потенциальной энергии в однородном поле тяготения E_пот = mgh в данном случае, как видно из рисунка, обретает вид:

E_пот = mgl(1-cos⁡φ)      (5.12)



Потенциальную энергию можно отсчитывать от любого условного нулевого уровня. На конечном результате это не скажется, ведь путь к нему будет лежать через дифференцирование. Поэтому потенциальную энергию маятника мы можем выразить так:

E_пот = -mgl cos⁡φ       (5.12а)

Теперь выразим кинетическую энергию. Нам в этом опять поможет рисунок.

E_кин = (mv^2)/2 = (m(lφ`)^2)/2 = (ml^2 φ`^2)/2      (5.13)

Подставив выражения потенциальной и кинетической энергий из формул (5.12а) и (5.13) в общую формулу функции Лагранжа (5.6), получим конкретный вид функции Лагранжа для математического маятника:

L = (ml^2)/2 φ`^2 - mgl cos⁡φ        (5.14)

Вставляем эту функцию Лагранжа (5.14) в уравнение Лагранжа (5.7в):



Выглядит громоздко. Но здесь, как видим, мы имеем тот упрощающий решение случай, когда E_кин явно зависит только от обобщённой скорости φ`, но не обобщённой координаты φ, а E_пот наоборот, зависит только от координаты φ, но не скорости φ`. Поэтому производная потенциальной энергии по скорости и производная кинетической энергии по координате равы нулю и их можно исключить из формулы:

mgl (∂ cos⁡φ)/∂φ - ((ml^2)/2)(d/dt) (∂φ`^2)/(∂φ`) = 0      (5.15а)

Теперь сократим эту формулу на ml. В результате масса m полностью исключается из неё. Значит, закон движения математического маятника не зависит от его массы:

g (∂ cos⁡φ/∂φ) - (l/2)(d/dt)(∂φ`^2)/(∂φ`) = 0     (5.15б)

Подставляем производные (производная от «косинуса» – «минус синус», производная от «фи с точкой в квадрате» – «два фи с точкой»):

-g sin⁡φ - (l/2) (d/dt) 2φ` = 0       (5.15в)

Сокращаем двойки и вместо d/dt φ ̇ пишем φ ̈ (это одно и то же, каждая точка над символом означает дифференцирование по времени):

g sin⁡φ + lφ``= 0      (5.15г)

Это – конкретный вид уравнения Лагранжа для данного случая.

В учебных задачах часто спрашивают вид уравнения Лагранжа, а то и просто вид функции Лагранжа для той или иной (механической) системы. Мы же спросим себя, в чём смысл этого уравнения Лагранжа? В том, что это не что иное, как дифференциальное уравнение, описывающее движение математического маятника.

Правда, уравнение это хотя выглядит просто, но решается непросто (то есть, непросто из него получить из него функцию φ(t). Это нелинейное дифференциальное уравнение (в том смысле, что зависимость между φ ̈ и φ нелинейная, не прямо пропорциональная) Оно описывает нелинейные колебания – не синусоидальные, такие, при которых частота зависит от амплитуды. Лишь в случае малых амплитуд колебания «стремятся к линейным» в той мере, в которой значение sin⁡φ стремится к значению самого угла φ, выраженному в радианах. И в этом случае закон движения маятника φ(t), как известно из курса средней школы, стремится к выражению:

φ = sin⁡((√(g/l)) t + α)       (5.16)

где коэффициент при t, а именно выражение √(g/l) – это частота его колебаний.

Теория колебаний – это очень интересная тема, стоящая отдельной беседы. Сегодня хочется сказать, что в познании природы бывает важно найти сам закон в виде дифференциального уравнения (в нашем случае g sin⁡φ+lφ`` = 0). Решение дифференциального уравнения может представлять большие технические трудности (вспомним, кстати, задачу трёх тел из третьей беседы, которая вообще не имеет аналитического решения). Но это уже, с позволения сказать, скорее технические, а не гносеологические трудности…

На этом наша беседа не заканчивается, впереди заключительная часть "трилогии", где мы рассмотрим еще один пример на основе электрических систем и наконец-то подведем итоги. А пока текст готовится, можно посмотреть полное видео.