Не получается в мысленном эксперименте получить связь энтропии и температуры

Я на досуге хотел разобраться с Энтропией с Самого начала, с формулы Клаузиуса

∆S = ∆Q/T

в мысленном эксперименте.

Мои расчеты никак не хотят улечься в плоскости формулы.

(не зависят от температуры, ну никак!)

Ссылка на ворд файл с иллюстрациями

http://www.ravitzit.com/pictures/Princip2.docx

Ссылка на эксел файл с рассчетами

http://www.ravitzit.com/pictures/calc.xlsx

содержимое ворд файла без иллюстраций ....

Второе Начало Термодинамики

К 18-му веку значение паровых машин стало совершенно очевидным фактором технической и экономической мощи. На примере Англии стало очевидно, что держава обладающая более эффективными паровыми машинами становилась лидером в промышленном и техническом прогрессе.

Сади Карно, французский физик и патриот, живший в начале 19 века и воевавший на стороне Наполеона еще в той Войне решил посвятить свои усилия изучению паровых машин. Он ставил целью найти принципы их наилучшей конструкции. Карно не имел в своем распоряжении необходимой научной базы. Атомистическая теория строения вещества уже была извлечена химиком Джоном Дальтоном из праха античной философии, но в серьезном собрании ученых мужей еще не воспринималась как аргумент. Природа тепла объяснялась наличием теплоносной субстанции – Теплорода. Процесс теплопередачи объяснялся перетеканием теплорода из одного физического тела в другое. В распоряжении Сади Карно был только острый философский ум.

Классическая тепловая машина по Карно состоит из трех элементов – нагревателя, рабочей части (к примеру цилиндр с поршнем) и охладителя. Нагреватель передает некоторую порцию тепла рабочей части, рабочая часть превращает часть тепла в полезную работу, чтобы вернуться в первоначальное состояние без необходимости совершения работы рабочая часть отдает оставшуюся часть тепловой энергии охладителю. Ту часть энергии, которая превратилась в работу еще можно вернуть в нагреватель, но ту, что ушла в охладитель - уже нет. Она больше непригодна для превращения в работу.

Карно утверждал, что работа тепловой машины происходит исключительно вследствии потока тепла как такового . Поэтому ни конструкция ни технические трюки не повлияют на эффективность машины, все ухищрения упираются как в скалу в некий базовый принцип, который был сформулирован им в следующем виде.

коэффициент полезного действия тепловой машины, зависит только от температур нагревателя и холодильника, но не зависит от устройства машины, а также от вида рабочего вещества. При уравнивании температур нагревателя и холодильника машина перестает работать.

Свои рассуждения Карно строил на модели перетекания теплорода из нагревателя к охладителю. Стремление теплорода к возврату равновесия, приводит теплород в движение от более нагретого тела к менее нагретому. а движение теплорода   приводит к произведству работы, подобно воде, вращающей лопасти мельницы.

Карно утверждал, что теплород при теплопередаче и при произволстве работы не исчезает то есть сохраняется. Хоть Карно и не высказал этого четко, но получается, что работа производится вследствии траты кинетической энергии движения теплорода.

Спустя четверть века Рудольф Клаузиус сформулировал на основании труда Карно два основных закона термодинамики.

Первое Правило Термодинамики – закон эквивалентности движения и тепла, или закон сохранения энергии в тепловых и механических процессах.

Второе Правило Термодинамики – закон направления самопроизвольных тепловых процессов, предписывающий "куда" пойдет любой тепловой процесс : "невозможен самопроизвольный процесс передачи тепла от холодного тела к более нагретому".

Клаузиус при рассмотрении тепловых процессов уже исходил из механистической теории тепла, в которой тепло рассматривается как (кинетическая) энергия движения атомов и молекул. Хотя в начале своей работы Клаузиус осторожно заметил, что рассматривал тепловые процессы абстрактно, без учета какой-либо конкретной теории тепла. Атомистическая теория строения вещества стала окончательно общепринятой только в конце XIX, начале XX века. В середине XVIII века, тот кто в серьезном научном обществе хотел сослаться на атомистическую теорию, ступал тогда на все еще очень шаткую и скользкую почву.

Клаузиус также знаменит тем, что дал название той части энергии, которая бесполезно ушла из нагревателя в охладитель. Чтобы назвать эту долю "испорченой" энергии Клаузиус, ввел в обиход понятие "Эитропия". Понятие "Эитропия" оказалась мутной водой, в которой каждый желающий мог наудить все что мило его сердцу.

Клаузиус определил энтропию обратимого процесса как отношение изменения (полученого или отданого системой) количества тепла (∆Q) к абсолютной температуре (T).

В наши дни эквивалентность энергии тепла и движения является научной доктриной, провереной в множестве экспериментов. Поэтому мы можем провести несколько мысленных экспериментов, заменив частицы упругими мячиками, а скорость движения мячиков принять за эквивалент температуры. В конечном итоге все взаимодействия можно свести к скоростям и силам по классической механике Ньютона. Наша цель – постараться найти источник необратимости в механике процесса. И так ...

Эксперимент Первый.

Превращение тепла в работу с достижением равновесия.

Предположим, что у нас в цилиндре находится 1000 мячиков весом в 1 грамм , которые, беспорядочно сталкиваясь, движутся со скоростью 100 метров в секунду (температурой). Цилиндр с одного конца жестко фиксирован, с другого находится поршень, тоже фиксированый затвором. Все столкновения абсолютно упруги. Мячики хаотически сталкиваются друг с другом, со стенками цилиндра и поршнем и упруго отскакивают с прежней скоростью. По вторую сторону поршня пустота. То есть сопротивление поршню нулевое. Трение и передача энергии посторонним телам отсутствует.

Общее Давление мячиков на поршень мы можем посчитать, используя основное уравнение молекулярно- кинетической теории газа, выведеное впервые Клаузиусом.

1. Сила давления тем больше, чем больше количество ударов. Количество ударов определяется концентрацией молекул. (n[1/m3])
2. Сила давления тем больше, чем больше масса одной молекулы. (m[Kg]) )
3. Сила давления тем больше, чем больше энергия соударения, а энергия пропорциональна квадрату скорости молекулы. (v [m/c2]))

Давление p измеряется в Паскалях.

Мы отпускаем затвор поршня, и ... хаос превращается в полезную работу. Беспорядочно движущиеся мячики, которые случайно врезаются в поршень ранее отскакивали упруго назад с той же скоростью, но теперь поршень не фиксирован и часть энергии столкновения передается от мячиков поршню, который начинает двигаться и поднимает груз на верхнюю полку.

Мячики при этом потеряв часть своей скорости продолжают сталкиваться так-же хаотично, но уменьшается средняя скорость молекул и увеличивается объем газа. То есть хаотическое движение превратилось в направленную полезную работу за счет уменьшения кинетической энергии молекул и увеличения объема.

Все столкновения происходит по трем законам Ньютона, но результат поведения системы в целом несколько неожидан – поршень движется в одну сторону, скажем направо, а молекулы газа не начинают соответственно двигаться влево, а вместо этого просто уменьшают среднюю скорость хаотического движения (температуру), ну и растет объем, занимаемый частицами. Увеличение объема в некотором роде компенсирует вектор импулься и является платой за превращение беспорядочного движения в упорядоченое.

У мячиков вначале хватит кинетической энергии, чтобы поднимать груз против силы тяжести. Но сила давления мячиков на поршень постепенно убывает по двум причинам.

Первая причина в том, что "газ" из наших мячиков отдает кинетическую энергию на поднятие груза и скорость мячиков падает пропорционально квадратному корню от потраченой энергии.

Вторая причина в том, что по мере увеличения пространства под поршнем уменьшается количество мячиков в единице объема и соответственно частота ударов.

Давайте теперь посчитаем на какую высоту наши мячики поднимут груз с учетом обоих факторов. Начальная скорость мячиков 100 (m/c). Предположим, что груз весит 100 кг, весом поршня пренебрегаем. Радиус поршня 30 см (или 0.3 м). Длина пространства в цилиндре вначале 1m. Для рассчетов давления применим приведеную выше формулу основного уравнения молекулярно- кинетической теории газа.

Вычисление падения скорости мячиков основано на том, что уменьшение кинетической энергии мячиков Eк равно увеличению потенциальной энергии груза Eр. (Eк= Eр). следовательно уменьшение скорости. .

Убывание силы вследствие увеличения объема "газа" и потери энергии.

m         - Масса одного мячика (0.001 Kg)

Rп        - Радиус поршня в метрах (m)

Lц        - Длина цилиндра (m).

Sп         - Площадь поршня. (π*Rп 2)   (m2).

Vц          - Объем цилиндра = π*Rп 2Lц (m3)

n          - Концентрация мячиков = 1000/Vц   (unit/ m3)

Eр        - Увеличение потенциальной энергии груза = Eр = mgh ( Дж (J) = кг·m²/s²)

∆vм       - Уменьшение средней скорости мячиков (m/s)

vм         - Средняя скорость мячиков 100-∆vм (m/s)

p          - Давление в Паскалях = (1/3) mnvм2 (Па= Ньютон / m2)

F(Kg)  - Сила, действующая на груз (Kg) (9.8 Ньютон/ Kg)

Наша система сможет поднять груз на высоту 0,54 m. При отсутствии трения и передачи энергии посторонним телам, энергия движения мячиков без потерь превращается в полезную работу, Полезная работа над грузом полностью превратилась в потенциальную энергию груза. КПД нашей игрушки 100%. Груз может при падении отдать свою энергию на совершение работы по поднятию аналогичного груза, либо по разогреву мячиков, возместив им потеряную энергию. Единственное, что сделать нельзя – это вернуть объем.

Эксперимент Второй.

Расширение в пустоту.

Предположим, что теперь наш "газ" расширяется в пустоту. С одной ее стороны заперт газ, с другой – пустота. Весом поршня как и в первом случае пренебрежем. Поршень поднимается, молекулы газа из заполненной части устремляются в пустую, заполняют ее, и через короткое время устанавливается новое равновесие. Реальные газы в зависимости от природы молекулярных связей могут либо охладиться либо нагреться. Но температура идеального газа не должна измениться. Не изменилась и кинетическая энергия, Но в отличае от опыта с грузом наша система не совершила полезную работу и ... безвозвратно потеряла возможность ее совершить. Для того, чтобы вернуть систему назад к первичному состоянию надо совершить работу, а как ее совершить, если груз все еще стоит на земле ?

Давайте теперь для интереса посчитаем до какой высоты наш "газ" все еще способен удерживать груз в 100 Kg.

Убывание силы вследствие увеличения объема "газа".

m         - Масса одного мячика (0.001 Kg)

Rп        - Радиус поршня в метрах (метр)

Lц        - Длина цилиндра.

Sп         - Площадь поршня. (π*Rп 2)

Vц          - Объем цилиндра = π*Rп 2• Lц (м3)

n          - Концентрация мячиков = 1000/Vц   (unit/ м3)

vм         - Средняя скорость мячиков (метр в секунду)

p          - Давление в Паскалях (Ньютон / м2) = (1/3) •m•n•vм2

F(Kg)  - Сила, действующая на груз.

Давайте теперь выведем формулу для рассчета высоты подъема до которой наш "газ" все еще способен поднимать груз в m2Kg (100 Kg в нашем случае)

Q(n)     - Количество мячиков

m1        - Масса одного мячика

v          - Средняя скорость мячиков

m2        - Масса груза

Hs        - Начальная высота

При расширении "газа" мячиков в пустоту без груза после поднятия поршня на высоту приблизительно 2.4 метра, наш газ больше не сможет поднимать груз, потому что у него уже не будет на это достаточно силы, несмотря на то, что количество энергии осталось прежним.

Никакой передачи энергии здесь не было. Впустую потраченая возможность совершить работу или обесцененая энергия – есть некий новый фактор, который происходит не из законов Ньютона, а из объема системы, состояния системы как целого.

Теплообмен. Эксперимент (3)

Смешаем две фракции "газа" при разных температурах и сравним способность выполнять работу.

Возьмем наш цилиндр в том же исходном состоянии, что и в первом опыте, скорость мячиков 100 (m/c), груз весит 100 кг, весом поршня пренебрегаем. Радиус поршня 30 см (или 0.3 м). Длина пространства в цилиндре вначале 1m. Как мы уже посчитали наш "газ" способен поднимать груз в 100 кг, пока высота прироста объема не составит 2,4 m. Добавим в нашу систему еще один такой-же цилиндер, в котором скорость мячиков будет 60 m/s. Воспользуемся выведеной нами формулой высоты подъема груза.

Итак,

"газ" при скорости 100 (m/c) способен удержать груз в 100 Kg до высоты в 2.4 метра. "газ" при скорости 60 (m/c) способен удержать груз в 100 Kg до высоты в 0.22 (m). Вместе оба цилиндра дают подъем в 2,63 (m). Если же мы совместим два цилиндра и откроем перегородку, мы получим один цилиндр с начальной выстой в 2 m, в нем будет 2000 тысячи мячиков со средней скоростью (60+100)/2=80m/c. Он способен удержать груз до 2.35 (m). Есть небольшая разница в 0.27(m).

Проведем тот же эксперимент при более высокой температуре (скорости) "газа".

Получим все те же 0.27(m) разницы. Получается, что наш параметр необратимости не зависит от температуры. Зависит от разницы температур, количества частиц.

Теперь я уже нихрена не понимаю, откуда Клаузиус взял, что необратимость зависит от количества тепла и температуры. Может в разовых нециклических двигателях такого нет ?

Попробуем сделать, наконец, выводы о сущностях, приводяших к необратимости "теплового" процесса и таинственном понятии "Энтропия". Помните, что я урожденный материалист и менее всего хотел бы прибегать к мистике без нужды.

Первая Ипостась необратимости скрывается в увеличении объема.

С простой механистической точки зрения увеличение объема уменьшает вероятность того, что мячик столкнется с поршнем, потому что у мячика есть больше пространства для передвижения.

Вторая Ипостась вроде бы должна проявиться нам при теплопередаче без призведения полезной работы.