Без математических таблиц и инженерного калькулятора

Вениамин Маркуц 

Без математических таблиц и инженерного калькулятора

Случилось так, что в открытом океане, где более недели бушевал тропический шторм, небольшой корабль, попавший в него, остался цел, но окончательно сбился с курса. Кинулись в библиотеку, где хранились навигационные и математические таблицы и обнаружили, что крысы их съели, а что не съели, то понадкусывали. Чтобы проложить новый курс потребовалось в расчёты ввести поправочный коэффициент, для чего нужно было найти значение 0,3860,193. Что делать? Ведь кроме обычного торгового калькулятора, случайно оказавшегося у одного из членов корабельной команды, ничего более подходящего не было. А калькулятор мог выполнять только 4 математических действия - сложение, вычитание, умножение и деление.

Пришлось штурману корабля вспомнить вузовскую математику – благо, что в своё время, он был увлечён решением различных математических задач, в том числе разложением трансцендентных функций в ряды Тейлора и Маклорена:

1. Находим последовательным дифференцированием производные 1-ю, 2-ю, 3-ю и т.д.
2. Определяем значения самой функции и её производных при х = 0.
3. Составляем ряд Маклорена.

Значение  0,3860,193 представляет собой функцию типа  f(x) = ax, где а = 0,386, х = 0, 193.

Для отыскания производных функцию   f(x) = ax логарифмируем:

ln f(x) = x lna    тогда:

   y = ax;  lny = xlna;    = lna;  f(0) = a0=1.

y'    = ylna;   y'   = ax lna;    y'  (o) =  lna;  

y''    = y'lna;  y''    = ax lna lna;  ;   y''    =  ax ln2a;    y'' (    0) = ln2a;

Теперь можно составить ряд.

Разложение функции  f(x) = ax в ряд Маклорена представляет собой ряд:

ax = 1 +    +  +  +   + …….+  .

Поскольку логарифмические таблицы также были съедены крысами, для отыскания логарифма  числа a также следует составить ряд Маклорена.

Так как a меньше единицы, то ряд Маклорена для функции   f(x) = ln (1 -  x):  

При  x  = 0  f(x) = ln (1 - x) = 0, то есть f(0) = 0.  Далее следует обращать особое внимание на знаки производных:

     или   = - (1 - х)-1      при х = 0   

  = - (-1)*(1 - х)-2 *(-1)                       при х = 0     .

 =  - (-2) * (1 - х)-3 *(-1)                    при х = 0      =  - 2.  

    - (-6) * (1 - х)-4  *(-1)                   при х = 0       =  - 6.

 - (-24) * (1 -  х)-5 *(-1)               при х = 0      =  - 24.

    - (-120) * (1 - х)-6  *(-1)             при х = 0     =   - 120.

 = ;

 =

 = .

 =  0,386. Следовательно,  1 – х = 0,386,  х = 1 – 0,386;  х = 0, 614.

Составляем ряд Маклорена:

 = ;

ln(1-0,614 )= - (0,614 + 0,1885 + 0,0772 + 0,03553 + 0,0175 + 0,009 + 0,0047 + 0,0025 +

+ 0,0014 + 0,00076 + 0,00042 + 0,00024 + 0,0001 + 0,00008) = -0,95193.   

Итак, натуральный логарифм числа 0,386 равен -0,95193.   

Составляем ряд Маклорена для функции   f(x) = ax, где а = 0,386,  х = 0, 193.

ax = 1 +    +  +  +   + …….+  .

x*lna = 0,193* (-0,95193) = - 0,18372249.

0,3860,193 = 1 +    +  +  +   + …….+  .

0,3860,193 = 1 -    +  -  +   - .

0,3860,193 = 1 - 0,1837225 + 0,016877 - 0,00103357 + 0,00004747 - 0,0000017 =

0,8321667.  

Вычисленное на калькуляторе - 0,832168648. Совпадение с точностью до 5 знаков после запятой. Курс корабля вычислен.

Читать полностью текст ЗДЕСЬ 

Декабрь 2015

 Вениамин Маркуц, математические функции, ряды Тейлора, ряды Маклорена, разложение функций в ряд