Математические задачи стоимостью 3000000 долларов

                                 1. Гипотеза Римана

Теорема.

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть равную 1/2.

Доказательство.

Дзета-функция является суммой ряда ζ (s) = 1^-s + 2^-s + 3^-s + 4^-s +5^-s +….+ n^-s+ , где s является константой, n - натуральное число. Если s>1, то ряд сходится. Если s – действительное число, то    ζ (s) не равна нулю. Если s = x+iy – комплексное число, то ζ (s) в некоторых случаях равна нулю: если x равно отрицательному чётному числу (-2, -4, -6 и т.д.) – тривиальные нули; если x = ½ - нетривиальные нули, которых найдено около 10¹² значений. Таким образом, именно добавление к s мнимой части определяет возможность того, что ζ (s) может равняться нулю. Установлено, что для всех нетривиальных нулей 0<x<1.

Посмотрим, сможет ли ζ (s) быть равной нулю при тех же значениях y₀, для которых найдены нетривиальные нули, но при других значениях x = ½ + t, где 0<t<½ . Тогда каждый член ряда умножается на соответствующее число n^-t. Заметим, что для каждого члена ряда этот множитель разный, так как n принимает все натуральные значения. Если бы каждый член ряда умножался на одно и то же число, то сумма ряда была бы равна прежней сумме ряда, умноженной на это число. Умножение любого числа на нуль даёт нуль, поэтому сумма ряда бы не изменилась. Но умножение разных членов ряда на разные действительные числа, значения которых ни разу не повторяются, изменяет сумму ряда. Значит, в этом случае ζ (s) не равна нулю. Рассуждения для     x = ½ - tаналогичные.

Посмотрим, сможет ли ζ (s) быть равной нулю при значениях y = y₀ + f(где f – любое действительное число, кроме нуля), отличающихся от тех y₀, для которых найдены нетривиальные нули, если x = ½ ± t . Тогда каждый член ряда надо умножить ещё на n^-fi = cos(flogn) – isin(flogn) Так как период функций  cosи sinравен 2π, и f – константа, то определим значения Δn (натуральное число), при котором значения cos(flogn) и sin(flogn) повторяются: Δn = n(e^2π/f– 1) Таким образом, в данном случае период функций  cosи sinпропорционален n, то есть зависит от члена ряда и ни разу не повторяется. Предположим, что при умножении каждого соответствующего члена ряда на мнимое число  –isin(flogn) сумма ряда будет равна нулю. Но тогда при умножении каждого члена ряда на соответствующее действительное число cos(flogn), которое является разным и неповторяющимся для каждого члена ряда, сумма ряда меняется. Значит, в этом случае ζ (s) также не равна нулю.

Следовательно, ζ (s) = 0 только при x = ½

.

                                                                                      2. Задача P/NP

Теорема.

Превосходит ли класс NP класс P, или они равны друг другу?

Доказательство.

Пусть имеется система из nэлементов. Установим связи элементов в этой системе. Алгоритм по установлению связи элементов ”1” и ”2” состоит из t₁ шагов. Алгоритм по установлению связи элементов “1” и ”3” состоит из t₂ шагов. (t₁ и t₂ – сравнимые между собой числа, поэтому просто будем обозначать t). Связь элемента “1” с каждым другим элементом в паре устанавливается за (n-1)t шагов. Связь элемента ”2” с каждым другим элементом в паре, начиная с элемента ”3”, устанавливается за (n-2)t шагов. Итого, связь каждого из n элементов попарно с другим элементом системы устанавливается за (1+2+3+….+(n-1))t = (n-1)nt/2 шагов.

Влияет ли элемент ”3” на взаимодействие элементов ”1” и ”2” ? Алгоритм выяснения этого вопроса состоит из f шагов (f и t – сравнимые между собой числа, поэтому просто будем обозначать f через t). Влияние каждого из других элементов на взаимодействие элементов ”1” и ”2” устанавливается за (n-2)t шагов.

Влияние каждого из других элементов на взаимодействие элемента ”1” с одним из каждых (n-1) элементов устанавливается за (n-1)(n-2)tшагов. (Влияние элемента ”3” на взаимодействие элементов ”1” и ”2” не равно влиянию элемента ”2” на взаимодействие элементов ”1” и ”3”). Итого, влияние каждого из других элементов на взаимодействие пары элементов в системе из n элементов устанавливается за n(n-1)(n-2)tшагов.

Рассматривая влияние каждого из других элементов на взаимодействие любых трёх элементов системы, мы придём к выводу,что такое влияние устанавливается за n(n-1)(n-2)(n-3)tшагов.

Аналогично, влияние каждого из других элементов на взаимодействие любых m элементов в системе из n элементов устанавливается за n(n-1)(n-2)….(n-m)t шагов. (m возрастает до (n-1) ).

Итого, для установления всех связей между элементами в системе из  nэлементов требуется

(n(n-1)/2 + n(n-1)(n-2) +….+ n(n-1)(n-2)….(n-m)….(n-(n-1)))t   =

(n!/2(n-2)! + n!/(n-3)! +….+n!/(n-m-1)! +….+ n!)t       шагов.

Этот алгоритм превосходит не только класс P, но и класс E.

Если в системе установлены k связей, то их проверка будет состоять из kt шагов.

Таким образом, класс NP превосходит класс P.

                                                                                               3. Гипотеза Ходжа

Теорема.

На любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов.

Доказательство.

Любое алгебраическое многообразие представляет собой поверхность в соответствующем пространстве с nчислом измерений. С помощью соответствующей триангуляции  данную поверхность можно представить в виде многогранника в соответствующем n-мерном пространстве.

Характеристика Эйлера для обычного многогранника  без отверстий в 3-мерном пространстве равна Z_3,0 = F+V-E = 2,F – число граней,V – число вершин, E – число рёбер. Присваивая вершинам маркёр “1”, рёбрам маркёр ”2”, граням маркёр ”3”, получаем Z_3,0 = 3+1-2 = 2 . Для обычного многогранника с g отверстиями в 3-мерном пространстве Z_3,g = 2-2g .

С помощью аналитического продолжения получаем, что характеристика Эйлера для  многогранника  без отверстий в n-мерном пространстве равна модулю разности сумм чётных и нечётных натуральных чисел от 1 до n.

Например, для многогранника в 4-мерном пространстве Z_4,0 = 4+2-3-1 = 2, для многогранника в     5-мерном пространстве Z_5,0 = 5+3+1-4-2 = 3 . Замечаем, что для n-мерного пространства характеристика Эйлера для  многогранника  без отверстий равна: если n – чётное, то Z_n,0 = n/2; если n – нечётное, то Z_n,0 = (n+1)/2 . Тогда для 9-мерного и 10-мерного пространств характеристика Эйлера равна Z_9,0 = (9+1)/2 = 5,   Z_10,0 = 10/2 = 5 . Для пространств с более высоким числом измерений характеристика Эйлера будет больше.

Для многогранника с g отверстиями в n-мерном пространстве характеристика Эйлера равна         Z_n,g= Z_n,0(1-g) .

Однако полиноминальные уравнения в степени 5 и выше не имеют алгебраического решения в общем случае.

Поэтому гипотеза Ходжа справедлива для пространств с числом измерений от 1 до 8 включительно. Но для пространств с числом измерений 9 и выше гипотеза Ходжа ошибочна.

Ходж сформулировал свою гипотезу для целых показателей. В последующем в формулировке гипотезы целые показатели были заменены на рациональные в надежде, что в таком виде гипотеза Ходжа будет справедлива для пространств с высоким числом измерений. Однако замена целых показателей на рациональные ничего нового в гипотезе Ходжа не даёт.

                                                                                           4. Теорема о четырёх красках

Теорема.

Если некоторая фигура разделена на части любым способом и её части раскрашены по-разному так, что фигуры с общей границей в виде линии любой длины окрашены в разные цвета, то для этого может потребоваться четыре краски, но не больше.

Доказательство.

Рассмотрим область 1 на плоскости. Пусть она окружена со всех сторон n областями, которые имеют с ней общую границу в виде линии. Пусть каждая из этих n областей имеет общую границу в виде линии со всеми другими из этих n областей. Нам надо определить максимальное значение n_max при этих условиях. (Вся остальная часть плоскости нас не интересует, так как она не имеет границы с областью 1).

Каждая из этих n областей может иметь границу с двумя другими из этих n областей, которые могут иметь границу между собой. Таким образом, n может быть равно 3. (рис.1)

Может ли быть n>3 ? Пусть n = 4. (рис.2) В этом случае области 2 и 4, а также 3 и 5 не имеют общей границы, так как между ними лежит область 1.

Пусть области 3 и 5 имеют общую границу. (рис.3) Но и в этом случае области 2 и 4 не имеют общей границы, так как между ними продолжает лежать область 1. Области 2 и 4 могут иметь общую границу только за счёт исчезновения общей границы у областей 1 и 3, или у областей 1 и 5, или у областей 3 и 5.

Значит, nне может быть равно 4.

Рассуждения для более высоких значений n аналогичные.

Значит, n_max= 3 . Добавление внутренней области 1 даёт в сумме 4 краски.