Число Пи в музыке

http://www.youtube.com/watch?v=OMq9he-5HUU

Музыкант David Macdonald записал как звучит число Pi с точностью до 122 знаков после запятой.

Число Пи (греч. ∏, первая буква греческого слова «периферия», букв. — «окружность») — математическая константа, равная отношению длины окружности к ее диаметру. Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом английский математик У. Джонсон в 1706 г. Общеупотребительным введённое Джонсоном обозначение стало после работ Л. Эйлера, который воспользовался этим символом впервые в 1736 г.

История числа Пи

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: «И сделал литое из меди море, — от края его и до края его десять локтей, — совсем круглое… и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом» (3 Царств, гл. 7, ст. 6). Однако уже во 2 тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа ∏, которое получается из формулы площади круга диаметра d:

S = (d–1/9d)² = (1–1/9)²d².

Этому правилу из 50-й задачи папируса Райнда (приблизительно 1650 г. до н.э.) соответствует значение ∏ =4(8/9)² = 3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно.

В Московском папирусе есть ещё одна интересная задача: вычисляется поверхность корзины «с отверстием 4 ½». Исследователи толкуют её по-разному, поскольку ∏ в тексте не указано, какой формы была корзина. Но все сходятся во мнении, что и здесь для числа ∏ берётся то же самое приближённое значение 4(8/9)². Замечательно, что на всём Древнем Востоке при вычислениях использовалось значение ∏ = 3. В этом отношении египтяне намного опередили другие народы.

С VI века до н.э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Древние греки Евдокс Книдский, Гиппократ и др. измерение окружности сводили к построению соответствующего отрезка, а измерение круга — к построению равновеликого квадрата.

Архимед в III веке до н.э., занимаясь вычислениями длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3 ¹⁰/₇₁ и 3 ¹/₇, а это означает, что ∏ = 3,1419… Иначе говоря, Архимед указал границы числа:

3,1408 < ∏ < 3,1428.

Значение 3 ¹/₇ до сих пор считается вполне хорошим приближением числа ∏для прикладных задач. Более точное приближение 3 ¹⁷/₁₂₀ (∏ =3,14166) нашёл знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (II в.), но оно не вошло в употребление.

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий Индии) имеется указание, из которого следует, что число Пи принимали равным дроби 3,162… Это значение приводит индийский математик VII века Брахмагупта.

Китайские учёные в III в. н.э. использовали для ∏ значение 3 ⁷/₅₀, которое хуже приближения Архимеда. В конце 5 века китайский математик Цзу Чунчжи получил приближение ³⁵⁵/₁₁₃ (∏ = 3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом лишь в 1585 г.

В первой половине XV в. в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил ∏ с 16 десятичными знаками.

Спустя полтора столетия после ал-Каши в Европе Ф. Виет нашёл число ∏ только с 9 правильными десятичными знаками, но при этом он сделал открытие, позволившее вычислять ∏ с какой угодно точностью. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540–1610) — некоторые историки называют его Л.ван Кейлен – нашёл 32 знака. С тех пор (год публикации — 1615) значение числа ∏ с 32 знаками получило название числа Лудольфа.

В 1766 г. немецкий математик Иоганн Ламберт строго доказал иррациональность числа ∏: число Пи не может быть представлено простыми дробями, как бы ни были велики числитель и знаменатель. И, тем не менее, история числа на этом не закончилась.

В конце XIX в. профессор Мюнхенского университета Карл Фердинанд Линдеман нашёл строгое доказательство того, что ∏ — число не только иррациональное, но и трансцендентное, т.е. не может быть корнем никакого алгебраического уравнения. Его доказательство поставило точку в истории древнейшей математической задачи о квадратуре круга. В память об открытии трансцендентности числа ∏ в зале перед математической аудиторией Мюнхенского университета был установлен бюст Линдемана. На постаменте под его именем изображён круг, пересечённый квадратом равной площади, внутри которого начертана буква ∏.

В современной математике число ∏ — это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии. Входит она и в замечательную формулу Л. Эйлера, которая устанавливает связь числа Пи числа е. Эта и другие взаимосвязи позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа ∏ .

См. также:

Каково точное значение числа Пи? Какова история уточнения знаков числа Пи?

Число Пи является иррациональным и трансцендентным, и корень из этого числа также является бесконечной непериодической десятичной дробью.

Квадратный корень числа пи (с точностью до до 40 знаков):

1,7724538509055160272981674833411451827975

Квадратный корень числа пи (с точностью до 1000 знаков):

1.
772453850905516027298167483341
145182797549456122387128213807
789852911284591032181374950656
738544665416226823624282570666
236152865724422602525093709602
787068462037698653105122849925
173028950826228932095379267962
800174639015351479720516700190
185234018585446974494912640313
921775525906216405419332500906
398407613733477475153433667989
789365851836408795451165161738
760059067393431791332809854846
248184902054654852195613251561
647467515042738761056107996127
107210060372044483672365296613
708094323498831668424213845709
609120420427785778068694766570
005218305685125413396636944654
181510716693883321942929357062
268865224420542149948049920756
486398874838505930640218214029
285811233064978945203621149078
962287389403245978198513134871
266512506293260044656382109675
026812496930595420461560761952
217391525070207792758099054332
900662223067614469661248188743
069978835205061464443854185307
973574257179185635959749959952
263849242203889103966406447293
972841345043002140564233433039
261756134176336320017037654163
476320669... и далее до бесконечности.