Перминов В.Я. - Философия и основания математики

Введение

В книге предполагается обсудить новый взгляд на проблему обоснования математики, проистекающий из понимания математики как априорной науки.

Идея априоризма в наше время не выглядит привлекательной. Ученые и философы в своем большинстве склонны рассматривать априоризм как пережиток схоластики, как исторически объяснимую, но, несомненно, ложную попытку разрешить фундаментальные проблемы теории познания. Надо признать, что такая оценка традиционного априоризма имеет некоторые основания. Система априорист- ской философии, представленная И. Кантом в «Критике чистого разума», с современной точки зрения выглядит догматичной, противоречащей фактам науки (факту неевклидовых геометрий, в частности) и даже мистической, поскольку она без всякого объяснения приписывает конечному человеческому существу способность видения абсолюта — универсальных и неизменных форм мышления. Современная теория познания, органически впитавшая в себя идею эволюции и относительности, естественно, склонна рассматривать такое учение как неадекватное и имеющее только историческое значение.

И тем не менее, надо признать, что философия априоризма содержит в себе истины, которые не могут быть устранены. Это относится в особенности к пониманию природы математического знания. Философия априоризма опирается на факт, подтвержденный математической практикой и всей историей математической науки, что математика — не эмпирическая наука, что математические понятия имеют другой источник своего возникновения и другие законы развития. Философия математики не может уйти от идей априоризма по той простой причине, что она не может закрыть глаза на ярко выраженные особенности математической науки и оставить их без объяснения.

Априористская философия математики не может быть отброшена, она может быть лишь приведена в соответствие с современной теорией познания. Здесь нужно согласиться с Э. Гуссерлем, который считал, что проблема априорного не только не решена, но пока еще и не поставлена должным образом. Основной задачей данной книги является разработка новой концепции априоризма, приложимой к пониманию математики и к решению проблем ее обоснования.

Общей теоретической предпосылкой нашего рассмотрения является положение о практической природе познания. Понимание практики как глубинной основы познания, его высшего стимула и высшего критерия истины является важнейшим завоеванием теории познания XIX века. Прежние философы рассуждали об опыте и о разуме как об источниках истины, но они или не ставили вопроса о функции знания или давали на этот вопрос самые фантастические ответы. Еще Л. Фейербах объяснял развитие науки человеческим честолюбием. К. Маркс и Ч.С. Пирс впервые посмотрели на знание с точки зрения его назначения, его социальной функции и необходимой включенности в предметную (материальную) практику. Теория познания приобрела недостающий ей телеологический момент и способы объяснения, присущие телеологической науке. В этом плане впервые появляется возможность понять природу универсальных норм мышления и связанных с ними фундаментальных очевидностеи сознания, на которых в конечном итоге покоится и все здание математической науки. Анализ последних оснований математического мышления требует анализа практики как источника общезначимых очевидностеи и в этом смысле современная философия математики неизбежно должна быть праксеологической.

Что касается вопроса о месте математики в системе наук, то наиболее приемлемой является здесь формалистская концепция, согласно которой математика представляет собой не учение о мире, имеющее свой предмет, а лишь совокупность логических структур, предназначенных для описания различного рода реальных связей, открываемых опытными науками. С этой точки зрения к математическим теориям не применимы понятия истинности и ложности и к ним не может быть предъявлено требование обязательного соответствия какой- либо внешней реальности. Математическая теория рассматривается здесь не как описание мира, но лишь как метод, как чистая структура, которая может быть использована для моделирования реальных связей. Определяющей особенностью исходных принципов математической теории, с этой точки зрения, является не их очевидность или соответствие какому-либо опыту, а их непротиворечивость, обеспечивающая способность теории транслировать истину от одних содержательных утверждений к другим.

Идея математики как формальной науки, противостоящей эмпирическим наукам, была с полной ясностью высказана уже полтора столетия назад Г. Грассманом в предисловии к «Учению о протяженности». «Верховное деление наук, — писал Грассман, — состоит в разделении их на реальные и формальные науки, из которых первые отображают в мышлении бытие, как самостоятельно противостоящее мышлению. Наоборот, формальные науки имеют своим предметом то, что полагается самим мышлением. Их истина заключается в согласии мышления с самим собой». Формалистская концепция математики также может быть подвергнута критике, но в настоящее время мы ясно осознаем то обстоятельство, что философия математики не может быть адекватной, если она не будет учитывать фундаментального разделения двух типов знания, которое лежит в ее основе.

Может показаться, что декларируемые установки, а именно, априоризм, прагматизм и формализм — слишком разнородны для того, чтобы быть совместимыми. Эти опасения, однако, не обоснованы. В действительности эти установки тесно связаны друг с другом и существенно предполагают друг друга. В настоящее время становится все более ясным, что рациональное обоснование априоризма мбжет быть достигнуто только на основе понятия практики. Априоризм в настоящее время может быть принят только как праксеологический априоризм, заключающийся в признании универсальных форм мышления как независимых от конкретного опыта и продиктованных деятельностнои установкой субъекта. С другой стороны, формалистская философия математики, несомненно, предполагает элементы априоризма как в понимании строгости доказательства, так и в общей концепции обоснования математики. «Школьная математика» Гильберта, на основе которой он хотел дать абсолютное обоснование непротиворечивости всех математических рассуждений, представляет собой не что иное как такого рода априорное знание, абсолютное и не подверженное эмпирической критике. Так же как и интуиционисты, Гильберт надеялся обосновать математику на априорных началах, придав им, однако, более строгое, собственно математическое определение3. Одна из задач данной книги состоит в том, чтобы показать, что попытка выявить априорное и абсолютно надежное ядро математики не бессмысленна и не безнадежна и что она является реализуемой при более глубокой разработке философии и методологии математической науки.

Уяснение того обстоятельства, что непротиворечивость является основным свойством математической теории и что в математике, в принципе, приемлема любая дедуктивная система, обладающая непротиворечивостью, было громадным прогрессом в философии математики, истинным освобождением математического мышления от гнета внешнего мира. Эта важная идея была, однако, дополнена впоследствии ложным тезисом, согласно которому все математические утверждения, в том числе и самые элементарные, не более чем конвенции, в принципе допускающие замену и удерживаемые в обращении исключительно вследствие их простоты и удобства для некоторых конкретных целей. Это было ложным шагом, искажающим сущность математического знания. Утверждая приемлемость произвольных понятий и структур, удовлетворяющих требованию непротиворечивости, мы должны одновременно учитывать однозначную заданность и априорность исходных математических представлений и их однозначную обусловленность фундаментальной онтологией мышления.

В понимании традиционной математики мы должны идти не за Пуанкаре и Витгенштейном, а за Фреге и Гуссерлем, которые настаивали на однозначной определенности исходных математических очевидностей и на их связи с фундаментальными формами мышления. Важнейшая задача, стоящая перед современной философией математики, состоит в обосновании центрального ядра математики как абсолютного, в теоретическом оправдании идеи предельно надежного обоснователь- ного слоя, которая так или иначе присутствует во всех программах обоснования математики.

Современная философия математики должна соединить в себе три разнородных положения, а именно, тезис об идеальности и формальности математических структур, т. е. представление о математике как о совокупности чисто мысленных конструкций, ограниченных только требованием непротиворечивости, тезис об априорности исходных математических представлений, заключенных в традиционных разделах математики, таких как арифметика и элементарная геометрия, и тезис о реальности исходных математических представлений как непосредственно связанных с универсальной онтологией, лежащей в основе человеческого мышления. Задача книги состоит в том, чтобы показать возможность указанного синтеза и его продуктивность применительно к проблемам обоснования математики.

Рассуждения об обосновании математики должны исходить, очевидно, из некоторого достаточно ясного смысла самого этого понятия. В разные эпохи под обоснованием математики понимались различные вещи. Для математиков Древней Греции, столкнувшихся с проблемой несоизмеримых величин, проблема обоснования, как мы можем предполагать на основе дошедших до нас сведений, состояла в том, чтобы найти способы обращения с произвольными отношениями величин, не отбрасывая иррациональных величин и не отступая от точности вычислений. Они разрешили эту проблему через использование геометрических построений. Математики XVII века усматривали неясные моменты в использовании мнимых и иррациональных чисел, которые не укладывались в принятые представления о математической реальности. Проблема обоснования состояла для них в отыскании убедительной реальной (физической или метафизической) интерпретации для этих чисел. Для математиков XVIII века, которые осознавали нестрогость алгоритмов дифференциального исчисления, проблема обоснования состояла в уточнении исходных понятий новой теории и в возвращении к идеалу строгости, который был задан классическими образцами. Проблема обоснования математики в XVIII веке была прежде всего проблемой строгости доказательства. Необходимая строгость была приобретена после определения основных понятий анализа на базе понятия предела. Для Г. Фреге и Л. Кронекера проблема обоснования математики состояла в ее унификации, в выявлении ее содержательной основы, обеспечивающей единство и строгость всей науки. Фреге хотел представить математику как ветвь логики, в то время как Кронекер был убежден, что такой исходной содержательной основой математики является арифметика. Г. Кантор и Д. Гильберт впервые сформулировали проблему обоснования математики как проблему обоснования непротиворечивости математических теорий. Очевидно, что это совершенно новое понимание обоснования, отличное от всех предшествующих. При такой постановке проблемы обоснование математики не связано непосредственно ни с унификацией математического знания, ни с поиском содержательной интерпретации для математических понятий и теорий.

Можно, конечно, рассматривать все исторически имевшие место подходы как равноправные и в равной мере заслуживающие внимания. Но это было бы плохой стратегией. Нетрудно видеть, что каждое понимание обоснования математики проистекало из методологических проблем своей эпохи и из идеала математики, т. е. из философии математики, преобладающей в данную эпоху. Стремление к обоснованию науки всегда исходит из некоторых гипотез о ее назначении, ибо по своей сути оно не может означать ничего другого как стремление максимально приблизить практику науки к идеалу, диктуемому ее предполагаемым назначением. Но это значит, что для определения правильного пути мы должны принять такое понятие обоснования, которое в наибольшей степени соответствует современному пониманию математики как науки. Мы, таким образом, должны сделать здесь философский выбор, а именно, выбор между современными гипотезами о сущности математики и ее назначении.

Сказанное выше уже в определенной степени определяет этот выбор. Если математика рассматривается как совокупность абстрактных структур, нацеленных в конечном итоге на то, чтобы быть точным языком и средством дедукции для опытных наук, то проблема ее обоснования сводится к обоснованию качеств, определяющих эту функцию математики, а именно, к обоснованию надежности ее доказательств и к установлению непротиворечивости ее теорий. Эти две задачи, непосредственно проистекающие из формалистского понимания сущности математического знания, будут основными в нашем исследовании. Всякие другие трактовки и цели обоснования мы должны рассматривать здесь как частные, побочные и заслуживающие внимания лишь в той мере, в которой они значимы для решения указанных основных задач.

Обосновательная деятельность в математике состоит из двух относительно автономных уровней: математического и философского. Применение принятой программы обоснования к конкретной теории представляет собой чисто математическую работу. Программа обоснования, однако, сама нуждается в обосновании, в установлении ее соответствия своей задаче. Здесь возникают философские и методологические проблемы, такие как проблема интуиции, проблема надежности содержательного доказательства, проблема допустимой логики и т. п. Любая программа обоснования математики содержит в себе систему допущений, имеющих философский или гносеологический характер. Надо признать, что несмотря на усилия, затраченные выдающимися философами и математиками XX века на прояснение и обоснование этих допущений, мы имеем здесь минимальное продвижение вперед и именно это обстоятельство является причиной того, что проблема обоснования математики все еще остается далекой от своего решения.

Имеются основания предполагать, что новые продвижения в решении проблемы обоснования математики придут не от логики, а станут возможными именно на основе радикального углубления философии математики. Довольно очевидно, что эмпирицистская философия математики не указывает здесь правильных перспектив. Отождествить математику с опытными науками в плане обоснования — слишком простое решение вопроса. Мы должны вспомнить здесь слова И. Канта, сказанные по поводу попыток вывести логику из психологии: «Смешение границ различных наук ведет не к расширению этих наук, но к их искажению»4. В настоящее время философия математики нуждается в прояснении специфики математического знания. И прежде всего мы должны избавиться от ложных эмпирических аналогий, которые вносят путаницу в само понимание проблемы обоснования математики.

Хотя философия сама по себе не может претендовать на полное решение проблемы обоснования математики, она может более или менее успешно выполнить свою часть работы. Она должна установить необходимые гносеологические критерии, в рамках которых сама проблема приобретает смысл и перспективу. Основная часть нашей работы будет состоять в обосновании праксеологического априоризма. Задача состоит в том, чтобы показать, что априоризм, жестко связывающий исходные математические представления с универсагьной онтологией, позволяет отстаивать более оптимистические взгляды относительно возможности полного обоснования математических теорий.