Мы выбираем, нас выбирают... (о математических парадоксах демократического голосования)

Автор: Константин Кноп

Статья оказалась в моём распоряжении в электронном виде без указания источника и года издания, но по косвенным признакам можно сделать вывод, что К. Кноп - один из авторов журнала "Компьютерра", а статья появилась в конце девяностых годов, ещё в допутинскую эпоху, когда голосование было относительно честным. Точнее, нам казалось относительно честным....

За последние годы мы неоднократно наблюдали за такими захватывающими событиями, как выборы. Именно в канун выборов политики вдруг вспоминают о нас, грешных, - начинают нас обхаживать и уговаривать. Но вот выборы остаются позади, политическая колода разложена в том порядке, который оказался угодным большинству избирателей, и всё возвращается на круги своя.

Но почему же тогда тот замечательный кандидат, который нам всем так нравился, вновь оказался у разбитого корыта? А у руля встал ЭТОТ - откуда он вообще взялся и кто за него голосовал ? Наверняка у многих из вас после каких-нибудь очередных выборов возникали эти или подобные им вопросы.
Я попробую, не выходя за рамки жанра занимательной математики, продемонстрировать, что исход выборов нам не нравится вовсе не из-за того, что он подтасован, а потому что сама система определения победителей содержит неустранимые парадоксы и противоречия.

Кандидаты и избиратели
На должность президента Страны Чудес баллотируются три кандидата - Ёлкин, Палкин и Галкин. Все 100 избирателей этой страны, тщательно изучив их предвыборные программы, определили свои списки предпочтений:
одна группа - 15 человек - считают, что лучше всех Ёлкин, за ним - Палкин, а Галкина ставят на последнее место;
другая группа - 22 человека - тоже предпочитают Ёлкина, но за ним ставят Галкина, а Палкина хотели бы видеть президентом в последнюю очередь;
третья группа - 30 человек - будут голосовать за Галкина, затем за Палкина, и только в крайнем случае за Ёлкина;
наконец, четвёртая группа избирателей - 33 человека - расставляют кандидатов в таком порядке: Палкин, Галкин, Ёлкин.

Сведём все данные об избирателях и кандидатах в одну табличку:
------------------------------------------
    I             II            III           IV
------------------------------------------
  15          22           30         33
------------------------------------------
Ёлкин    Ёлкин    Галкин  Палкин
Палкин  Галкин  Палкин  Галкин
Галкин  Палкин  Ёлкин    Ёлкин
------------------------------------------

Добавим, что свои предпочтения избиратели сделали вполне осознанно и в дальнейшем уже не меняют. Посмотрим, что же будет происходить во время выборов при разных известных системах голосования.

Система 1 - относительное большинство голосов
Если голосование проходит в один тур, то в нём, несомненно, победит Ёлкин: за него проголосуют первые две группы, что принесет ему 37 голосов. За ним следует Палкин (четвертая группа, 33 голоса), а последним - Галкин (третья группа, 30 голосов).

Система 2 - абсолютное большинство голосов
Чтобы избежать ситуации, когда ни один кандидат не набрал достаточного числа голосов, обычно устраивают второй тур голосования. В него выходят два кандидата, показавшие лучшие результаты в первом туре. В нашем случае - Ёлкин и Палкин. А это значит, что избиратели Галкина (то есть третья группа) должны будут отдать свои голоса одному из двух оставшихся
кандидатов. В полном соответствии со списком предпочтений они выберут Палкина. В итоге Президентом Страны Чудес станет Палкин с убедительным отрывом 63:37.

Система 3 - "спортивная"
На многих спортивных соревнованиях (например, на чемпионатах по фигурному катанию) принята следующая система определения победителей: каждый судья определяет место спортсмена и заносит его в свой протокол. Далее места каждого спортсмена во всех протоколах складываются, а победителем объявляется тот, кто имеет наименьшую сумму мест.

Предположим, что президентские выборы в Стране Чудес проходят именно по спортивной системе (то есть имеется 100 судей при трех "спортсменах").
Тогда сумма мест у Ёлкина будет равна (15+22)*1+(30+33)*3=226, у Палкина - 33*1+(15+30)*2+22*3=189, а у Галкина - 30*1+(22+33)*2+15*3=185. Таким образом, по спортивной системе победителем должен стать Галкин.

Система 4 - "дуэльная"
Что произойдет, если из-за отсутствия реальных шансов (на победу во втором туре) Ёлкин решит снять свою кандидатуру? Казалось бы, это только увеличит шансы его основного соперника Палкина. А на самом деле и в этом случае на выборах победит Галкин (у него будет 22+30=52 голоса против 48 у Палкина). Иначе говоря, "дуэль" Палкина и Галкина выигрывает
последний. Аналогично, Галкин выигрывает "дуэль" и у Ёлкина.
Согласитесь, о какой справедливости голосования может идти речь, если победитель обеих "дуэлей" даже не выходит во второй тур?!

Кстати говоря, многие из нас, оценивая и сравнивая шансы кандидатов на выборах, подсознательно пользуются именно дуэльной системой: "большинство моих соседей и знакомых утверждают, что Галкин лучше Палкина, поэтому шансы Галкина на победу выше". Естественно, что результат реальных выборов очень часто опровергает все подобные оценки и
предсказания.

Парадокс победителя

Как мы видели выше, во второй тур выходят Ёлкин и Палкин, и в нём Палкин побеждает. Предположим теперь, что ещё до первого тура часть избирателей - 8 человек из группы I - поменяли своё мнение об этих двух кандидатах в пользу Палкина. В результате образовалась группа 0, чьи предпочтения идут в таком порядке - Палкин, Ёлкин, Галкин:
------------------------------------------------------
    0             I             II            III           IV
------------------------------------------------------
    8            7           22           30         33
------------------------------------------------------
Палкин   Ёлкин    Ёлкин    Галкин  Палкин
Ёлкин     Палкин  Галкин  Палкин  Галкин
Галкин   Галкин  Палкин  Ёлкин    Ёлкин
------------------------------------------------------

Теперь во второй тур выйдут Палкин (получивший голоса 0-й и IV-й группы, то есть всего 41 голос) и Галкин (30 голосов). Ёлкин с 29 голосами останется только третьим. Но во втором туре с результатом 52:48 победит Галкин. Таким образом, те лишние восемь человек, которые проголосовали в первом туре за Палкина, провалили его!

Послесловие

Из написанного выше становится понятным, что зачастую итог того или иного голосования (не только на выборах, но и при рассмотрении различных законопроектов и вообще при любой демократической процедуре) очень сильно зависит от той системы, которая применяется при подведении итогов. Разные системы дают принципиально разные результаты. Какая система лучше? Я не знаю. В принципе, можно устроить референдум по этому вопросу, но вот загвоздка - по какой системе подводить итоги этого референдума?

Пишите мне, как всегда, по адресу kk@knop.spb.ru

P.S. Все герои и события настоящей статьи - плод воображения автора, поэтому все совпадения фамилий и обстоятельств автор просит считать случайными.

----------------------------------------------------

Вспоминается утверждение, приписываемое Сталину: "Неважно, как проголосовали, важно - как посчитали". Может, имелись в виду не столько фальсификации, сколько выбор "правильной" системы подсчёта голосов?