Противоположность рационального и иррационального в геометрии. Прямоугольный треугольник

Возьмем неравнобедренный прямоугольный треугольник с пропорциональностью сторон выраженной рациональными величинами, напр., 3:4:5. При этом окажется, что 3^2+4^2=5^2 или 9+16=25. Площадь такого треугольника составит: S=(3×4)/2=6. 

Теперь получим равнобедренный прямоугольный треугольник с равной площадью площади исходного. Получим: 6= (a×a)/2;12=a^2,откуда a=√12. 

Получив такой результат, обнаружим, что 〖√12〗^2+〖√12〗^2=12+12=24. Отсюда гипотенуза данного треугольника окажется равной с=√24. Квадратное уравнение в общем виде, а именно, a^2+a^2=c^2, примет следующий вид 〖√12〗^2+〖√12〗^2=〖√24〗^2. 

Именно таким образом становится очевидным, что – в противоположность неравнобедренному прямоугольному треугольнику – стороны равнобедренного прямоугольного треугольника с равной площадью площади неравнобедренного оказываются способными быть выражены только иррациональными величинами. Как видно, по-другому они здесь и не способны быть выражены. :)

С другой стороны, здесь обнаруживается, что периметры этих треугольников различны по величине, а, следовательно, и равную по величине площадь оба треугольника охватывают количественно различно при качественном же различии своих геометрических форм. В самом деле. У неравнобедренного прямоугольного треугольника периметр составит 3+4+5=12, а у равнобедренного – √12+√12+√24=2√3(2+√2). Чтобы сравнить оба полученных периметра, требуется избавиться от иррациональности путем возведения величины каждой из сторон каждого треугольника в квадрат, суммировать эти величины соответственно, а затем сравнить суммы квадратов сторон этих разных треугольников. Так у неравнобедренного прямоугольного треугольника сумма квадратов сторон составит 9+16+25=50, тогда как сумма квадратов сторон равнобедренного составит лишь 12+12+24=48. Следовательно, разность сумм квадратов сторон обоих прямоугольных треугольников составит 50-48=2, откуда разность их периметров окажется равной в точности √2. :) Таким образом, периметр равнобедренного прямоугольного треугольника со сторонами, находящимися в пропорциональности √12:√12:√24, оказывается меньше периметра неравнобедренного прямоугольного треугольника с равной площадью площади равнобедренного в точности на величину равную √2, невзирая на совпадение величин их площадей. Это значит, что равнобедренный прямоугольный треугольник на величину √2 компактнее неравнобедренного охватывает равную последнему площадь, величиной в 6.

Обратимся к исходному неравнобедренному прямоугольному треугольнику с рациональной пропорциональностью сторон 3:4:5. Данный прямоугольный треугольник специфичен тем, - и это, похоже, что вряд ли кому известно! – что содержит в себе непосредственно неравнобедренный прямоугольный треугольник с рациональной пропорциональностью сторон 7:24:25. Этот же последний содержит в себе неравнобедренный прямоугольный треугольник с аналогичной по характеру пропорциональностью сторон 336:527:625, который в свою очередь содержит в себе неравнобедренный прямоугольный треугольник с пропорциональностью сторон 164833:354144:390625 и т.д. до бесконечности (Алгоритм мной получен; однако приведенные пропорциональности получены другим способом, благодаря которому и стало возможным получение упомянутого алгоритма). Следовательно, прямоугольный треугольник с рациональной пропорциональностью сторон 3:4:5 содержит в себе все возможные рациональные пропорциональности. Следует здесь же отметить, что каждая приведенная и все остальные не приведенные рациональные пропорциональности уникальны и не способны к повторению, не могут быть сведены к исходной или предыдущей пропорциональности. Однако каждая из бесподобных может иметь и имеет и разновидности, метаморфозы, в своем собственном ряде, перпендикулярном прогрессивному. 

Далее. Каждому такому неравнобедренному прямоугольному треугольнику соответствует и равный по площади равнобедренный прямоугольный треугольник. Подобно тому, как неравнобедренному треугольнику с пропорциональностью сторон 3:4:5 соответствует по площади равнобедренный треугольник с иррациональной пропорциональностью √12:√12:√24 с разностью охвата периметром на величину √2 меньшую, чем у соответствующего неравнобедренного, подобно этому и треугольнику с пропорциональностью сторон 7:24:25 соответствует равный по площади равнобедренный треугольник с иррациональной пропорциональностью √168:√168:√336 и с разностью охвата равной площади собственным периметром на величину √578=24√2 меньшую, соответствующего неравнобедренного.

И т.д. до бесконечности.

Из сказанного получаются следующие выводы:
1. В любом неравнобедренном прямоугольном треугольнике все его стороны находятся в отношении рациональной пропорциональности друг к другу и могут быть выражены конечной цифрой, или, если угодно, целым числом.
2. В любом равнобедренном прямоугольном треугольнике или, - что есть то же самое, - в равнобедренном прямоугольном треугольнике вообще все стороны находятся в иррациональной пропорциональности и не могут быть выражены целочисленно, а лишь в иррациональной форме в общем и приближенно в каждом конкретном случае.
3. В любом неравнобедренном прямоугольном треугольнике равнобедренный прямоугольный треугольник присутствует идеально и именно поэтому любой неравнобедренный прямоугольный треугольник по площади непосредственно сводится к последнему.
4. Равнобедренность прямоугольного треугольника указывает на максимальную компактность охвата периметром занимаемой данной фигурой площади.


С. Водянов 
10.03.2012 г.

P.S. а) Из первых двух пунктов вытекает тот вывод, что в любом - будь он равнобедренный или неравнобедренный -  прямоугольном треугольнике все стороны соразмерны. Это - основной закон прямоугольного треугольника.

б) Из пункта 2 и 3 возникает вопрос почему идеальный равнобедренный прямоугольный треугольник может быть выражен в общем только в иррациональной математической форме, а в каждом конкретном случае лишь приблизительными цифрами, а потому и может быть построен геометрически по исходным математическим данным лишь приближенно? С другой стороны, почему геометрически равнобедренный прямоугольный треугольник точно построить можно, а математически выразить длины его сторон в рациональных числах нельзя? В чем состоит причина всего этого?

Причиной этого является обнаруженное в данном случае неустранимое из самой природы противоречие между идеальностью предмета и его реальностью. Но обнаружение этого противоречия с необходимостью приводит к пониманию того, как это противоречие осуществляется: реальность предмета - лишь только необходимая форма проявления его идеальности. Идеальность предмета потому не может быть осуществлена или достигнута практически, что она уже существует единственным для нее возможным способом, а именно, посредством реальности предмета. Достигнуть изолированной от реальности идеальности предмета потому нельзя, что невозможно избавиться от реальности предмета исследования, как бы мы не старались. Именно поэтому, те случаи реальности предмета, которые максимально приближены к его идеальности, называют классическими случаями. И именно поэтому отыскание или искусственное создание таких случаев является необходимым условием для истинного постижения идеальности предмета исследования, а потому и его действительностиИ именно поэтому отыскание или искусственное создание таких случаев является необходимым условием для истинного постижения идеальности предмета исследования, а, следовательно, его действительности. Ведь идеальное - это ничто иное как материальное, отраженное в человеческой голове и преобразованное в ней. :).

Само же это противоречие между идеальностью предмета и его реальностью есть лишь одна из форм выражения самодвижения материи. Выявление этого противоречия дает возможность правильного понимания закона неуничтожимости движения. С точки зрения закона неуничтожимости движения можно сказать, что если бы указанное выше противоречие было бы устранимо из природы, то природа бы оказалась сотворенной, а следовательно, существовал бы творец. Но это противоречие неустранимо из природы: не возможно получить целочисленный эквивалент для числа √2. Возможность его вечного вычисления доказывает вечность движения вообще, а, следовательно, несотворимость движущейся материи и ее неуничтожимость. :))

С. Водянов

14.03.2012 г.