Тьма академиков и биллион учащихся якобы знали задачу о рыбалке, решённую Дираком лет 95 назад

Не полюби Поль Дирак спать на левом боку, как Ландау, он мог бы  не прославиться решением задачи о рыбаках и рыбках. Которую не переврали только те, кто не успел рассказать свою версию. Пробежитесь по легендам для начала – литературной, физической и программистской. А потом определите, ответ к какой задаче отыскал Дирак, решив подспудную проблему, опираясь на законы физики и лирики и критерии успешности рыбалки.

 Ключевые слова: обратная проблема Дирака о рыбалке; физики шутят.

Ключевые фразы. ( 1 ) Студент увидел над столом профессора подкову и спросил, верит ли физик, что подкова принесёт удачу. «Принесёт ли всё равно, веришь или нет», - сказал Дирак.  ( 2 ) Наше компьютерное решение задачи показывает, что и Дирак ошибался: «Поль, ты не прав!»… Минус двух рыб… мы не получим: «Keep if it simple, stupid! – Делай это проще, дурачок!» - Валерий Ф. Очков. (2014). Проблема метки в программировании. http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/T-2014/Lable.pdf. ( 3 ) Математики играют в игры, для которых сами сочиняют правила, а физики играют по правилам Природы. Но чем дальше в лес, тем лучше понимаешь: правила, приглянувшиеся математикам, выбрала и Природа.  – Paul A. M. Dirac In Ian Stewart, Why Beauty is Truth (2007), 279.  

Содержание

§ 1. Научно-художественная версия задачи о рыбалке

§ 2. Версия Физика–экспериментатора

§ 3. Версия Программиста (конспект урока)

§ 4. Поль склонился над бумагой и взъерошил чуб

§ 5. В условии задачи о рыбалке не солгал один рассказчик

§ 6. Решение Дирака объясняется законом сохранения материи

§ 7. Решение Дирака достоверно в логике Льюиса Кэрролла

§ 8. Дирак максимизировал эффективное число рыбаков

§ 9. Решение Дирака следует из принципа эгалитарности

§ 10. Решению Дирака отвечает наивысший КПД дележа улова

Заключение

§ 1. Научно-художественная версия

 На рождественский конкурс, ежегодно устраиваемый Кембриджским  математическим обществом, пришёл юноша Поль. Ему досталась простенькая задачка. Она была не о бассейнах, в которые наливается, а потом зачем-то выливается вода, не о поездах, которые выходят из пункта А и никак не могут спокойно попасть в пункт В. Фантазия кембриджских педагогов изобрела для английских студентов задачку о трёх рыбаках, которые рыбачили на острове в тёмную-тёмную ночь и улеглись спать, не поделив улова.

<pre>Под утро один из них проснулся и уехал домой, взяв с собой треть улова. При дележе у него оказалась лишняя рыбина, и он, не имея весов и боясь обидеть товарищей, выбросил её в море.</pre> <pre>Потом проснулся второй рыбак и, не зная, что один из его компаньонов уже на пути домой, снова поделил улов на три части. Он тоже делил честно, но и у него осталась лишняя рыбина, и он тоже выбросил её в море! Захватив свою долю, он уехал с острова.</pre> <pre>А потом проснулся третий рыбак и проделал ту же операцию — ему также пришла в голову мысль выбросить в море лишнюю рыбину. В задачке спрашивалось: сколько рыб выловили рыбаки?</pre> <pre>Юноша Поль склонился над бумагой, взъерошил чуб. Исписал несколько страниц, и его брови многократно в изумлении поднимались и вновь бессильно опускались. Уголки губ кривились каверзной усмешкой. И вот, глубоко вздохнув и поёрзав на стуле, он встал и положил перед жюри свою работу. Она пошла по рукам, и каждый из членов жюри мог подивиться ответу: «Рыбаки выловили минус две рыбы». «Юноша начитался сказок — уж не вообразил ли он себя Алисой в Зазеркалье?» — подумали члены жюри и лишили его приза. </pre> <pre>(Источник: Ирина Радунская. Кванты и музы. – М., 1980. – С. 314-315.)</pre> <pre> </pre>

§ 2. Версия Физика–экспериментатора

(Текст на русском: http://n-t.ru/ri/fz/fz607.htm )

Dirac, while still a student, attended a mathematical congress where the following problem was proposed:

Three fisherman were fishing on a secluded island. The fish briskly gobbled the bait; the fisherman were so absorbed that they did not notice that night had come and did not realize till too late what a mountain of fish they had hooked. So they had to spend the night on the island. Two fisherman quickly fell asleep, each nestled down under his boat, but the third had insomnia and decided to go home. He did not wake his comrades, but divided all the fish into three parts. There proved to be one extra fish. After a moment's thought, he threw it into the water, took his hare, and went home.

In the middle of the night, the second fisherman woke up. He did not know that the first fisherman had already left and also divided all the fish into three and, as before, there was one fish left over. As before, the fisherman threw the extra fish in the water, took his share, and went home.

By early morning, the third fisherman awoke. He did not notice that the other two fisherman had left, so he too divided all the fish into three and, as before, there was one fish left over. As did his comrades before him, the fisherman threw the extra fish in the water, took his share, and went home.

The problem was to determine the least number of fish that the fisherman could have caught. Dirac thought about the problem for a moment before coming to an answer: there were (-2) fishes.

His reasoning? After the first fisherman carried out the antisocial action of throwing a fish into the water there were -2-1 = -3 fish. Then he went, carrying in his bag -1 fish, and there were -3-(-1) = -2 fish left behind. The other two fisherman merely repeated this procedure.

[Related by V. Berezinsky in his article "How a theoretical physicist works," from <cite>Paths into the Unknown</cite> No. 2, 1968.] 

http://komplexify.com/math/humor_pure/UrbanLegends.html

§ 3. Версия Программиста (конспект урока)

Эту задачу придумал известный английский физик Поль Дирак.

“Три рыбака легли спать, не поделив улова. Проснувшийся ночью первый рыбак решил уйти, взяв свою долю. Но число рыб не делилось на три. Тогда он выбросил одну рыбу, а из числа оставшихся забрал треть. Второй и третий рыбаки поступили аналогично (выбросили по одной рыбе и взяли треть из оставшихся). Спрашивается, какое наименьшее количество рыб может удовлетворить условию задачи?”

Поль Дирак был мастер давать различным существительным приставку “анти” - античастица, например. И в этой задаче он, по-видимому, не изменил своей привычке, оригинально решив ее: минус две рыбы. Выбрасываем одну - получаем минус три, забираем треть - останется минус две и т.д.

Попробуем решить задачу, не допуская возможности ловли “антирыб”, то есть найдем наименьшее /положительное /число, удовлетворяющее условию приведенной задачи. Правда, при этом сделаем небольшое уточнение - число рыб, доставшееся каждому рыбаку, не обязательно должно быть одинаковым, как в решении Дирака.

Сначала рассмотрим такую задачу: “Имеется некоторое количество рыб. Определить, возможен ли дележ рыб между тремя рыбаками в соответствии с условием задачи Дирака”.

В программе решения этой задачи используем следующие величины:

на */школьном алгоритмическом языке /*соответствующая программа имеет вид:

После этого программа нахождения минимального количества рыб, удовлетворяющего условию задачи Дирака, может быть оформлена очень кратко:

где Avail_partit(k0) - вспомогательная функция логического типа, определяющая возможность дележа k0/ /рыб в соответствии с условием задачи, составленная на основе программы, приведенной чуть выше:

Соответствующая программа на Паскале:

Выполнив программу, можно увидеть, что минимальное количество рыб, удовлетворяющее условию задачи, равно 25. Имеются и большие значения (52, 79, 106, ...).

Имеется и другой способ решения задачи. Можно, так сказать, идти не от общего количества пойманных рыб, а от числа рыб, доставшихся третьему рыбаку. Если эту величину обозначить take3, то можно записать, что количество рыб, оставшееся тому или иному рыбаку, равно:

Перебирая значения k3, равные 1, 2, 3, …, можно найти такое минимальное число, при котором значения величин k2 и k1 есть целые числа.

Программа, реализующая такой подход к решению задачи, имеет вид:

Рассмотренную задачу можно решать и при другом числе рыбаков. Соответствующие результаты представлены в таблице (естественно, что некоторые из них являются условными).

 Можно также рассмотреть варианты, в которых каждым рыбаком выбрасывается не одна рыба, а больше, а также случаи, когда перед тем как взять треть каждый рыбак не выбрасывает, а ловит еще одну (или больше) рыбу.

(Источник: «Рыбаки и рыбки» - http://www.codenet.ru/progr/alg/fish.php )

§ 4. Поль склонился над бумагой и взъерошил чуб

- Окуну-ка я задачу о рыбалке в шестимерное пространство, - сказал Дирак, изобразив  таблицу 2.

А затем таблицу перевёл на матричный язык.

Все решения уравнения Дирака ( 1 ) лежат на одной прямой в 6-мерном пространстве, так как ранг матрицы A равен 5, ибо

- Раз в задаче спрашивается улов, - сказал Поль, - все неизвестные следует выразить через Y₁, как в таблице  3, а не через добычу третьего рыбака, как в таблице 4. Однако Программист не зря полюбил второй способ к концу § 3. (Не поленился бы ещё узнать ранг матрицы A, как я.)  Ведь Программист решал свою задачу методом перебора целых чисел с шагом в одну рыбу. А перебор добычи третьего рыбака реализуется раз в шесть быстрей, чем перебор улова, как ясно из таблицы 5.

- Если бы в задаче о рыбалке требовалось применить традиционный метод Гаусса, выбрав такое из решений уравнения ( 1 ), при котором минимальна функция

то не получилось бы ничего хорошего. Ведь из таблицы 4  следует, что

а потому минимальна в точке, где производная обращается в нуль:

Уголки губ Дирака искривились усмешкой:

- В Кембридже дробная добыча не имеет смысла. Другое дело, если округлить её до  ближайшего целого Z₃ = -1. И если вдруг окажется, что Q(-1) < Q(0) и Q(-1) < Q(-2).

К счастью, надежды Поля случайно оправдались:

Подставляя добычу третьего рыболова в таблицу 4, находим, что глобальный минимум функции ( 3 ) при целочисленных координатах пространства Дирака, удовлетворяющих уравнению ( 1 ), достигается только при

А ведь именно этот ответ получил Поль Дирак, по словам физиков, писателей, журналистов, программистов и учителей. Желающие могут убедиться сами, подставив Y₁ = –2 в таблицу 3.

Одна беда – в функции ( 3 ) смешались в кучу добычи и уловы. Поэтому я думаю, что и Дирак бы в ней не углядел физического смысла.  Выходит, Поль как-то иначе оправдал однозначное решение ( 7 ). Вдруг знал одну из версий, рассмотренных в параграфах 1–3?

Намотайте на ус!

1. Поль Дирак опирался на кембриджский постулат: наблюдённые уловы и добычи в задаче о рыбалке должны быть целочисленными. (Если бы кембриджские математики учили дробным рыбам, то 10-летний Эндрю Уайлз не замахнулся бы на доказательство гипотезы Ферма о целых числах.)

2. Все допустимые уловы и добычи шестимерного пространства Поля описываются равноправными таблицами 3–4.

3. Поль бы не сдал в жюри неполное решение. А то с какой бы стати «его брови многократно в изумлении поднимались и вновь бессильно опускались»? В ответе к задаче, решённой Дираком, первый рыбак при пробуждении мог наблюдать только минус две рыбы. Иначе говоря, третий рыбак мог унести домой только минус одну рыбу.

.§ 5. В условии задачи о рыбалке не солгал один рассказчик

По названию параграфа понятно, что обойтись без лжи смогла писательница. Потому что не договорила задачу Физика и Программиста. Дружно дополнивших условие Радунской требованием минимизировать улов. Раз мужскую версию изложили двое, то не соврать остаётся выпускнице МАИ. Сказавшей хоть и правду, однако не всю правду, позволяющую однозначно оправдать минус двух рыб Дирака.

Google обрадовал и огорчил. Оказывается, не только вы с Радунской догадались, что Дирак был не дурак, чтобы решать задачу в постановке Физика. В эпохе перестройки нашёлся математик Юрий Пухначёв. (Тот самый, что «Кроссворд с фрагментами» и «Человек и компьютер» тогдашней «Науки и жизни».) Пытавшийся, но не сумевший толком оправдать минус двух рыб Дирака. Даже при содействии младшего соавтора.

http://swsys.ru/index.php?page=article&id=1374

Соавтор Пухначёва далеко не сразу сформулирует Ключевую фразу № 2 нашей Записки. Ещё в 2012 году он не созрел до ярлыка из «Проблемы метки в программировании», говорит таблица 8.

 Самый свежий перепост рассказа Физика, подписавшегося как Доброжелатель-Экспериментатор, обнаружился на форуме ФИАНа. http://forum.lebedev.ru/viewtopic.php?t=5221  (Номер сообщения: #6  Сообщение: potoksoznanya.  Ср мар 18, 2015 21:44.) Форумчане обсудили, кто из Березинских мог осмелиться шутить над теоретиками.  Но никто не догадался исправить рассказ и никто не оправдывал Доброжелателя. А ведь простое переборное решение его задачи на ЭВМ даёт конечный результат, определяемый разрядностью машинной арифметики.

Других рассказчиков задачи о рыбалке, заблудившихся в лесу оглашённых версий, упоминать не буду.  Ведь нас волнует однозначное и внятное объяснение «минус двух рыб». Ниже вашему вниманию предлагаются пять вариантов уточнения условия Радунской, знакомиться с которыми можно в любой последовательности.

§ 6. Решение Дирака объясняется законом сохранения материи

Применительно к задаче о рыбалке закон Михайлы Ломоносова о сохранении материи интерпретируется как закон о сохранении улова в трёх независимых системах отсчёта. Ведь каждый рыболов не сомневался, что проснулся первый и наблюдает истинный улов.

Танцуя от закона сохранения наблюдённого улова

из таблицы ( 3 ) выводим

Что и требовалось доказать, чтобы оправдать ответ Дирака.

Важно отметить, что своим решением Дирак распространил закон Михайлы Ломоносова на наблюдаемое антивещество.

§ 7. Решение Дирака достоверно в логике Льюиса Кэрролла

http://www.ytime.com.ua/ru/50/3152

Обойдёмся без цитат из биографии Алисы. Ведь природа аксиомы Кэрролла уже ясна. Из её научности (фальсифицируется!) следует справедливость клаузулы о трёх свидетелях на современном уровне развития науки. Значит, показаниям трёх рыбаков, собственноручно насчитавших один и тот же истинный улов, поверит беспристрастный суд:

Защита, опираясь на таблицу ( 3 ), получит

а прокурор потребует построить для контроля графики наблюдённого улова в зависимости от добычи третьего рыбака. Рис. 9 окончательно склонит присяжных заседателей оправдать единственно возможное решение Дирака.

Рис. 9.

 § 8. Дирак максимизировал эффективное число рыбаков

Какой лес покажется более разнообразным – тот, где насчитывается 247 берёз и 188 осин, или тот, где растут 315 берёз, 57 осин, 40 дубов и 38 ёлок? Ответ может  зависеть от того, по какой шкале вы измеряете эффективное число пород деревьев. Я буду мерить по шкале Марку Лааксо (политолог) и Рейна Таагеперы (физик-расстрига, променявший ФТТ, хотя публиковался в Nature и в J Appl Phys, на аналог Нобелевской премии по электотехнике)

Вы, конечно, догадались, что мы измерили многопартийность нынешней Палаты представителей Конгресса США и предыдущей Думы. А вот сегодняшняя Дума превзошла Палату представителей по эффективному числу парламентских партий:

 В задаче о рыбалке роль партий исполняют рыбаки, а в качестве партийных мест выступают рыбы, унесённые домой. Дирак, оказывается, максимизировал эффективное число участников рыбалки, как ясно из таблицы 11. Учтите! Этот вывод не зависит от шкалы многообразия. Ведь многопартийность, например, достигает наибольшего возможного значения по любой шкале только при равенстве всех партий по парламентскому весу.

§ 9. Решение Дирака следует из принципа эгалитарности

Принцип эгалитарности предполагает равенство участников рыбалки по добыче, унесённой домой, то есть

Опираясь на таблицу ( 4 ), имеем

Ну а это как раз то решение, которое приписано Дираку во всех известных версиях задачи о рыбалке. Что иллюстрируют рис. 10–11.

§ 10. Решению Дирака отвечает наивысший КПД дележа улова

Рыбаки между собой распределили далеко не весь улов, обнаруженный первым рыбаком.  Трёх рыбок, говорит задача о рыбалке, отпустили в реку. Кроме того, на берегу была забыта удвоенная доля последнего рыбака. 

Под КПД описанной в задаче о рыбалке процедуры дележа улова можно и нужно понимать отношение общей добычи, унесённой рыбаками, к тому улову, который обнаружил первый рыбак.

Заключение

Своим решением задачи о рыбалке Поль Дирак:

( 1 ) верифицировал правило трёх свидетелей;

( 2 ) поверил лирикой теоретическую физику;

( 3 ) угадал, что всё на свете ходит парами по мирам–антимирам;

( 4 ) распространил закон о сохранении материи на наблюдаемое антивещество;

( 5 ) опроверг гипотезу о том, что «эффективное число»  античастиц отрицательно;

( 6 ) заронил сомнение в ограниченности КПД;

( 7 ) разрешил извечный спор квантовой и волновой механик, оперирующих целыми и вещественными рыбами: рыбаки скорей поверят точкам, чем кривым на графиках из таблиц 11–12;

 ( 8 ) продемонстрировал устойчивость метода Гаусса к физическому смыслу показаний датчиков,  получив нетривиальный результат натурного эксперимента путем минимизации сборной солянки квадратов Q из формулы ( 3 ) § 4;

( 9 ) доказал, что идеалы равенства и эффективности способны забивать голы в одни ворота;

( 10 ) подтвердил, что теоретика скорей поймут политолог, переводчик и юрист, чем виртуоз сургуча и верёвочки из соседней лаборатории;

( 11 ) вселил надежду, что программы перебора целых чисел учеников профессора  Очкова зациклятся и не дойдут до метки Нобелеат_Дурее_Юзера_Маткада;

 ( 12 ) призвал вас не лениться, а продолжить перечень.

<pre> </pre> <pre> </pre>