Распределение величин в природе (а Перельман – ВЕЛИЧИНА!)

Термин «богатство» в моих книгах и статьях ещё с 1997 года я трактую в самом широком смысле. Настолько широком – насколько богат и разнообразен окружающий нас мир: на нашей планете, в Солнечной системе, в нашей Галактике, во Вселенной. В качестве «богатства» могут выступать самые разнообразные физические характеристики реальных объектов, например, их размер, объём, масса (вес), и т.д. 

Если дробить (в специальных мощных установках), скажем, горную породу, то мы получим следующее распределение камней по их размерам (по их «богатству»): подавляющее число камней будет из диапазона неких «средних» размеров (зависящих от технического устройства конкретной «дробилки»), а вот очень маленьких (совсем «бедных») камушков и очень больших (крайне «богатых») камней-глыб будет немного. Процесс дробления горной породы – это хороший пример случайного (вероятностного) процесса и это – самый распространенный процесс в природе. Образно говоря, это самый «любимый» процесс (высокодуховного) Творца-Создателя или… (неодушевленного) Его Величества Случая – это кому как больше нравится, то есть это зависит от вашего мировоззрения в части «Главного Управляющего» нашей Вселенной (лично я склоняюсь к Его Величеству Случаю).

Сотни тысяч астероидов (каменных глыб размером от 30 м до… 909.000 м!) в Солнечной системе – это результат совершенно аналогичного (случайного, вероятностного) «дробления», но только уже природного и в космических масштабах. И результаты любых подобных дроблений (распределение камней по их размерам или массам, то есть по их «богатству») лучше всего описываются так называемым логнормальным распределением – это математический аппарат, придуманный учеными в рамках теории вероятности (раздел высшей математики). Более того, подавляющее большинство распределений всевозможных «богатств» (в широком смысле) на нашей планете, в Солнечной системе, в нашей Галактике, во всей Вселенной – это логнормальные (то есть логарифмически нормальные) распределения с самыми разными параметрами (характеристиками).

Примером нормального распределения является, скажем, распределение роста среди всех мужчин на планете. У мужчин шкала роста такова: от карликов (ниже 140 см) до гигантов (свыше 200 см), а средний рост мужчины на планете – 174 см (это рост среднестатистического мужчины; то есть рост, близкий к этому, встретится чаще всего). Если всю шкалу роста мужчин (скажем, от 50 до 300 см) условно разделить, допустим, на 100 равных (по длине в см) частей, то каждой из частей (которые мы пронумеруем: Х = 1, 2, 3, 4, …, 99, 100) будет соответствовать своё количество мужчин Y (сто групп разных по количеству мужчин). На бумаге (или на компьютере) можно нарисовать график Y = f(X), на котором каждому значению Х (по горизонтальной оси графика) мы откладываем соответствующее значение Y (по вертикальной оси графика), то есть Y (игрек) является некой функцией (f) от Х (икс). Так вот, построенный таким образом график Y = f(X) будет иметь вид симметричного «колокола» (взгляните на рисунок в статье «Нормальное распределение» в Википедии). Вершину «колокола» формирует пара чисел X-Y, соответствующая наиболее распространенному росту (около 174 см); левая линия «колокола» спадает в область карликового роста (к 50 см), а правая – спадает в область гигантского роста (поскольку и карликов, и гигантов исчезающее мало в общей массе всех мужчин). Указанный «колокол» на графике (такая картинка) – это «визитная карточка» всякого нормального распределения, а вершина «колокола» (и его ось симметрии) указывает наиболее вероятное значение случайной величины. Подобных распределений в природе множество – это норма для природы, которой «управляет» Его Величество Случай. Ясно, что у каждого нормального распределения – будет свой «колокол» (своя «картинка»), свои параметры распределения – так называемые математическое ожидание (матожидание) и дисперсия. Более того, указанные параметры могут меняться со временем, например, раньше средний рост мужчин на планете был меньше 174 см.

Логнормальные распределения – это также норма для природы. По сути дела, это обычные  нормальные распределения, но только рассматриваемые в логарифмической шкале.  Ведь, скажем, размеры астероидов отличаются почти на пять порядков (здесь «гиганты выше карликов» в 30300 раз!), поэтому все астероиды просто удобно рассматривать именно в логарифмической шкале – это самая «демократическая» шкала, в которой одинаково хорошо видны и «карлики», и «середнячки»,  и «гиганты». Логнормальные распределения – это естественный закон неодушевленной природы, живущей по вероятностным законам Его Величества Случая. О логнормальном распределении можно почитать, скажем, в Википедии, но большинство читателей этим вряд ли заинтересуется, поскольку интерес (способность) людей к восприятию математики описывается всё тем же… логнормальным распределением: очень умных людей (гениев, таких как математик Григорий Перельман) и полных идиотов – сравнительно немного в обществе, а подавляющее большинство (80%?) «нормальных» людей не склоны к математике. Не склоны настолько, что даже… не смогут дочитать данную статью до конца, хотя я в своих рассуждениях не выйду за рамки средней школы.   

Лично меня закон распределения богатства (ЗРБ), повторяю, в широком смысле этого слова, заинтересовал потому, что однажды я обнаружил ЗРБ в мире… натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...). Причем сначала ЗРБ предстал передо мной в облике некой тильда-функции (или просто тильды, которую я сам «сконструировал», придумал), однако вскоре я догадался, что моя тильда – это просто… «лакмусовая бумажка» общеизвестного… логнормального распределения. Можно также сказать, что моя тильда – это примитивный «заменитель» («суррогат») логнормального распределения, что позволят «исследовать» всевозможные ЗРБ даже неискушенным в математике людям – для этого достаточно, вообще говоря, школьных знаний.

Далее я попробую рассказать о своей тильде (о ЗРБ) по возможности простым языком.

Мир натуральных чисел – это бесконечный ряд целых положительных чисел N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Ничего не может быть проще этих чисел, и это первая абстрактная (виртуальная) истина, которая открылась древнему человеку. Однако, как ни парадоксально это звучит, мир натуральных чисел имеет… сложнейшую "внутреннюю" структуру! "Устройство" этого мира изучает теория чисел – раздел высшей математики, который входит в университетский курс, причем входит лишь своими азами – настолько сложна теория чисел. Более того, законы мира чисел – это проявление наивысшей математической гармонии. Считается, что данный факт впервые осознал Пифагор (570-490 гг. до н. э.) – древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев. Пифагор учил, что в основе вещей лежит число: познать мир – значит познать управляющие им числа. Изучая числа, пифагорейцы разработали числовые отношения и нашли их во всех областях человеческой деятельности. Числа и пропорции изучались с тем, чтобы познать и описать душу человека, а познав, управлять процессом переселения душ с конечной целью отправить душу в некое высшее божественное состояние. Пифагору приписывают, например, такие высказывания: “Бог – это число”. “Самое мудрое – число”. “Числу же все подобно”. “Первообразы и первоначала не поддаются ясному изложению на словах, потому что их трудно уразуметь и трудно высказать, – оттого и приходится для ясности обучения прибегать к числам”. “Все происходит не из числа, но сообразно с числом, ибо в числе – первичная упорядоченность...”

Лично меня, инженера-механика (по вполне реальным «железякам»), виртуальный мир чисел увлек "случайно" (впрочем, в наших судьбах ничего не бывает случайного?). В 1997 году я осваивал возможности стандартной компьютерной программы Excel – строил разные графики, их линии тренда и т.д. А в качестве «рабочего материала» для своих графиков я брал… наборы целых делителей того или иного натурального числа N. Вот тогда я и совершил настоящее открытие (по крайней мере, для себя) – "вдруг" обнаружил, что распределение целых делителей у некоторых натуральных чисел (имеющих много делителей) очень напоминает распределение всевозможных богатств… в реальном (физическом) мире!

Далее мы рассмотрим так называемую тильда-функцию (тильду), которая описывает распределение целых делителей у числа N (ну и распределение богатств в природе – в этом практическая польза тильда-функции). Разговор о тильда-функции мы начнем с основных понятий, придуманных в рамках моей так называемой графической теории натуральных чисел (ГТНЧ – с 1997 года), которую позже я значительно расширил и переименовал в виртуальную космологию (с 2008 года).

Тип числа N – это количество всех его целых делителей. Например, у числа N = 20 всего шесть делителей: 1, 2, 4, 5, 10, 20, поэтому его тип Т = 6 (тип числа N я обычно обозначаю буквой Т). Заметим, что математики иногда ноль (нуль) считают натуральным числом (в моей виртуальной космологии – это очевидный факт), а ноль делится на любое число (кроме ноля), поэтому первое натуральное число N = 0 имеет… бесконечно большой тип (Т = «бесконечности»). По законам математики «бесконечность» (как и ноль) делится на все натуральные числа N = 1, 2, 3, 4, 5,… (это подтверждают и мои понятия «легкие делители» и «мощные числа», см. ниже), поэтому первое натуральное число N = 0, в некотором смысле, «смыкается» с… бесконечностью (то есть в мире чисел есть нешуточные проблемы, в том числе и философские)? Число N = 1 является единственным, особым числом, у которого тип равен единице (Т = 1). Все остальные натуральные числа математики делят на простые и составные. У всякого простого числа N = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,… только два целых делителя: 1 и само число N, поэтому тип простого числа равен двум (Т = 2). Тип составных чисел может быть любым Т = 3, 4, 5, 6, 7,… (до бесконечности).

Простых чисел N – бесконечно много. Единицу (N = 1) математики иногда также считают простым числом, а в моей виртуальной космологии число N = 1 вообще символизирует что-то вроде черной дыры (из космологии), поскольку у единицы подразумевается… бесконечно большой порядковый номер в мире простых чисел (при этом единица «смыкается» с первым «обычным» простым числом N = 2).

Простые числа – это «кирпичики», из которых «строятся» (математики говорят – факторизуются) все натуральные числа. Например: N = 261360 = (2*2*2*2)*(3*3*3)*5*(11*11) = 2^4*3^3*5^1*11^2 – это так называемое каноническое разложение числа 261360, и никакое иное перемножение (других) простых чисел не даст нам числа 261360. В отличие от задачи распознавания простоты числа N (отвечающей на вопрос простое это число или нет), факторизация числа N (нахождение его канонического разложения) предположительно является вычислительно сложной задачей.

Зная каноническое разложение числа N, можно легко вычислить его тип (Т) по красивой формуле, известной ещё древним математикам. Так, для нашего числа N = 261360 мы получаем Т = (4+1)*(3+1)*(1+1)*(2+1) = 120, то есть мы перемножили все показатели степени (правда, увеличенные на единицу) в каноническом разложении числа N и получили… тип числа N – количество всех его целых делителей (хотя самих делителей мы даже… «в глаза не видели»!).  

Красота и сила (мощь) теории чисел заключается, скажем, даже в том факте, что некое колоссальное  число N мы не способны ни записать целиком (даже на компьютере), ни представить в своем воображении, однако его «внутреннюю» структуру (каноническое разложение) записать совсем несложно. Например: N =  2^9 * 3^5 * 5^3 * 7^2 * 11^2 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 * 53 * 59 * 61 * 67 * 71 * 73 * 79 * 83 * 89 * 97 * 101 * 103 * 107 * 109 * 113 * 127 * 131 * 137 = 2 875 918 326 781 570 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 = 2,876*10^60 – у данного числа N (обычный) компьютер способен показать только первые 15-ть значащих цифр, а вместо остальных значащих цифр – компьютер «пишет» нули (округляя число N). Как мы видим указанное число N «строится» с помощью первых 33 простых чисел (2, 3, 5, …, 137), причём в данном случае простые числа идут подряд (без пропусков) и каждое из них возведено в соответствующую степень (9, 5, 3, 2, 2, 1, 1, 1, …, 1). Если все эти степени увеличить на единицу и перемножить, то получим количество целых делителей у данного числа N (то есть получим тип числа N): Т = (9+1) * (5+1) * (3+1) * (2+1) * (2+1) * (1+1) *…* (1+1) = 579.820.584.960, то есть указанное число N имеет свыше 579 миллиардов (свыше половины триллиона) целых делителей! По всей вероятности, приведенное число N является одним из мощных чисел в конце Большого отрезка (см. ниже).

Делители числа N – это такие целые числа (D), которые делят натуральное число N нацело (без остатка). В части делителей (D) очевидны следующие утверждения, названные мною законом Пирамиды:

D = 1 делит любое число N (вероятность появления D = 1 в качестве делителя равна 1/1 = 1);

D = 2 делит каждое 2-е число N, начиная с N = 2 (вероятность появления D = 2 равна 1/2 = 0,5);

D = 3 делит каждое 3-е число N , начиная с N = 3 (вероятность появления D = 3 равна 1/3 = 0,333…);

D = 4 делит каждое 4-е число N, начиная с N = 4 (вероятность появления D = 4 равна 1/4 = 0,25);

D = 5 делит каждое 5-е число N, начиная с N = 5 (вероятность появления D = 5 равна 1/5 = 0,2);

и так далее до бесконечности!

Указанный закон Пирамиды как бы «цементирует» («раз и навсегда») набор делителей (D) любого (сколь угодно большого) натурального числа N. При этом изображение всех делителей (всех чисел N) в начале натурального ряда на листе в клетку напоминает пирамиду, в которой каждая клетка – это «камень» пирамиды (среди них есть «окрашенные камни» – это делители). То есть набор делителей любого конкретного числа N заранее предсказуем, он строго «запрограммирован». Иначе говоря, мир натуральных чисел (в части их целых делителей) полностью детерминирован. И если у нас возникают проблемы с поиском делителей больших чисел N, то лишь сугубо вычислительного порядка – нам просто не хватает мощности компьютера. Однако в рамках своей теории я доказываю, что у больших чисел N (с большим количеством делителей) распределение делителей (D) лучше всего описывается… логнормальными распределениями [см. мою книгу "Зеркало" Вселенной" (на стр.45-55), которая размещена на сайте «Самиздат» (там просто найдите автора – Исаев Александр Васильевич)]. Однако логнормальные распределения придуманы учеными для описания… случайных величин, порожденных Его Величеством Случаем, а мир натуральных чисел, я повторяю, строго детерминирован, в нём нет места случайности (Его Величеству Случаю) – в этом кроется (лично для меня) некий парадокс (кто возьмется его объяснить?). Также добавлю, что в математике есть так называемая вариационная статистика – это исчисление характеристик эмпирических распределений, так вот, могут ли найденные мною факты (в части целых делителей натуральных чисел) являться неким… обоснованием указанного исчисления? (Эти вопросы я адресую в первую очередь профессиональным математикам и физикам).

Приведу пояснения для тех, кто захочет сам найти делители достаточно большого числа N, например, N = 18.632.716.502.400. Его мы назовем «нашим» числом, поскольку будем «работать» с ним в рамках данной статье (см. ниже). У нашего числа N всего Т = 12.288 целых делителей, которые я нашёл в программе Excel, учитывая нехитрое правило: каждое из чисел D = 1, 2, 3, 4,... является делителем нашего N, если выполняется равенство:  N/D – ЦЕЛОЕ(N/D) = 0, где ЦЕЛОЕ – это общеизвестная функция "антье" (в обозначении программы Excel). Функция «антье» выделяет (оставляет) только целую часть отношения N/D, например, для отношения 7/2 = 3,5 мы получим ЦЕЛОЕ(7/2) = 3, поэтому 7/2 – ЦЕЛОЕ(7/2) = 3,5 – 3 = 0,5, значит, число 2 не является делителем числа N = 7.

Богатство числа N – это сумма всех его целых делителей. Указанную сумму мы будем обозначать символом S. Согласно моим исследованиям (см. на сайте «Самиздат» мою книгу «Леонард Эйлер…», стр. 46–50) максимально возможное богатство (Smax) у произвольного числа N определяется выражением:

Smax = 1,7724*N*lnlnN,                                                                          (1)

где запись lnlnN, строго говоря, означает ln(ln(N)) – двойной натуральный логарифм числа N.

Например, максимально возможное богатство нашего числа N = 18.632.716.502.400 будет равно:

Smax = 1,7724*18.632.716.502.400*ln(ln(18.632.716.502.400)) =  112.933.094.181.497, а реально мы получаем S = 110.152.949.760.000, что всего лишь на 2,5% меньше, чем Smax, найденное нами по формуле (1).

Лёгкие делители числа N – это делители, которые копируют начало натурального ряда без пропусков. Например, у нашего числа N есть 30 лёгких делителей (их я выделил жирным шрифтом): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...,  28, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, .... Название «лёгкие делители» подчеркивает предельно возможную элементарность чисел 1, 2, 3…. (начало натурального ряда – что может быть проще этого?). Чем больше число N – тем больше у него может быть (в принципе) лёгких делителей, при этом надо ясно понимать, что наличие лёгких делителей у произвольного числа N – это относительно редкое (и очень красивое!) свойство в мире чисел. Согласно моим исследованиям (см. на сайте «Самиздат» мою книгу «Зеркало «Вселенной», стр. 33–36) количество лёгких делителей (Л) у числа N можно приблизительно оценить по следующей (предельно простой!) формуле:

Л = lnN ,                                                                                    (2)

то есть количество лёгких делителей (в первом приближении) равно логарифму натуральному от самого числа N. Для нашего числа: Л = ln(N) = ln(18.632.716.502.400) = 30,556 (на самом же деле Л = 30).

Сумма лёгких делителей (Sл) числа N определяется по общеизвестной формуле:

Sл = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ Л = (1 + Л)*Л/2.                                                    (3)

Например, для нашего числа N получаем: Sл = 1 + 2 + 3 +…+ 30 = (1 + 30)*30/2 = 465, что составляет всего лишь 0,0000000004% от богатства числа N (от S – суммы всех его делителей, см. выше), то есть название «лёгкие делители» также в полной мере оправдано, если полагать, что каждый делитель (D) «весит» именно D условных единиц (или обладает частью «богатства» в D условных единиц).

Большой отрезок натурального ряда – это отрезок (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 10^61), содержащий такое количество чисел – сколько планковских времен (5,4*10^–44 секунды) содержится в возрасте нашей Вселенной [13,75 миллиардов лет = (13,75*10^9) лет * 365 дней * 24 часа * 60 минут * 60 секунд / (5,4*10^–44 секунды) = 8*10^60 планковских времен или (для грубых оценок) 10^61 элементарных временных интервалов (эви) – это второе название планковского времени]. В рамках моей виртуальной космологии Большой отрезок символизирует (математически «отождествляет») структуру… пространства-времени нашей Вселенной (современной нам эпохи). Разумеется, что зрительно представить себе Большой отрезок натурального ряда невозможно, поскольку это находится далеко за пределами человеческого воображения. Тем не менее, совершенно очевидно, что столь колоссальный отрезок натурального ряда, мы вправе рассматривать «всего лишь» как… лёгкие делители некого, скажем, мультичисла М = e^B где B = 10^61; е = 2,718… (число «е» – общеизвестная математическая константа). При этом весьма любопытно следующее: указанный факт из мира чисел напоминает физическую гипотезу о том, что наша колоссальная Вселенная – это, возможно, «всего лишь»… ничтожно малая часть Мультивселенной (гипотетическое множество всех возможных реально существующих параллельных вселенных, включая ту, в которой мы находимся).

Поскольку указанное выше мультичисло М имеет Л = 10^61 лёгких делителей, то их сумма будет равна Sл = (1+Л)*Л/2 = (10^61)^2/2 = 10^122 (примерно) – так в рамках виртуальной космологии очередной раз возникает «тень»… загадочного космологического члена, который равен 1/10^122 эви (см. мою статью про космологческий член – «Научная сенсация в конце ХХ века»).

Малые делители числа N. Если все делители любого числа N расположить по возрастанию, то, перебрав первую их половину (малые делители), мы обнаружим, что остальные (большие делители) равны частному от деления числа N на один из малых делителей. Так, у числа N = 20 есть три малых делителя – 1, 2, 4, и три больших делителя – 5, 10, 20, которые находим путем деления числа N на малые делители: 20/4 = 5, 20/2 = 10, 20/1 = 20.

Таким образом, определение типа (Т) числа N сводится к поиску его малых делителей, причем на отрезке [1; N^0,5], то есть к поиску малых делителей среди первых натуральных чисел (1, 2, 3,…), не превышающих числа N^0,5 (это число N, возведенное в степень 1/2 = 0,5, иначе говоря, это корень квадратный из числа N). Ведь если число N > 1 и равно произведению двух натуральных чисел, то, по крайней мере, одно из них не больше, чем N^0,5 – это заметил ещё Леонардо Пизанский (1170–1250 гг.) – первый крупный математик средневековой Европы, наиболее известный под прозвищем Фибоначчи. Таким образом, можно сказать, что малые делители числа N – это «паспорт» с полной информацией о числе N.

Малые делители нашего числа N образуют следующий ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, ..., 4.308.820. Для нашего числа (N)^0,5 = 4.316.563, что ненамного превосходит реальный последний малый делитель; сумма всех малых делителей составляет 0,004% от богатства числа N (от S – суммы всех его делителей, см. выше), то есть моё название «малые делители» также вполне оправдано.

Тяжёлые делители числа N – это большие делители, которые вычисляются через лёгкие делители (Dл = 1, 2, 3, …, Л) данного числа N по формуле Dт = N/Dл. Тяжёлые делители нашего числа N образуют следующий ряд (30 тяжелых делителей): Dт = 621.090.550.080; 642.507.465.600; 665.454.160.800; ...; 9.316.358.251.200; 18.632.716.502.400 (последний делитель – это, разумеется, всего само число N).

Сумма тяжелых делителей (Sт), очевидно, будет равна:

Sт = N/1 + N/2 + N/3 +  …+ N/Л = N*(C + lnЛ),                                                (4)

где С = 0,577215… – постоянная Эйлера-Маскерони (математическая константа), поскольку, как известно, сумма гармонического ряда (1/1 + 1/2 + 1/3 +  …+ 1/Л) при больших Л будет почти равна С + lnЛ.

Например, сумма тяжёлых делителей нашего числа N будет равна Sт = 18.632.716.502.400*(0,577215 + ln30) = 74.128.630.037.149. А реальное значение будет чуть больше: Sт = 74.437.462.641.176, что составляет почти 67,6% от богатства нашего числа N (от S – суммы всех его делителей, см. выше), то есть название «тяжелые делители» также в полной мере оправдано, ведь по своему количеству 30 тяжелых делителей это всего лишь 0,24% от количества всех делителей числа N (всего у него Т = 12.288 делителей).

Из формул (1), (2), (4) мы получаем следующее отношение

Sт/Smax = N*(C + lnlnN)/1,7724*N*lnlnN = 0,5642*(1 + C/lnlnN).                           (5)                                                                          

Для нашего числа N по формуле (5) мы получим отношение Sт/Smax = 0,676, то есть богатства 30-ти тяжелых делителей числа N (лишь 0,24% всех его делителей) в общем богатстве числа N, составляют 67,6% – это очень большая доля от общего богатства! Не правда ли, что полученные нами (в виртуальном мире чисел!) цифры – весьма напоминают распределения… реальных (физических) богатств в окружающем нас мире.

Параметры современной эпохи. В конце Большого отрезка (при N = 8*10^60, то есть «в современную нам эпоху») по формуле (5) мы получим: Sт/Smax = 0,5642*(1 + 0,577215 / lnln(8*10^60N)) = 0,630, что очень близко к пресловутому «золотому сечению» (0,618).

Подобным образом в рамках виртуальной космологии именно в конце Большого отрезка (символизирующего «наше время») я не один раз получал значения, близкие:

– к «золотому сечению»  (аналогично рассмотренному отношению Sт/Smax – это доля богатства всех тяжелых делителей числа N в общем богатстве числа N, ясно, что на бесконечности Sт/Smax = 0,5642);

– к «магическому» числу 7 (например, отношение Smax/N = 1,7724*lnlnN = 8,76 – см. мою статью «Магия» числа 7»; ясно, что на бесконечности отношение Smax/N будет бесконечно большим);

– к постоянной тонкой структуры (см. мои статьи «Проклятая тайна физики ("магия" числа 137)» и «Число 137 скрывает некую... тайну природы?»).

Таким образом, если верить моей виртуальной космологии, то и «золотое сечение», и «магическое» число 7, и постоянная тонкой структуры (а также «и-триллион», число 687430 – см. ниже, и т.п. параметры) – это всё некие математические «тени» фундаментальных параметров пространства-времени (нашей Вселенной) в современную нам эпоху (важнейшие математические параметры, характеризующие самый конец Большого отрезка). При этом надо ясно понимать, что «долгий путь» эволюционного, исторического, социального (и т.д.) развития человечества – это лишь краткий миг в истории Вселенной (и с точки зрения виртуальной космологии). В течение столь крохотного отрезка времени все указанные параметры Вселенной оставались практически неизменными, поэтому эти параметры человек воспринимает как некие фундаментальные константы (постоянные) и даже как некие… эталоны красоты и гармонии природы, а также объектов, сотворенных руками самого человека (в которых сплошь и рядом угадываются и «золотое сечение», и «магия» числа 7, и т.д.). Примерно через 5 млрд. лет (через 2,9*10^60 эви, см. в Википедии «Солнце», его жизненный цикл), когда человечество исчезнет с лица Земли и даже из нашей Галактики (это, увы, абсолютно неизбежно), указанные параметры станут другими – они неотвратимо существенно изменят своё числовое значение («до неузнаваемости» – если бы человек смог в этом убедиться воочию). Кстати говоря, эти изменения (даже самые мизерные по времени) позволяет предсказать виртуальная космология?

Мощное число N – это такое натуральное число, у которого больше всего целых делителей среди всех натуральных чисел из отрезка 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …., N. Иначе говоря, мощное число N имеет максимально возможный тип (Т) на отрезке [1; N]. Ряд мощных чисел бесконечен: N = 2, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400, 55440, 83160, 110880, 166320,         221760, 277200, 332640, 498960, 554400, 665280, 720720 (это 35-ое мощное число), …, 106.858.629.141.264.000 (это, вероятно, 144-ое мощное число). Всего же я нашел 35-ть достоверных мощных чисел и ещё 109-ть «спорных» мощных чисел (я мог пропустить некоторые мощные числа). Наше число N = 18.632.716.502.400, имеющее Т = 12.288 целых делителей, вероятно, является 105-м мощным числом (или близко к этому). То есть наше число N – это  первое среди всех натуральных чисел имеет указанный тип, и только после нашего числа N будут встречаться другие натуральные числа, у которых также будет по Т = 12.288 целых делителей (и чисел с таким типом Т – также бесконечно много!).

О том, как я находил мощные числа рассказано в моей книге «Параллельные миры II…» на стр.58–69. Кстати, в своих книгах и некоторых статьях мощные числа я также называл верхними лидерами (частых миров) или предельными числами. По моим оценкам на Большом отрезке насчитывается около 687430 (см. мою статью «Количество элементарных частиц…») мощных чисел N, разумеется, все они имеют разный тип (Т), который возрастает от Тmin = 1 (у особого числа N = 1) и Т = 2 (у первого «обычного» простого числа N = 2) до максимально возможного значения (у наибольшего мощного числа в конце Большого отрезка) Tmax = 7*10^11. Важному параметру Tmax я даже присвоил своё название – и-триллион, поскольку Tmax почти равен триллиону (1.000.000.000.000 = 10^12). Проще говоря, в пределах Большого отрезка нет натурального числа N, у которого количество целых делителей превысит и-триллион (см. мою статью «И-триллион и гибель цивиизации»).

Замечание в части OEIS. Ни в общеизвестной теории чисел, ни в весьма любопытной «Энциклопедии целочисленных последовательностей» (имеющей аббревиатуру OEIS) мне не удалось найти сведений о мощных числах (значит, в 1998 году я «увидел» их первым?). OEIS – это интернет-ресурс (сцециальный сайт), посвящённый целочисленным последовательностям. Автор и хранитель сайта – Нейл Слоан. На 2011 год сайт содержит более 100 тысяч последовательностей. 18-20 октября 2010 года на сайте OEIS некоторых моих последовательностей (в том числе указанных мощных чисел) ещё не было, поэтому я их туда отправил по Интернету (получив взамен номера: А166688, А166689, А166690, А166691, А166693, А1666721, А1666722). Однако далее всё это, похоже, осталось без видимого для меня результата? Кстати говоря, в рамках виртуальной космологии можно очень просто (и математически строго!) описать бесконечно большое количество целочисленных последовательностей, при этом сайт OEIS, вероятно,… отчасти теряет свой смысл (пытаясь «объять необъятное»)?

«Конструкция» тильда-функции (тильды)

Даже работая в стандартной программе "Excel", нетрудно найти все 12288 целых делителей нашего мощного числа N = 18.632.716.502.400. Делители (D) нашего числа N образуют следующий ряд: D = …, 32, 33, 34, 35, 36, 38, ..., 4.308.820, 4.324.320,..., 564.627.772.800, 582.272.390.700,…. (малые делители выделены жирным шрифтом). В этом ряду насчитывается 12.228 делителей с порядковыми номерами n = 31, 32, 33,…, 12258, то есть 30-ть лёгких и 30-ть тяжелых делителей мы далее не рассматриваем, так как с ними мы разобрались выше.

Указанные числовые значения D и n поместим на график D = g(n) в программе Excel:

– по горизонтальной оси – отложим числовые значения порядковых номеров n = 31, 32, 33, …, 12258;  

– по вертикальной оси – отложим числовые значения соответствующих делителей D, причем их мы будем откладывать в логарифмической шкале (то есть в виде натуральных логарифмов lnD). При этом мы увидим функцию lnD = g(n), графически напоминающую общеизвестный символ – «тильду» (волнистую линию). Кстати, на клавиатуре любого компьютера есть клавиша с символом «тильды» (~), которая расположена под клавишей «ESC». Правда, на графике lnD = g(n) правый край «тильды» будет всегда заметно приподнят вверх.  

В рамках виртуальной космологии (космологии чисел) я убедился, что указанную волнистую линию (то есть распределение реальных делителей D по возрастанию их номеров n), вообще говоря, можно относительно неплохо описать с помощью простой формулы, которую я назвал тильда-функцией (или просто тильдой):

Dt = St*exp{–A*[ln(T/n)]^p},                                                                  (6)

по сути дела, формула (6) гласит: Dt = f(n), то есть Dt – это тильда-функция (f) от аргумента n.

Подробно расшифрую «конструкцию» моей тильда-функции:

n – порядковый номер делителя, причем по формуле (6) мы будем «работать» только с малыми делителями, исключив из их состава лёгкие делители (с которыми всё ясно, см. выше); то есть, например, для нашего мощного числа N (с типом Т = 12288) мы берем n = 31, 32, 33,…, 6144;

Dt – тильда-делитель, который, вообще говоря, отличается от реального делителя D, а указанное отличие характеризует так называемая относительная погрешность (ОП), которая вычисляется для каждого аргумента n по общеизвестной формуле: ОП = (D – Dt)/Dt. При этом удобно выражать числовое значение ОП в процентах (%). Ясно, что чем ближе к нулю ОП – тем точнее значение данного Dt (при данном n).

St – тильда-богатство, это единственный параметр, который мы будем произвольно менять (варьировать), «вгоняя в нуль» все относительные погрешности (ОП для каждого порядкового номера n, см. ниже);

exp{Х} – экспоненциальная функция или экспонента (это e^Х, то есть число e = 2,718… в степени Х);

A – коэффициент тильда-функции (для каждого числа N мы будем получать своё числовое значение А);

ln(T/n) – логарифм натуральный от аргумента, которым в тильда-функции является отношение T/n;

Т – тип числа N, то есть количество всех его целых делителей (в данном случае мы берём Т = 12288);

p – показатель степени в тильда-функции (для каждого числа N мы получим своё числовое значение р).

Нахождение параметров р и А тильда-функции

Из самой тильда-функции (6) вытекает следующее утверждение: y = A*x^p (читается так: y равен A умножить на x в степени p), где y = ln(St/Dt)  и  x = ln(T/n) – это некие «вспомогательные» комплексы, которые позволят нам вычислить неизвестные параметры (St, A, p) тильда-функции.

Замечание. Разумеется, сам я поначалу (в порядке хронологии своих изысканий) установил, что у мощных чисел N (с типом Т) комплексы y = ln(St/D)  и  x = ln(T/n) связаны между собой степенной функций y = A*x^p. Например, для нашего мощного числа N = 18.632.716.502.400 (с типом Т = 12288) его реальные делители D с порядковыми номерами n = 31, 32, 33,…, 12258 (то есть без лёгких и тяжелых делителей) связаны функцией y = 16,743*x^0,256 – эту степенную линию тренда компьютер (по вашему требованию) выдает на графике в программе Excel (при St = 16.522.942.464.000, взятом, скажем, «с потолка»). Данное замечание вы можете проверить сами (при этом вы ещё лучше «почувствуете» тильда-функцию).

Итак, y = A*x^p (комплекс y является степенной функцией от комплекса х) и в этой степенной функции нам неизвестны два параметра: А и р. Эти два параметра легко вычислить, если нам будут известны две точки на графике y = A*x^p, то есть две пары значений: (у1, х1) и (у2, х2). В качестве таких пар мы можем, в принципе, взять любые две пары (две точки на степенном графике), например:

– последний лёгкий делитель (n = lnN; Dt = lnN) и первый тяжелый делитель (n = T – lnN; Dt = N/lnN);

– последний малый делитель (n = T/2; Dt = N^0,5) и первый тяжелый делитель (n = T – lnN; Dt = N/lnN);

– последний лёгкий делитель (n = lnN; Dt = lnN) и последний малый делитель (n = T/2; Dt = N^0,5);

и т.д. Повторяю, можно брать любые две точки («разумные» для конкретного числа N, то есть для конкретной задачи) – это замечание имеет ключевое значение для нахождения тильда-функций «физических» распределений (всевозможных «богатств» реального мира).

Ниже мы рассмотрим последний вариант из трех указанных выше. Именно этот вариант позволит нам получить у всех (в том числе и больших) тильда-делителей Dt наименьшую относительную погрешность (ОП), что является, очевидно, главным критерием в работе с тильда-функцией.  

Первая пара: y1 = ln(St/lnN)  и  x1 = ln(T/lnN). Эту пару нам дает последний лёгкий делитель (см. выше): при n = lnN можно брать Dt = lnN, что несущественно (с точки зрения построения тильды) отличается от реального последнего лёгкого делителя. Так, для нашего числа N = 18.632.716.502.400 мы получим n = Dt = lnN = 30,556… (а на самом деле при n = 30 имеем D = 30).

Вторая пара: y2 = ln(St/N^0,5)  и  x2 = ln[T/(T/2)] = ln2. Эту пару нам дает последний малый делитель (см. выше): при n = Т/2 можно брать Dt = N^0,5, что несущественно (с точки зрения построения тильды) отличается от реального последнего малого делителя. Так, для нашего числа N = 18.632.716.502.400 при n = Т/2 = 12288/2 = 6144 мы получим Dt = N^0,5 = 4.316.563 (а на самом деле D = 4.308.820).

Зная пары (у1, х1) и (у2, х2), мы вычисляем параметры тильда-функции (задачка для школьника):  

p = ln(y1/y2)/ln(x1/x2) = [lnln(St/lnN) – lnln(St/N^0,5)] / [lnln(T/lnN) – lnln2],                   (7)

A = y2/x2^p = ln(St/N^0,5) / (ln2)^p.                                                                                      (8)

Тильда-богатство и относительная погрешность

Для мощного числа N (с типом Т) в формулах (7) и (8) нам не известен только единственный параметр – тильда-богатство St. Поэтому мы начинаем подставлять (варьировать) разные значения St (начать можно, скажем, со значения St = N) и при этом каждый раз (при каждом новом значении St) мы смотрим на график (его несложно построить), на котором показаны относительные погрешности (ОП) малых тильда-делителей Dt (без лёгких делителей).

У нашего мощного числа N = 18.632.716.502.400 имеется Т = 12288 всех делителей. Поэтому, работая с тильда-функцией (6), мы будем брать только малые делители (без лёгких делителей), то есть берем n = 31, 32, 33,…, 6144. Работая в программе Excel с малыми тильда-делителями Dt (без лёгких делителей), можно довольно быстро найти наилучшее значение тильда-богатства, скажем, St = 5.022.974.509.056. Его удобно было искать как некую долю от богатства S нашего числа N; так, я остановился на значении St = 0,0456*S, то есть тильда-богатство St составляет 4,56% от богатства S. При этом компьютер по формулам (7) и (8) мне выдал такие параметры тильды:  р = 0,28486…; А = 15,50415…, а относительная погрешность (ОП) у малых тильда-делителей Dt, вообще говоря, не превысила 3%, то есть только у 60-ти значений Dt (из 6114 расчетных Dt) – ОП оказалась от 3% до 4%. При этом для нашего мощного числа N = 18.632.716.502.400 (с типом Т = 12288) тильда-функция (тильда) для малых делителей будет иметь вид:

Dt = 5022974509056*exp{–15,5041*∙[ln(12288/n)]^0,2849},                                        (9)

где n = 31, 32, 33,…, 6144 (всего 6114 малых тильда-делителей).

Большие тильда-делители (кроме тяжелых делителей) нашего мощного числа N мы получаем путем деления числа N на соответствующий малый тильда-делитель Dt, найденный нами по формуле (9). При этом ОП у больших тильда-делителей Dt, вообще говоря, не превысит 3% (картина в части ОП будет аналогична выше описанной у малых тильда-делителей).

Сумма всех расчетных делителей (лёгких делителей, малых и больших тильда-делителей, тяжелых делителей) оказалась равной 110.063.939.694.231, то есть относительная погрешность определения богатства (S) нашего мощного числа N составила только 0,081%.

ВЫВОДЫ

Тильда-функция – это простейший математический «инструмент», который относительно неплохо описывает распределение целых делителей у мощных чисел N (а также у чисел N, только похожих на мощные числа – таких чисел в натуральном ряде очень много). Во всяком случае, можно смело утверждать, что существует огромный класс натуральных чисел N (скажем, тильда-чисел), делители которых неплохо описываются тильда-функциями.

Те читатели, которые поняли мою нехитрую методику построения тильда-функции для мощных чисел N, смогут без особого труда исследовать и даже прогнозировать (интерполировать, экстраполировать и т.д.) многочисленные реальные распределения всевозможных «богатств» в окружающем нас мире.

*******

Ряд моих статей есть в сообществе «Виртуальная космология» (на данном сайте).

Все мои статьи и книги легко найти:

– в поисковике наберите «Самиздат» (это общеизвестный сайт для всех «графоманов»),

– на «Самиздате» найдите автора: Исаев Александр Васильевич,

– начинайте с папки «Говоря предельно просто» (если вас «пугает» математика).