Ахиллес догонит черепаху?

В философии существует термин «апория» (от греческого слова, означающего затруднение, недоумение), которым ещё древнегреческие мудрецы обозначали трудноразрешимые или неразрешимые проблемы (чаще всего связанные с противоречиями между данными наблюдения и опыта и попытками их мысленного анализа). Наиболее известны апории, исходящие от Зенона Элейского (ок. 490–430 гг. до н. э.). Их не менее пяти и одна из них гласит, что быстроногому Ахиллесу никогда не догнать черепаху, так как за время его движения будет продвигаться и черепаха (и так до бесконечности). Поскольку это так и это абсурд, то Зенон заключал, что все представления о движении и его возможности в принципе – ложны. Однако, например, наш современник П. С. Таранов [в своей книге «120 философов (жизнь, судьба, учение)», Симферополь: Таврия, 1996 г.] легко «разрешает» эту апорию, считая, что в какой-то момент времени (когда Ахиллес буквально над самой черепахой) термин «расстояние» (а значит и сама апория) попросту теряет всякий смысл. То есть у Таранова Ахиллес самым банальным образом догоняет черепаху. Но надо отметить, что в философии и в настоящее время ни один из предлагаемых путей разрешения возникающих в апориях противоречий не может считаться общепринятым.

[«Лирическое отступление».Очевидно, в философии проблемы часто возникают из-за ограниченных возможностей самого языка (русского, английского – любого другого). При этом современные фило­софы-гумани­та­рии ухитряются игнорировать математику (в том числе теорию чисел, а уж мою виртуальную космологию – и подавно), хотя исключительно на языке математики можно представить и понять структуру пространства-времени – самого главного «действующего лица» во Вселенной (в реальном мире). Недаром современ­ная теоретическая физика – это сплошная сложнейшая математика! От­дель­ный человек и сообщество людей – всего лишь некие формы про­явления (существования) этой структуры, причем, вероят­нее всего, далеко не самые совершенные.]

Любопытно, что если в апории Зенона Ахиллес ни при каких условиях не способен догнать черепаху, то можно сформулировать условия, при которых черепаха всегда догонит Ахиллеса! Вот доказательство этому.

Пусть черепаха и Ахиллес (спиной к ней, так как черепаха его будет догонять) стоят на разных конца гипотетической резиновой дорожки, начальная длина которой L = 3,9 м = 390 см.

Эта дорожка в конце каждой секунды скачком (то есть дискретно) удлиняется на 390 см, что почти равносильно убеганию Ахиллеса от черепахи (со средней скоростью хорошего марафонца, равной А = 3,9 м/с = 390 cм/с). Скорость черепахи по резиновой дорожке (в сторону Ахиллеса, в «погоне» за ним) постоянная и составляет Ч = 1 см/с. Тогда к концу первой секунды черепаха проползет 1/390 начальной длины дорожки (L). За вторую секунду она проползет (1/2)×390 новой длины дорожки. За третью секунду она проползет (1/3)×390 растянувшейся вновь дорожки и т. д. Продвижение черепахи в долях дискретно удлиняющейся дорожки можно описать формулой (1/390)×(1/1+1/2+1/3+ 1/4+…+1/N). Во вторых скобках мы получили сумму гармонического ряда, которая расходится, то есть сумма этого ряда может быть сколь угодно велика и определяется по формуле S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/N = lnN (приблизительно так), где N – это количество секунд. Как только сумма гармонического ряда станет больше 390 – черепаха достигнет противоположного конца дорожки (догонит Ахил­леса). В нашем примере, это произойдет через N = e^L = e ^390 секунд (е = 2,718…) , то есть примерно через 10^162 лет [поскольку e^390 = (e^2/3)^169 = 10^169, а один год равен 3,15×10^7 секунд].

Итак, черепаха догонит Ахиллеса за конечное время! Более того, это произойдет независимо от параметров задачи (L, А, Ч). И если растяжение дорожки не дискретно, а непрерывно (Ахиллес убегает с постоянной скоростью), то всё остается в силе, только труднее анализировать ситуацию. Таким образом, если черепаха может догнать Ахиллеса, то Ахиллес и подавно догонит черепаху (апории не существует?).

Даже в своих парадоксальных примерах математика на много порядков интереснее, изощреннее парадоксов философии, которые просто блекнут на фоне яркой человеческой мысли, сфокусированной в точной формуле.