Мир математики как мир "чистого мышления"

Вспоминается известный мультик "Козленок, который считал до десяти", в котором каждый из перечисленных им животных обижался, что его тоже посчитали. Даже в этом мультике можно увидеть намек на абстрактность самых обычных натуральных чисел. Не удивительно, что так сложно маленьким детям научиться решать элементарные арифметические действия с прибавлением и отниманием на примере тех же яблочек или конфеток. Понятия числа, количества, тем более арифметических действий, приходят к детям с опытом, в процессе взросления, социализации, другими словами. Как видим, математические знания даны человеку не изначально, не априори, а имеют опытную природу, проявляющиеся в человеческом сознании по мере его развития и совершенствования. Да и проявляется этот математический дар в каждом человеке по-разному, в зависимости от уровня развития навыков абстрактного мышления. Тот факт, что математическое мышление не связано напрямую с эмпирическим опытом, с непосредственным познанием объективной действительности, еще не говорит о том, что математическое знание не имеет своим основанием материальный мир. Те же натуральные числа являются результатом абстрагирования человеческого сознания от качественных свойств и отношений объектов материального мира, и заменой их пространственно-количественными отношениями, и связями математических структур. К подобного рода абстракциям относятся алгебраические, топологические структуры, а также структуры порядка, являющиеся отражением пространственно-количественных свойств материальных объектов.

Ещё более высший уровень абстракции – математический анализ, математическая логика и т. д. В совокупности с арифметическими алгебраическими и логическими действиями - математика способна определять не только количественную, но и качественную природу объектов и процессов в материальном мире. По мере развития математики, и все большей абстрактности ее теорий и концепций, предметом изучения математики начинают становится уже сами математические теории, что еще больше превращает математику по существу в «науку в себе». Тем самым, математика как бы оживает, становится отдельной, самостоятельной реальностью в мире объективной реальности, способной не только помогать конкретным наукам познавать мир, но и изменять мир. В связи с чем вполне логичны и оправданы концепции структурализма и математического реализма, рассматривающих математику как науку о вечных и абстрактных структурах. В этом и состоит отличие математики от естественных наук, предметом познания которой есть абстрактные структуры, а не реальные материальные объекты и явления. Единственное, что связывает математику с естественными науками, и что является залогом приложения математики к конкретным наукам – это универсальный, всеобъемлющий характер связей, отношений и структур, свойственный как естественным наукам, так и математике.