О природе геометрической красоты
На модерации
Отложенный
1. Что такое геометрическая красота?
В данной работе мы будем часто говорить о геометрическом материале, о геометрической фигуре. Это значит, что мы в визуальном восприятии, в визуальной материале видим только известное науке геометрическое содержание. Например, в изображении цветка мы видим только известную науке геометрию цветка и не видим других визуальных качеств цветка.
Геометрическая красота - это когда мы переживаем положительные чувства от восприятия геометрического материала. Это когда глаз радуется, когда то или иное геометрическое качество ласкает взгляд. Но наши чувства - это наши оценки, и наши положительные чувства - это наши положительные оценки. Поэтому мы можем задаться вопросом: когда мы воспринимаем геометрический материал и он нам кажется красивым, то на чём основана эта положительная оценка?
Внутренняя геометрическая красота - это оценка геометрического материала с точки зрения ценностей, собственных оценок самого аппарата геометрического визуального аппарата восприятия нашего мира, как геометрического познания нашего мира. Внешняя геометрическая красота - это оценка геометрического материала с других точек зрения. Во внешней геометрической красоте мы будем выделять художественную красоту. Художественная оценка геометрического материала имеет место тогда, когда восприятие данного материала по какой-либо аналогии ассоциируется с некоторой прошлой положительной ситуацией и эта чувственно-положительная оценка прошлой ситуации окрашивает и данное восприятие.
§1. Некоторые основания внутренней /познавательной/ геометрической красоты.
Нам нравятся такие исключительные геометрические фигуры, как квадрат и более сложные правильные многоугольники, различные вписанные и описанные фигуры, окружность, эллипс, гипербола, созвездия окружностей, эллипсов и гипербол и других правильных фигур с высокой концентрацией одинаковых геометрических элементов, разного рода симметрий, замечательных пропорций и отношений. Человек является сложной геометрической организацией, его среда также сложно геометрически организованна, его взаимодействие со средой имеет свою сложную геометрию и человеку необходимо знать эту сложную геометрию, чтобы существовать в этом геометрическом мире. Поэтому для человека, в данном случае для его геометрического визуального аппарата восприятия, имеющего свою систему оценок, всегда значимо обнаружение геометрической закономерности и поэтому восприятие такой закономерности окрашивается данной чувственно-положительной оценкой. Такую чувственно-положительную оценку нашего аппарата восприятия мы и называем визуальной красотой. Но если восприятие геометрической закономерности красиво, то восприятие концентрации закономерностей особенно красиво. Исключительно правильные фигуры как раз и выражают значительную концентрацию геометрических закономерностей. Они поэтому и выглядят особенно красивыми.
Мы наслаждаемся восприятием концентрации закономерностей, концентрацией общего, сходного, одинакового. Такое наслаждение может быть длительным. Нам приятно его продолжать и мы специально его продолжаем, когда ещё и ещё раз останавливаем внимание на общих, сходных, одинаковых геометрических качествах и убеждаемся в их высокой концентрации. В этом случае мы не только наслаждаемся концентрацией геометрических закономерностей, но и испытываем удовлетворение в подтверждении истинности и силы наших знаний.
Исключительные фигуры всё же не должны быть слишком банальными, слишком вычувствованными. Не секрет, что квадрат, окружность, правильный пятиугольник являются именно такими слишком банальными, вычувствованными и поэтому не могут вызывать у нас больших положительных чувств. Они не кажутся нам особенно красивыми.
В исключительных геометрических фигурах есть и другая красота. Часто исключительная фигура характеризуется той или иной редкостью и через это несёт большое количество информации в шенноновском смысле. А для человека, живущего в мире информации и постоянно «питающегося» ею, встреча с большой информацией всегда волнует. Поэтому особенно исключительная геометрическая фигура кажется нам особенно красивой. Все мы, наверное, в свое время переживали приятное знакомство с линейчатыми поверхностями, которые могут быть весьма сложными, например, седлообразными - гиперболический параболоид.
Здесь мы имеем в виду красоту противоречивого единения таких противоположных ценностей, как богатство и цельность образа геометрической закономерности. Очевидно, что чем богаче, сложнее геометрическая закономерность, тем больше информации, больше геометрических знаний она нам несёт, тем она весомее, значимее для познания, тем большую ценность она для нас имеет. Но слишком сложная геометрическая закономерность не охватывается единым взглядом, не усматривается глазом, и поэтому не имеет геометрического образа. Поэтому не может иметь геометрических чувств, геометрической красоты.
Рассмотрим некоторые примеры. Прямая линия является слишком простой, бедной, неинтересной для дальнейшего познания закономерностью. Синусоида в этом плане будет красивее прямой. Это более сложная, более интересная закономерность. Ассимптотически убывающая синусоида будет еще сложнее, интереснее, красивее. А архимедова спираль или удлинённая гипоциклоида?
Все это неиерархические сложности. В такой сложности ее элементы являются самостоятельными сложностями. Но эти внутернне-самостоятельные сложности должны все же «работать» на целостную сложность, на целостный геометрический образ. Иначе мы эту сложную иерархию «не увидим» единой мыслью, единым чувством, единым образом.
То есть у нас не будет геометрического образа как уже построенной, готовой зрительной нейро-динамической модели. Если такая модель есть - это значит, что ее оригинал воспринимается как цельный образ, это значит, что данный оригинал охватывается единым взглядом, единой мыслью. Но часто бывает так, что весьма сложный оригинал не имеет такой модели. Все отдельные части такого оригинала, все отдельные связи этих частей мы имеем в сознании, то есть имеем для них нейро-динамические модели, а весьма сложное целостное единение этих частой не удерживается в нашем сознании, то есть не имеет соответствующей нейро-динамической модели и мы не имеем образа.
Если геометрическое целое не слишком сложное, мы не только имеем образ такого целого в восприятии, но также можем иметь данный образ в воображении. Так например, мы не только имеем в восприятии образ 10-конечной звезды, но можем по этому образу построить соответствующее представление или актуализировать данный образ в представлении. То же самое, видимо, возможно с 7- конечной звездой. Но вот уже для 11-конечной звезды её образ в восприятии, видимо, можно получить, а представить себе такую звезду очень трудно. И всё-таки довольно часто, когда мы имеем образ в восприятии, тогда мы имеем и соответствующее представление. До каких-то пор наличие представления является критерием существования образа в восприятии.
Теперь мы можем сказать, что чем богаче, сложное геометрический образ, тем он красивее. Пятиконечная звезда красива, но пятиконечная звезда на фоне круга ещё красивее, а на фоне выпуклого пятиконечного многоугольника ещё красивое. Смотрите рис. 1, рис. 2, рис. 3. Но мы и здесь повторим, что образ не должен быть перегружен, труден для восприятия, хотя образ, рождённый в трудах, должен быть по-своему красив. Но это уже будет красота открытия.
Образ должен быть одновременно и богатым по своей структуре и достаточно простым в своей цельности. Это мы и называем ёмкостью образа. Иногда мы видим на коврах достаточно ёмкие, красивые геометрические образы.
Все мы с самого раннего детства воспринимаем геометрические закономерности. Сначала мы подсознательно открываем такие закономерности, потом на основе знания сознательно открываем более широкие и глубокие геометрические закономерности. Человек безусловно подсознательно открывает такие закономерности, как закономерность окружности, правильного треугольника, четырёхугольника и так далее, шара, цилиндра, конуса, правильной призмы, эллипса, гиперболы, параболы и так далее. Глаз подсознательно, своим визуальным аппаратом, «чувствует-открывает» эти закономерности и через это данные фигуры человеку кажутся красивыми.
У хорошего геометра особенно развита способность визуально чувствовать, подсознательно открывать геометрические закономерности. Он, наверное, чувствует равновеликость многих площадей и объёмов, весьма сложные симметрии и инверсии. Визуальные, подсознательные открытия новых таких равновеликостей, симметрий и инверсий ему могут показаться важными, а соответствующие геометрические фигуры красивыми. И всё-таки визуальные, подсознательные открытия геометрических закономерностей, видимо, неглубоки. В основном они где-то на животном уровне.
Поэтому геометрическая красота, как подсознательное открытие геометрических закономерностей, чувствуется нами ещё в самом раннем детстве. Мы, наверное, плохо помним, как это происходит. Но безусловно у нас были открытия, например, симметрии относительно точки, относительно прямой, плоскости, открытия инверсии и соответствующие чувства.
Можно привести ещё такой пример. Если манипулировать взаимным расположением двух правильных треугольников, то может произойти приятное открытие-возникновение правильной шестиугольной звезды. Такая звезда, как результат данного открытия, может показаться особенно красивой.
Когда мы осознаём подсознательно уже открытую геометрическую закономерность, мы открываем её как бы заново и испытываем соответствующие эстетические чувства. Возьмём для примера закономерность окружности, правильного треугольника, правильного тетраэдра и так далее. Мы осознаём эту закономерность и сознательно ласкаем её взглядом, как бы ещё и ещё раз ощупывая её глазом, убеждаясь в ней. И получаем наслаждение.
Одно дело геометрические знания, а другое дело визуальные чувствования. Геометрические знания - это осознанная закономерность, а визуальные чувствования - это подсознательное восприятие закономерности, т.е. восприятие закономерности самим визуальным аппаратом восприятия, имеющим свой аппарат оценки. .
Геометрические знания много шире и глубже визуальных чувствований. Но визуальные чувствования более ценны для нас, так как они «работают» в нашем подсознании, в нашей интуиции, то есть в непосредственном русле открытия истины. Поэтому для нас очень важно превращать геометрические знания в визуальные знания-чувствования. И для этого мы часто ещё и ещё раз прощупываем глазом геометрические знания, чтобы такой работой глаза превратить их в визуальные знания, обогатить тем самым сам визуальный аппарат восприятия, обогатить его собственный оценочный аппарат.
Синусоида красива сама по себе, но синусоида с убывающей или возрастающей амплитудой ещё красивее.
Пятиконечная звезда красива сама по себе, но с добавлением определённых деталей, подчеркивающих данную закономерность, будет ещё красивее. Смотрите рис. 4.
Когда мы обнаруживаем внутри правильной пятиконечной звезды правильный выпуклый пятиугольник, мы получаем некоторое удовольствие, так как геометрическая закономерность в этом случае становится богаче, полное. И данная звезда нам соответственно кажется немного красивее. Мы можем также обнаружить, что в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и после этого, в результате этого ромб с нарисованными диагоналями нам может показаться немного красивое, чем раньше. Когда мы узнаём-обнаруживаем, что шар есть максимальный объём, охватываемый данной поверхностью, мы с новый чувством ласкаем взглядом данную фигуру и видим в данной фигуре дополнительную красоту.
2.2. Новизна ракурсов восприятия как новое проявление-выражение известной закономерности-универсальности,
Когда мы по-новому воспринимаем известную закономерность, мы можем открыть в ней новые геометрические качества. И она станет для нас богаче и полнее. Именно эти познавательные ценности и определяют чувство красоты такого нового восприятия.
Данный случай обнаружения новых геометрических качеств известной закономерности отличается от обнаружения новых качеств закономерности, рассмотренных в предыдущем пункте. Там обнаружение новых качеств было так сказать прямым, то есть не было связано с изменением формы восприятия. известная закономерность не была «повернута к нам» другой своей стороной. В данном же случае мы как раз имеем изменение формы восприятия.
Шахматная доска, повернутая под 45° может показаться красивее, чем обычное восприятие. То же самое для синусоиды, для пучка горизонтальных линий, для куба и так далее. Шар, конус, цилиндр, пирамида, эллипсоид и многие другие трехмерные фигуры кажутся интереснее, красивее изнутри.
Нам также кажутся интереснее, красивее те или иные деформации известных фигур. Нам также кажутся интереснее, красивее изображение известных фигур их тенями. Но в последних двух случаях добавляется красота узнавания, о чем мы будем говорить в следующем параграфе.
Если фигура богата деталями, геометрическими связями и отношениями своих деталей, то такая фигура будет хорошим полем для геометрического анализа. Она поэтому будет интересной, а значит и красивой. В такой фигуре есть возможности геометрическому анализу играть и творить.
Если взять прямую линию, то это очень бедная фигура. Здесь не на чем остановиться взгляду, геометрическому анализу. Рассмотрим теперь волнистую линию. Глаз теперь с большим удовольствием, с большей заинтересованностью скользит по ней. Как соотносятся между собой гребни и впадины, их высоты, их ширина, их переменная кривизна и так далее, и так далее? Богатый интересный красивый объект. Мы обнаруживаем, что указанные высоты здесь варьируют таким-то закономерным образом, широты - другим, что перегибы кривизны здесь сложны, но и они поддаются упорядочению, что все эти обнаруженные закономерности не просто существуют, а так или иначе связаны и эта связь распадается на фрагменты, на мозаику, с которой играть да играть. И то будет вырисовываться одно причудливое единение данных фрагментов, то другое в зависимости от наших знаний, настроений, текущих мыслей. Это и есть геометрическая игра с геометрическим объектом. Можно обнаружить еще более в этом смысле богатые интересные красивые геометрические объекты.
Данная фигура /рис. 5./ кажется красивой именно в момент решения известной развлекательной геометрической задачи: перечеркнуть данные 9 кружков четырьмя отрезками, не отрывая карандаш от бумаги. Данная фигура красива потому, что она является решением геометрической проблемы, а всякое решение вызывает у нас положительное чувство удовлетворения. Геометрическая проблема должна быть значимой, интересной, само решение должно быть неожиданным, а само изображение такого решения должно быть достаточно простым. Только в этом случае данная фигура, как изображение решения геометрической проблемы, будет красивой.
Возможно, что в этих примерах присутствует художественная геометрическая красота. (Рис 8.)
§2. Некоторые основания внешеней геометрической красоты.
Пусть экспериментатор ищет функциональную эмпирическую физическую закономерность между двумя параметрами сложной динамической системы. Такая функциональная эмпирическая зависимость в любом случае будет представлять собой совокупность точек координатной плоскости. Если точки этой совокупности будут тяготеть к некоторой линии, значит экспериментатору удалось выявить искомую физическую закономерность. И по этой причине данная линия будет выглядеть для нашего экспериментатора красивой. Хотя в другой ситуации эта линия не вызвала бы у него никаких положительных чувств. И чем сильнее будут стягиваться точки данной совокупности к данной линии, тем красивее будет выглядеть данный геометрический материал и данная линия.
Здесь критерий геометрической красоты находится вне процесса геометрического познания. Если бы экспериментатор страстно ожидал бы разрывной линии, разрывная линия выглядела бы для него красивой. Если бы у него повторилось желанное чудо его приятеля и его экспериментальная линия оказалась бы загадочной запятой, эта запятая была бы очень красива.
Чем проще экспериментальная линия, тем она красивее. Но, конечно, все зависит от экспериментальной ситуации.
Пусть мы воспринимаем геометрический материал, выявляющий геометрические иллюзии. Приведем некоторые примеры на рис. 9.
1) – Левый отрезок кажется длиннее правого.
2) – Левый внутренний круг кажется больше6 правого.
4)– Выделенные отрезки не кажутся частями одной прямой.
5) – Верхний отрезок кажется больше нижних.
6) – Прямые не кажутся параллельными.
Иллюзии поражают, интригуют, они, поэтому, интересны, а если интересны, значит, немного красивы.
Здесь красота рисунка основывается не на ценностях процесса познания геометрического материала, а на ценностях познания геометрического восприятия. То есть здесь не внутренняя геометрическая красота, а внешняя. На примерах геометрических иллюзий мы узнаем важные закономерности процесса геометрического восприятия и данные рисунки, рельефно и ёмко выражающие эти закономерности, нами оцениваются чувственно-положительно. Именно поэтому данные рисунки нас радуют и, соответственно, кажутся, немного красивыми.
Бывает так, что мы встречаем знакомую геометрическую фигуру, и она радует нас. Радует потому, что раньше мы получали эстетическое наслаждение от ее восприятия, она была для нас очень красивой. И теперь мы имеем возможность еще раз насладиться этой красотой. Такая возможность радует нас, то есть положительно оценивается нами. Данная радость, т.е. повторить прошлое наслаждение, и будет красотой данного узнавания.
Данная радость-оценка накладывает свой отпечаток красоты на данное восприятие прекрасной знакомки. И этот отпечаток состоит в том, что эта радость, радость возможности реставрировать прошлое наслаждение, становится чувственно-положительной установкой для данного восприятия.
Первичное восприятие прекрасной фигуры всегда как бы острее, содержательнее, а повторное восприятие - всегда как бы сентиментальнее.
Бывает и так, что с данной геометрической фигурой мы в прошлом имели продолжительное и детальное знакомство. А затем были заняты другим. И вот теперь вновь встречаемся со старой знакомой. И полузабытые, «полувысохшие» нейро-динамические связи вновь «ожили и стали наполняться» своею былой силой и былой самоценностью. А это всегда почему-то приятно. И в этом есть какой-то нейро-динамический закон. Может быть дело в том, что использование старого опыта всегда и безусловно ценно.
Если смотреть на эту старую знакомую приятно, значит красиво. Конечно, если эта старая знакомая не была в свое время антипатичной. Но старое может быть и индифферентным. Лишь бы оно было очень близким, частью жизни, не обязательно праздничной жизни, а частью будничной жизни.
Если обратиться к примерам, то разве прямоугольный треугольник, лежащий на гипотенузе с падающей на него высотой, не кажется нам родным? Разве мы мало вложили в свое время своих трудов и своих чувств в этот чертеж? И разве он нам не кажется поэтому красивым?
Предположим, что юноше очень нравится одна девушка. Но его не пускают туда, где она тренируется. И ему пришлось несколько вечеров смотреть на свою фигуристку сквозь сетчатую ограду с характерным рисунком. Тогда несколько спустя вполне тривиальный рисунок этой сетки, особенно, если он наложен на другой рисунок, может напомнить юноше о его прошлом большом чувстве и показаться красивым.
Комментарии
- чем правильнее построенная, тем красивее.
Ученые все время хотят "поверить алгеброй гармонию", найти законы красоты, но: "Суха теория, мой друг, а древо жизни вечно зеленеет" - не помню, кто сказал. "Алгебра" - это часть гармонии, одна из сторон ее.