Отсутствие нечётного совершенного числа

На модерации Отложенный

Совершенным числом называется натуральное число, сумма правильных делителей которого равна данному числу. Например, 6=1+2+3, также 28=1+2+4+7+14. Совершенные числа очень редкие. Третье совершенное число – 496, четвёртое – 8128, пятое – 33550336. С помощью компьютеров к настоящему времени найдено около пятидесяти совершенных чисел, последние из которых состоят из нескольких десятков миллионов знаков. Все эти числа являются чётными, так как они найдены в соответствии с критерием Евклида для совершенных чисел. До сих пор было неизвестно о том, существуют ли нечётные совершенные числа или нет.

Теорема.

Не существует нечётного совершенного числа.

Доказательство.

Все простые числа являются недостаточными. Составные нечётные числа могут быть недостаточными (начиная с 9) или избыточными (начиная с 945).

Рассмотрим составное нечётное число y, которое раскладывается на разные простые нечётные множители a и b. Таким образом, y=ab. Сумма его правильных делителей равна 1+a+b=1+s, где s – сумма правильных делителей за исключением 1.

Наименьшим таким числом является 15=3*5. Оно является недостаточным, так как сумма его правильных делителей равна 1+3+5=9.

Рассмотрим изменения, которые произойдут при добавлении к данному составному нечётному числу ещё одного простого нечётного множителя d. При этом не имеет значения, совпадает ли он с уже имеющимися простыми множителями a и b или нет. Тогда x=yd=abd. Сумма его правильных делителей будет складываться из суммы правильных делителей числа y и суммы новых делителей, образующихся при умножении каждого из прежних делителей на d. Таким образом, сумма правильных делителей составного нечётного числа x=abd будет равна 1+s+d(1+s)=(1+d)(1+s).

Будет ли верным равенство x=(1+d)(1+s)? Слева стоит нечётное число x. Справа один из множителей (1+d) является чётным (так как d – нечётное простое число). Равенство не верно.

Значит, нечётное число не может быть совершенным.