Отсутствие нечётного совершенного числа
Совершенным числом называется натуральное число, сумма правильных делителей которого равна данному числу. Например, 6=1+2+3, также 28=1+2+4+7+14. Совершенные числа очень редкие. Третье совершенное число – 496, четвёртое – 8128, пятое – 33550336. С помощью компьютеров к настоящему времени найдено около пятидесяти совершенных чисел, последние из которых состоят из нескольких десятков миллионов знаков. Все эти числа являются чётными, так как они найдены в соответствии с критерием Евклида для совершенных чисел. До сих пор было неизвестно о том, существуют ли нечётные совершенные числа или нет.
Теорема.
Не существует нечётного совершенного числа.
Доказательство.
Все простые числа являются недостаточными. Составные нечётные числа могут быть недостаточными (начиная с 9) или избыточными (начиная с 945).
Рассмотрим составное нечётное число y, которое раскладывается на разные простые нечётные множители a и b. Таким образом, y=ab. Сумма его правильных делителей равна 1+a+b=1+s, где s – сумма правильных делителей за исключением 1.
Наименьшим таким числом является 15=3*5. Оно является недостаточным, так как сумма его правильных делителей равна 1+3+5=9.
Рассмотрим изменения, которые произойдут при добавлении к данному составному нечётному числу ещё одного простого нечётного множителя d. При этом не имеет значения, совпадает ли он с уже имеющимися простыми множителями a и b или нет. Тогда x=yd=abd. Сумма его правильных делителей будет складываться из суммы правильных делителей числа y и суммы новых делителей, образующихся при умножении каждого из прежних делителей на d. Таким образом, сумма правильных делителей составного нечётного числа x=abd будет равна 1+s+d(1+s)=(1+d)(1+s).
Будет ли верным равенство x=(1+d)(1+s)? Слева стоит нечётное число x. Справа один из множителей (1+d) является чётным (так как d – нечётное простое число). Равенство не верно.
Значит, нечётное число не может быть совершенным.
С̨̝̤̩̟̝̥̰͕̙̣̗̥̟̿̈ͧͭ̅̐̓ͫͤ̌̅͌̀ͬ́ͯͥ͆̀͡о̧ͤ̿͑̀̊̆̂͗ͥ̿̊̔ͮ͊̎͏̟̻̲̫̟͇͔̤̭̗͖͇̖͓͕͙̹̺ͅв̸̷̳͕̪͈̯̜̗̺̿͂̋̆͝ͅеͪ̄͆ͨ̐̀͡҉̢̦͔͓̞̗̥̫̰̤̮̠͎̞̘͎͇̦р̴̨̧̼͙̲̰̥͇͖͚͕̯̼̘͙̳̐̆͌̑ͬ͌̾͐̑̇̚͘ш̷̺̤̲̦͚͎̺̳͕̻̭̩̾ͧ̌̈́̀̇̃͂ͪ̊̄̓ͬͫ̓ͭ̈́̈́͢ͅе̷͚̝͍̲̻̺̬͚̥͎͎͚͓͖͔͓̖̹̉ͫ̓͌̏ͪ̒̎ͭͩ̇ͯͨ̓̀͘͢͜н̸̇͋̓͌̒̎̄̾̔ͣ̊̔̑ͮͫ͆̍̔̄͘͏̵͕̞͎̪͎̘̜̠͔͟н̷̶̶͈̯̲̪̣̼̤̙̜̫̩̤̦̳̥͈̈́ͨ͐͆̉̾̾̌͒́̕ͅы̧ͯ͑͂̃̊ͦ̎ͯ̚҉̷͇̤͕̗̘̠̪̕м̸̓̊̆̇̿̒͐̃ͮͦ̓ͫ͘҉҉̻̞͚̖̮̫̮͍͓͖̯͈͕̗͍̲̭ ̧̭̰̟̯̮͖̮͔̤̙͓̠͓̤̣ͭ̈́̋͑̐̍ͥͣ̏ͬ̓ͩ̌͜ч̷̛̞̬͖͚̫̖ͯ̋ͬ͊̄̎͆ͪ̓ͣ̊ͮͭͫ̀́͘и̷̢̼̜̖̜̙̙̫̃̂̔ͯͧͧ͛̎͋ͬ͆͌ͤ́̚͢͟с̵̢͎͎͙̲͈͚̮͓̣̪̠̫ͩ̌̋͊͒͗̿̅́̔͗̈́л̵̵̖͓͇̣͎͆̒͒ͯ̅̈́̂̾̕ͅͅӧ̸̶̢̏ͩ̈́̇̋ͮ̿̇͐ͬͭ͆̎̔̿̿ͫ҉̩̹̳̱͚̹̱̱̥͕̣̝̗̖̳̲͙м̵ͪ̄͐̌́̓͒̅̆̉̂͜͡҉҉͉̤͔̠̘͙̥̺͙̤̖̫͉̟̘̳ ̶̢̧̛̱̮̗̖̠͔̠̗̟̜̘̪̖͓͇͕͙̅̄ͮͦ̓̌ͩн̵̷͕̝̻͍͓͚͖͈̬̐ͬ̔͑а̶̴̵̧̠͖͚̙͚̩̳͚̣̜͖͈̱̤͆̾͑ͬͦ̐ͬ̋͊͜ͅͅз̢̜͔̹̳́͌̏́͂̍ͯͦ͐̍̍̉̐͌̓̀̚͘͠ы̡̪͎̲̬͇̥̘͖̩̮͙̮̫̹̝̜̜͑ͬ̀̓̎̉ͬ́в̵̗͓͖̠͓͙͙̤̞͍͈̫̘̗̺̐ͨ̉̓̄̃̕͢а̐ͣͧ̾̀͛ͭ̆ͩ̉̍̓͒̅͌͋͘͏̟̣̻͚͠͞е̯̮̲̯̯͇̼̺̠͕̺̦͖͕ͤ̍̈̽ͫ͑̓͑̓̒̑̕͞т̛̻̼̭̭͉̞̠̝͚̹̙̝̗̥̞͖͍͓̯́͛́ͤͮ́͗̾̊ͭͭ̓̎ͧ͗̂ͣ̚͜с̴̨̛̱̜̘̱͔̥̠͕̰̖̩̱̮̙̟̬̰̀̀ͧ̇͜ͅя̷̖̻͕̥̞͙͔̞̥̯͚̩͕̯͎̿ͣ͆͂ͤ̓ͥͬ͌ͫ̇ͨ̌̉͜͟.