Два аспекта решения задачи о удвоении куба .

Согласно античной легенде, однажды на острове Делос разразилась эпидемия чумы. Жители острова обратились к дельфийскому оракулу, и тот сообщил, что необходимо удвоить жертвенник святилища, который имел форму куба. Жители Делоса соорудили ещё один такой же куб и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. После повторного обращения оракул разъяснил, что удвоенный жертвенник также должен иметь форму куба.

С тех пор делийской задачей занимались лучшие математики античного мира, было предложено несколько решений, однако никто не смог выполнить такое построение, используя только циркуль и линейку, поэтому постепенно сложилось общее убеждение в неразрешимости такой задачи. Ещё Аристотель в IV веке до н. э. писал: «Посредством геометрии нельзя доказать, что… два куба составляют один куб» .

" Из Википедии .."

Итак , аспект первый - математический ..

Так как я тоже не любитель уравнений с двумя неизвестными , то предлагаю более простой путь для решения .

Ориентироваться будем на понятие единичного объекта и метод визуализации ..

Итак , мы имеем физическое тело в форме куба , и никаких сведений о его реальных размерах ..

Значит решим , что это единичный объект с условной единицей объёма .. 

Как мы помним V = a3 , а если мы приняли , что V = 1 , следовательно и грань куба тоже равна одной условной единицы длины ..

Соответственно , если V = 2 , то и грань такого куба будет составлять корень кубический из 2 условных единиц длин граней исходного куба ...

Точный размер грани этого удвоенного куба в числах выразить не получится , увы ..

Впрочем , для промежуточного решения в точном построении удвоенного куба на практике данных знаний вполне достаточно ..

Большего от математики не требуется и для дальнейшего решения нужны совсем другие знания , но есть желание пройти эту головоломку до конца и определить возможно ли найти это промежуточное значение с помощью циркуля и линейки без делений .

Для этого воспользуемся методом визуализации , то есть геометрическим построением того , что числом отразить невозможно .

К примеру , диагональ квадрата выразить через число невозмозможно , но отразить его на чертеже ни составит проблем .

Пример сей весьма уместен в данном случае , так как куб - это шестигранное тело , где все грани равны и представляют из себя квадраты .

Итак , поставим наш исходный куб на ровную поверхность и аккуратно обведём его чем либо оставляющем следы на ней , то есть сделаем проекцию этого куба на поверхность . 

В полученном квадрате проведём диагонали и отбросим за ненадобностью его половину , то есть будем рассматривать его часть , представляя её в виде прямоугольного равнобедренного треугольника  с диагональю в виде гипотенузы и с половиной диагонали в виде высоты ..

Проиллюстрируем сказанное выше ..

Здесь у нас AB = BC = 1 ус. ед. рёбра исходного куба .

Зелёным выделены его диагонали , а красной линией выделено ребро куба удвоенного объёма ..

Найти его местоположения достаточно просто , по теореме Пифагора ..

Для этого надо лишь вычислить катет DB .. зная , что катет BC = 1 , а гипотенуза равна корню кубическому из двух . Ничего сложного .

Если мы сможем с помощью циркуля и линейки сделать то же самое , то математическую сторону задачи можно будет считать законченной ..

Вот предлагаемое решение .. 

Используем вершину A как центр окружности радиусом которой будет отрезок AB ...

Проведём дугу пересекающую ABC ..

Теперь сделаем то же , но в качестве центра окружности выберем вершину B , а радиусом половину диагонали ..

Видно что точка пересечения e этих  дуг лежит на отрезке CD ....

Если с помощью линейки провести отрезок прямой из C  через e до пересечения с AB , то ...

И даже доказывать не надо .. :)

Впрочем , нам по условиям задачи надо создать удвоенный куб , имея одинарный физический прототип .. А это суровая реальность , а не утончённая математика и разница между ними существенна ..

Поэтому во второй части мы рассмотрим это противоречие на примере огурца от Татьяны и завершим исследование решения этой задачи ..:)