Математика в Стране Чудес.

Математика в Стране Чудес.

Чарльз Лютвидж Доджсон, более известный как Льюис Кэррол, был профессорм математики в Оксфорде. Так что не будет сюрпризом, что его книги полны математики.

Нужно сказать, что изначальная история, сочинённая для маленькой Алисы Лиддел, была просто детской сказкой. Весь глубокий поддтект, который некотрые из нас находят в книге, внесён в неё позднее. Я коснусь только одного примера «числовой» математики, если можно так сказать. Все аллюзии на топологию, многомерную геометрию и прочее в том же духе, я оставлю в покое, посольку их трудно продемонстрировать на простых примерах.

Эта статья представляет собой описание своеобразной математической игры. Такие игры реально используются для развития математического воображения.

Алиса считает (Глава 2).

Цитата:

«Лучше проверю-ка я, все я знаю, что знаю, или не все. Ну-ка: четырежды пять - двенадцать, четырежды шесть - тринадцать, четырежды семь... Ой, мамочка, я так никогда до двадцати не дойду!»

Почему Алиса не дойдёт до 20?

Претставим себе, что Алиса считает ПРАВИЛЬНО (для Страны Чудес). Как это возможно? Только если в каждом примере она использует систему счисления с другим основанием. Для обозначения числа N, выраженного в системе счисления с основанием B(asis) я буду использовать обозначение N(В)

Итак, мы имеем

4 * 5 = 12

4 * 6 = 13

...

Мы знаем, что

4(10) * 5(10) = 20(10)

Что бы из «20(10)» получить «12(В)», «В» должно быть равно 18 (18(10) + 2(10) = 20(10)).

Так же, что бы 4(В) + 6(В) = 13(В), «В» должно быть равно 21

Отсюда мы получаем ряд

4(18) * 5(18) = 12(18) = 18(10) + 2(10)

4(21) * 6(21) = 13(21) = 21(10) + 3(10)

4(24) * 7(24) = 14(24) = 24(10) + 4(10)

4(27) * 8(27) = 15(27) = 27(10) + 5(10)

4(30) * 9(30) = 16(30) = 30(10) + 6(10)

...

Что бы продолжить ряд, придётся немного напрячься. Можно ввести какие нибудь обозначения цифр в других системах счисления. Но для простоты мы продолжим не левую, а правую часть ряда. Для этого нужно обратить внимание, как меняется основание системы счисления и младший разряд. Как и можно ожидать, младший разряд меняется на 1. А основание системы счисления меняется каждый раз на 3. Отсюда мы можем получить начало нашего ряда:

4(15) * 4(15) = 11(15) = 15(10) + 1(10)

Соответственно, мы можем продолжить правую часть:

17(33) = 33(10) + 7(10)

18(36) = 36(10) + 8(10)

19(39) = 39(10) + 9(10)

Дальше логично следовало бы

20(42) = 42(10) + Х(10)

Но так не получается. Если для «Х» мы ещё можем найти подходящее значение (Х=0), то для «В» нет, потому что для 20(В) равенство должно выглядеть так:

20(В) = 2*В(10) + 0

Отсюда «В» должно быть равно 21 и ряд «разрушается». Т.е., следуя своей логике, Алиса действительно не может дойти до 20.

Теперь поиграемся с рядом, который пришел Алисе на ум. Примем за основу, что результатом любой таблицы умножения в Стране Чудес должен быть ряд (11, 12, 13, ...) и попробуем менять разные параметры. Назовём «мнимально возможной» такую таблицу, которая содержит все возможные осмысленные операции, ведущие к получению ряда (11, 12, 13, ...).

Начнём с изменения левого множителя, причём правый, как и у Алисы, будет начинаться с «4».

Допустим, она взяла бы не таблицу умножения на 4, а на 5. Тогда у неё получилось бы:

5(19) * 4(19) = 11(19) = 19(10) + 1(10)

5(23) * 5(23) = 12(23) = 23(10) + 2(10)

5(27) * 6(27) = 13(27) = 27(10) + 3(10)

5(31) * 7(31) = 14(31) = 31(10) + 4(10)

5(35) * 8(35) = 15(35) = 35(10) + 5(10)

5(39) * 9(39) = 16(39) = 39(10) + 6(10)

А для таблицы умножения, скажем, на 7 получилось бы:

7(27) * 4(27) = 11(27) = 27(10) + 1(10)

7(33) * 5(33) = 12(33) = 33(10) + 2(10)

7(39) * 6(39) = 13(39) = 39(10) + 3(10)

7(45) * 7(45) = 14(45) = 45(10) + 4(10)

7(51) * 8(51) = 15(51) = 51(10) + 5(10)

7(57) * 9(57) = 16(57) = 57(10) + 6(10)

Видно, что увеличивая множитель на 1, мы увеличиваем разницу между основаниями системы счисления тоже на 1. Отсюда можно сделать вывод, в каких пределах «работает» принцип счёта в Стране Чудес.

Очевидно, что для множителя «1» принцип не работает. Из логических рассуждений следует:

1(3) * 4(3) = 11(3) = 3(10) + 1(10)

Но выражение 4(3) (4 в системе счисления с основанием 3) не имеет смысла. В системе счисления с основанием 3 число «4» будет выражаться «11(3)).

Тогда минимально возможная таблица умножения, начинающаяся с множетеля «4» будет:

2(7) * 4(7) = 11(7) = 7(10) + 1(10)

2(8) * 5(8) = 12(8) = 8(10) + 2(10)

2(9) * 6(9) = 13(9) = 9(10) + 3(10)

Теперь попробуем менять множитель, с которого начинается таблица, полагая, что самой первой из них будет таблица умножения на 2.

Минимально возможная таблица умножения, начинающаяся с множетеля «5» будет содержать лишь одно осмысленное действие:

2(9) * 5(9) = 11(9) = 9(10) + 1(10)

Минимально возможная таблица умножения, начинающаяся с множетеля «3» будет содержать 5 действий

2(5) * 3(5) = 11(5) = 5(10) + 1(10)

2(6) * 4(6) = 12(6) = 6(10) + 2(10)

2(7) * 5(7) = 13(7) = 7(10) + 3(10)

2(8) * 6(8) = 14(8) = 8(10) + 4(10)

2(9) * 7(9) = 15(9) = 9(10) + 5(10)

А минимально возможная таблица умножения, начинающаяся с множетеля «4» только 3 действия, т.е. среднее арифметическое между 1 и 5.

2(7) * 4(7) = 11(7) = 7(10) + 1(10)

2(8) * 5(8) = 12(8) = 8(10) + 2(10)

2(9) * 6(9) = 13(9) = 9(10) + 3(10)

Теперь попробуем менять основание системы счисления, с которого начинается таблица.

Очевидно, мы можем создать минимальную таблицу, которая начинается с системы счисления с основанием 3 и имеет минимально возможные множетели:

2(3) * 2(3) = 11(3) = 3(10) + 1(10)

2(4) * 3(4) = 12(4) = 4(10) + 2(10)

2(5) * 4(5) = 13(5) = 5(10) + 3(10)

2(6) * 5(6) = 14(6) = 6(10) + 4(10)

2(7) * 6(7) = 15(7) = 7(10) + 5(10)

2(8) * 7(8) = 16(8) = 8(10) + 6(10)

2(9) * 8(9) = 17(9) = 9(10) + 7(10)

Видно, что эта минимальная таблица содержит в себе все минимальные таблицы, которые начинаются с системы счисления с основанием N>2.

В самом деле, выражение 2(В) * 2(В) = 11(В) имеет смысл только при В=3, выражение 2(В) * 3(В) = 12(В) имеет смысл только при В=4 и т.д.

Во всех примерах опущена тривиальная операция типа

N(10) * M(10) = K(10)

Кроме того, таблицы «кончаются», когда N(10) * M(10) < В(10), где В – основание системы счисления для строки N(В) * M(В).