Откуда у функций появляются "точки" и почему "Теорема Ферма" называется великой?

В статье Что такое: "функция" в современной математике? я попытался дать обобщенное понятие функции, как однозначную связь переменных величин между собой, но дойдя до определения функции, данного в Википедии, слегка "тормознул". Почему и для чего тормознул? Ну, хотя бы для того, чтобы получить пару комментариев с "непонятками". В чем могут быть "непонятки"? Для объяснения даю свое определение функции: Функция - это правило (закон), согласно которому переменные величины ставятся в однозначное соответствие между собой. 1. Функции могут быть дискретными, аналоговыми и смешанными. В Википедии дается пример частного случая дискретной функции, заданной табличным способом, который оптимален для данного частного случая функций: 2. Там же дается пример еще одного частного случая функций, который называется числовая функция и показаны четыре способа задания этих функций: 3. А вот теперь следим внимательно "за руками"! Для начала можно подготовиться, почитав этот диалог на тему "производной функции в точке". Смотрим на два последних способа задания числовых функций. Аналитически заданную функцию можно изобразить в виде таблицы таким способом (далее текст из Википедии): "...Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них. После этого, если это необходимо, функцию можно доопределить для аргументов, которых нет в таблице, путём интерполяции или экстраполяции...

Само по себе равенство y=f(x), без указания что это функция, заданная на некотором множестве, функцией не является.

Например, {\\displaystyle y=x^{2}} есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Аналогично, если f(x) является другим обозначением переменной y, то {\displaystyle f(x)=x^{2}} также есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Если же в равенстве {\displaystyle f(x)=x^{2}}слева стоит обозначение выражения, содержащего переменную {\displaystyle x}x, то имеется равенство двух выражений, содержащих одну переменную.

Однако высказывание функция y=x^{2}\\;(или функция {\displaystyle f(x)=x^{2}}) на множестве задания обозначает именно функцию..."

Другими словами: табличный способ задания функции является наиболее универсальным, хотя, в случае числовых функций, может быть достаточно трудоемким. Зато в случае нечисловых функций он может оказаться самым продуктивным как, например, в случае, рассмотренном в п.1. 4.

Берем функцию площади круга: y = πx2 (рисунок из Википедии):

5. Чертим таблицу: 6. Разделяем таблицу на две части: 7. Чертим для наглядности линии связи значений двух переменных: 8. Теперь проводим некую дополнительную манипуляцю. До этого момента связь двух переменных была непосредственной (!) Теперь введем дополнительно некую опосредованную связь в виде красной ломаной линии: 9. До этого момента, изучая функции в общем виде и в виде различных частных случаев нам не требовалось понятие "точки". Еще раз: Понятие "функция" и понятие "точка" до сих пор не имели ничего общего, даже при рассмотрении различных частных случаев! Что мы делаем далее? Используем понятие числовой оси. Чертим схематично без соблюдений масштаба и соотношений: 10. Наконец-то, у нас появились точки! Отмечаем для себя, что точки появились лишь в очень узком частном случае рассмотрения понятия функции. То есть при рассмотрении числовой функции, когда мы стали рассматривать частный случай общего понятия величины: длину (смотреть здесь). Чтобы не загромождать статью схемами и чертежами, поясняю дальнейшие действия в нашем эксперименте по установлению истины: 11.1. Ось аргументов не трогаем, а ось ординат совмещаем с осью абсцисс в точке (0;0) и, поворачивая против часовой стрелке, следим внимательно за двумя связями пар чисел: непосредственной и опосредованной. 11.2. Довернув ось ординат до угла в девяносто градусов, обращаем внимание на следующие моменты: 11.3. Никаких тангенсов и никаких касательных не было до прямого угла, хотя все "принадлежности" функции сохранялись! 12. Теперь смотрим на результат поворота (на оси ординат я не стал вставлять схематические значения): 13. Нижний гиф-файл здесь, мне кажется способен "вправить" мозг в нормальное состояние... Теперь о Теореме Ферма. Великой ее назвали те, кто не смог всунуть в свой мозг три множества, вместо двух, ограничивающих количество множеств определением функции, принятым в современной математике. На самом деле - это элементарная задачка для функции двух аргументов, которую будут изучать в средней школе после того, когда мне дадут возможность ввести в научный оборот разработанный мною структурный анализ. Ну, а если не дадут, то она так и останется великой на неопределенное время. Подробнее в конце этой статьи, в комментариях к ней, здесь и здесь.