Пятое правило арифметики

Уровень математической подготовки, даже в развитых странах, вызывает тревогу. Академик В.И. Арнольд считает, что школьное образование Франции, Англии и Америки просто уничтожается в результате непродуманных реформ XX века...

Виктор Доценко

Уровень математической подготовки, даже в развитых странах, вызывает тревогу. Академик Владимир Игоревич Арнольд, например, считает, что школьное образование Франции, Англии и Америки просто гибнет в результате непродуманных реформ, проведённых там во второй половине XX в. Умение пользоваться калькулятором привело к неумению мыслить аналитически и логически, понимать суть физических и математических задач. О своём опыте преподавания в Парижском университете и размышлениях, связанных с ним, рассказывает доктор физико-математических наук Виктор Степанович Доценко.

Историки до сих пор спорят, как же могло получиться, что такие мудрые и образованные древние египтяне столь быстро разучились строить свои замечательные пирамиды? Всё произошло на протяжении буквально нескольких поколений (на рубеже IV и V династий, около XXVI века до Р.Х.). И в самом деле, это была поразительная историческая катастрофа: веками учились, учились, по крохам совершенствовали мастерство, передавали всё это из поколения в поколение, накапливали знания и опыт, потом выстроили свои три Великие Пирамиды (Хеопса, Хефрена и Микерина), и, вдруг, разом всё забыли, потеряли навык, умение и мастерство, перестали понимать элементарные вещи. Что особенно удивляет – это произошло, как бы, само по себе, безо всяких войн и нашествий варваров. Всё, что было построено после, выглядело лишь, как жалкое подобие Великих Пирамид, и сейчас представляет собой не более, чем груду развалин.

Я теперь знаю, как такое может происходить. Дело в том, что я уже пятый год преподаю физику и математику в Парижском университете (университет имени Марии и Пьера Кюри, известный также под именем «Paris VI», или «Jussieu»). Необходимо сказать, что Париж – не последнее место на планете по уровню образования, а мой Университет – далеко не худший в Париже. Россия всегда несколько отстаёт от Запада, и, судя по тому, как энергично, а, главное, во что нас реформирует родное Министерство образования, сейчас в Париже я могу наблюдать наше недалёкое будущее.

Сразу оговорюсь: я вовсе не претендую на роль «пророка из будущего», и поэтому буду стараться избегать обобщений. Мне всё равно не по силам сравнивать средний уровень французского образования (о котором имею весьма смутное представление), со средним уровнем нынешнего российского образования (о котором, тем более, ничего не знаю). Если честно, я вообще не понимаю, что такое «средний уровень образования». Я буду рассказывать только о своём личном опыте – так сказать, «что вижу, то и пою».

БАК – родной брат ЕГЭ

Сначала – небольшая сухая справка. Во Франции уже давно введён и действует «Единый Государственный Экзамен» (ЕГЭ), только называется он у них БАК (от слова бакалавр), но это сути не меняет. Мотивация введения французского БАКа была, примерно, та же, что и нашего ЕГЭ: чтобы поставить всех учеников в равные условия, чтобы свести на нет коррупцию на почве образования, чтобы унифицировать требования к выпускникам, ну и так далее. Короче, чтобы всё было и по-честному, и по справедливости.

У БАКа имеется несколько специализаций: он может быть научным, когда приоритет (повышенный коэффициент) имеют экзамены по математике и физике; он может быть гуманитарным, когда приоритет отдаётся языкам, философии; он может быть экономическим; и т.д. Человек, сдавший БАК, имеет право, безо всяких вступительных экзаменов, записаться в любой университет своего профиля (правда только по месту жительства – прописка у французов очень даже имеется) и учиться в нём совершенно бесплатно (если не считать «комиссионного сбора» размером в три сотни евро в начале каждого учебного года), а если студент может документально доказать, что доходы его семьи ниже определённого уровня, то он может даже получать стипендию (совершенно независимо от своей успеваемости).

Но вот, если ученик сдал БАК с отметкой выше определённого уровня (больше чем 15/20), то он имеет право записаться на подготовительное отделение в одну из так называемых Гранд Эколь (самой известной из которых является Эколь Hормаль Суперьер) – это что-то, вроде элитных университетов – и для поступления в Гранд Эколь, после подготовительных курсов, нужно выдержать ещё и вступительные экзамены. Далее, в процессе учёбы, как в Гранд Эколь, так и в Университете, в зимнюю и в весеннюю сессии происходит отсев: если у студента сумма баллов всех экзаменов оказывается ниже определённого уровня, его выгоняют (или, в определённых ситуациях, могут оставить на второй год).

Отсев идёт серьёзный: в моём университете в первую зимнюю сессию выгоняют около 40% студентов, в следующую – ещё процентов 30, и т.д. В результате, к концу второго года обучения, остаётся едва ли четверть из тех, кто начинал учиться (фактически – это растянутые на два года вступительные экзамены).

Далее, отсев тоже продолжается, хотя, может, и не столь интенсивно, и, наконец, венчается вся эта учёба двумя или тремя годами, так называемого, «DEA», которое, с некоторыми поправками, соответствует нашей аспирантуре, и которая, как и у нас, завершается (точнее, должна завершаться) диссертацией и учёной степенью. Естественно, что до этого уровня добираются только «самые-самые»...

Ну и, чтобы завершить это довольно скучное вступление, немного о себе: доктор физмат наук, профессор, занимаюсь теоретической физикой; в университете «Paris VI» для первокурсников преподаю математику и общую физику, а ещё, в качестве «контрастного душа» читаю некий теоретический курс (уж не стану разъяснять о чём) и веду семинары для аспирантов последнего года Эколь Hормаль Суперьер (т.е. для тех, которые не только «самые-самые», но ещё и «супер» и «экстра»).

Ну вот, как видите, система образования задумана, как будто, совсем неплохо, всё устроено вполне разумно, и даже деньги на всё это есть (французы, правда, всё время стонут, что денег на образование катастрофически не хватает, но это – просто оттого, что они не знают, что значит не хватает, на самом деле). И, тем не менее, могу сообщить тем, кто ещё не знает, что «хотели, как лучше, а получилось как всегда» бывает не только в России. Французское образование (и я подозреваю, что далеко не только французское) – яркий тому пример.

Не все яблоки по зубам экспертам

В силу специфики своей деятельности, в своём дальнейшем повествовании я буду иногда вынужден апеллировать к экспертам в области высшей математики, т.е. к тем, кто знает все четыре правила арифметики, а также, умеет складывать дроби и, в общих чертах, знаком с таблицей умножения. Эти части текста, для понимания которых требуются столь специфические знания, я буду выделять курсивом.

Так вот, в этом учебном году я обнаружил, что, среди пятидесяти моих учеников-первокурсников (у меня две группы), восемь человек считает, что три шестых (3/6) равно одной трети (1/3). Подчеркну: это – молодые люди, которые только что сдали «научный БАК», т.е. тот, в котором приоритет отдаётся математике и физике.

Все эксперты, которым я это рассказывал, и которые не имеют опыта преподавания в парижских университетах, сразу же становятся в тупик. Пытаясь понять, как такое может быть, они совершают стандартную ошибку, свойственную всем экспертам: они пытаются найти в этом логику, они ищут (ошибочное) математическое рассуждение, которое может привести к подобному ошибочному результату. Hа самом деле, всё – намного проще: им это сообщили в школе, а они, как прилежные ученики (а в университет попадают только прилежные ученики!) запомнили, вот и всё. Я их переучил: на очередном занятии (темой которого вообще-то была производная функции) я сделал небольшое отступление и сообщил, что 3/6 равно 1/2, а вовсе не 1/3 как считают некоторые из присутствующих.

Реакция была такая: «Да? Хорошо...». Если бы я им сообщил, что это равно одной десятой, реакция была бы точно такой же.

В предыдущие два учебных года процентов десять-пятнадцать моих студентов систематически обнаруживали другое, не менее «нестандартное» математическое знание: они полагали, что любое число в степени (1) равно нулю. Причём, это была не случайная фантазия, а хорошо усвоенное знание, потому что проявлялось неоднократно (даже, после моих возражений) и срабатывало в обе стороны: если обнаруживалось что-либо в степени (1), то оно тут же занулялось, и наоборот, если что-либо требовалось занулить, то, для этого, подгонялась степень (1). Резюме то же самое: их так научили.

Вот чему несчастных французских детей никак не могут по-настоящему научить, так это обращаться с дробями.

Вообще дроби (их сложение, умножение, а особенно деление) – это постоянная головная боль моих студентов. Из своего пятилетнего опыта преподавания могу сообщить, что сколько-нибудь уверенно обращаться с дробями могло не больше десятой части моих первокурсников. Надо сказать, что арифметическая операция деления – это, пожалуй, самая трудная тема современного французского среднего образования…