Классификация чисел и геометрия пространства - времени.

Павлов Д.Г.

Число — одно из самых фундаментальных понятий не только математики, но и всего естествознания. Поэтому вопрос причин, по которым математики относят конкретное число к тому или иному классу, является, без сомнения, весьма важным. Если не погружаться в дебри философских и метафизических оснований чисел натурального ряда, а принимать их существование как некий факт, дальнейшие расширения понятия числа уже могут быть выведены с помощью логики и индукции. На этот счет есть замечательный афоризм Кронекера: «Целые числа созданы Господом богом, все остальное — дело трудов человеческих». Признанная сегодня цепочка классов чисел имеет вид: натуральные — целые — рациональные — действительные — комплексные.

Однако и на этом пути почти на каждом его этапе математики сталкивались с проблемами методологического характера. Так было с введением нуля, затем с обоснованием отрицательных и иррациональных чисел и, наконец, с осмыслением мнимых величин. Появление почти каждого нового класса вызывало бурные споры, доходившие до его полного отрицания и объявления своеобразной анафемы. Споры утихали сами собой только после того, как новое качество, привнесенное очередным расширением числа, помимо подтверждения своей значимости практическими достижениями находило естественную геометрическую трактовку. Сегодня аналогии между действительными числами и прямой, между комплексными числами и евклидовой плоскостью являются общепринятыми и чуть ли не очевидными, а в целесообразности такой геометрической интерпретации сомневаются разве что сумасшедшие.

Между тем, в конце ХIХ века в триумфальном шествии классификации чисел обозначился один досадный момент. Знаменитая среди алгебраистов теорема Фробениуса показала, что обобщение понятия числа, сохраняющего основные свойства действительных и комплексных чисел, включая отсутствие делителей нуля, не существует. Конечно, эта теорема не запрещает некоторых обходных путей, яркими представителями которых являются некоммутативные по умножению алгебры кватернионов и октав. Часть математиков даже считает такие алгебры прямыми обобщениями числа, но, к сожалению, будь это и так, после октав все равно ничего сколь нибудь содержательного нет. Таким образом, теорема Фробениуса надолго (если не навсегда) поставила крест на основной столбовой дороге, по которой до нее так победоносно и эффективно двигалась теория чисел. Однако, определенное ощущение нелогичности такого тупика и его полное противоречие историческим примерам развития естествознания, постоянно опровергавшим наличие тупиков там, где они периодически предполагались, позволяют надеяться, что и в данном случае мы подошли не к концу основного пути, а к очередному перевалу, за которым возможно откроются новые горизонты. То есть, можно надеяться, что комплексные числа рано или поздно уступят свое главенствующее положение и станут составной частью более широкого класса чисел, при этом явно не кватернионов и не октав.

Для начала попытаемся сформулировать аргументы, говорящие за подобную гипотезу.

Математике известны способы построения числовых систем с высокой размерностью (обычно называемых алгебрами гиперкомплексных чисел), сохраняющих ассоциативность и коммутативность умножения, несомненно, являющимися важными составляющими категории числа. Для выделения таких чисел среди прочих присвоим им название поличисел. Присвоение собственного имени таким гиперкомплексным системам тем более уместно, что именно среди них, на наш взгляд, должны найтись достойные кандидаты на звание прямого обобщения числа.

Наличие в поличислах делителей нуля, что собственно и констатирует теорема Фробениуса, может оказаться не столько помехой, как это принято обычно считать, сколько вполне естественным свойством, каким, например, является наличие самого нуля в алгебрах действительных и комплексных чисел.

Присутствие комплексных чисел в алгебрах некоторых поличисел, как подмножеств, по меньшей мере, не противоречит предположению об обобщающем характере последних.

То, что для трех- и четырехмерных евклидовых пространств алгебраическим аналогом выступают кватернионы, прямым обобщением числа не являющиеся, скорее всего, говорит не о конце цепочки классов чисел, а о второстепенной роли таких пространств в природе.

С другой стороны, существование у поличисел естественной геометрической интерпретации, заключающейся в сопоставлении им линейных финслеровых пространств (см. http://karataev.nm.ru/pavlov/index.html), продолжает классический ряд аналогий, действительные числа — прямая и комплексные числа — евклидова плоскость, на любую размерность. Это сводит задачу прикладного применения поличисел к отысканию достаточно значимого места в естествознании соответствующих им финслеровых пространств.

Развитие взглядов человечества на физическую природу пространства-времени, проделавшее путь от евклидовой геометрии к геометриям Миньковского и Римана, оставляет надежду на дальнейшие обобщения, среди которых достойное место могут занять как раз финслеровы пространства. При этом, если хотя бы одно из таких финслеровых пространств окажется тесно связанным с поличислами, данный факт будет означать не только естественное продолжение прямой классификации чисел, но и то, что работать с таким пространством будет существенно удобнее, чем с его некоммутативными прототипами.

Парадоксально, но особенности геометрии линейных финслеровых пространств изучены даже менее полно, чем геометрия их нелинейных обобщений, что также оставляет надежду найти среди них реального конкурента пространству Миньковского.

Наиболее признанная сегодня четырехмерная псевдоевклидова структура пространства-времени, хотя и обладает относительно богатой группой движений, существенно обделена конформными преобразованиями, целиком исчерпываемыми переносами, вращениями, растяжениями и инверсиями, в то время как связанные с поличислами финслеровы пространства свободны от аналогичного недостатка.

В попытке утверждения выдвинутой выше гипотезы мы вправе действовать самым решительным образом, допуская возможность отказаться от весьма фундаментальных понятий, в том числе от таких, как система координат, или векторное пространство, что естественно несколько увеличивает шансы на успех, хотя и требует разработки замещающих положений.

Однако, справедливости ради следует отметить, что каждому из приведенных выше аргументов «за» можно противопоставить как минимум один аргумент «против».

В математике и физике до сих пор не встречались задачи, в обязательном порядке требовавшие применения поличисел, или хотя бы решавшиеся с их помощью более эффективно, чем традиционными методами. Не факт, что они появятся в дальнейшем.

Коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные алгебры с делителями нуля известны достаточно давно и то обстоятельство, что они до сих пор не получили распространения, является весьма пессимистическим фактором.

Присутствие комплексных чисел в алгебрах некоторых поличисел может носить второстепенный характер, что собственно демонстрируют кватернионы и октавы, прямыми обобщениями не являющиеся, но содержащие действительные и комплексные числа в качестве подмножеств.

Евклидовы пространства уже достаточно давно уступили ведущее место своим обобщениям — римановым и псевдоримановым пространствам, ни в каких алгебраических аналогах собственно не нуждающимся.

Линейные финслеровы пространства размерности выше двух могут оказаться не более, чем абстрактной экзотикой, не встречающейся нигде в природе и потому не интересной никому, кроме узкого круга специалистов.

Возможно, что общая теория относительности либо совсем не нуждается в обобщениях, либо ее расширения пойдут не финслеровым путем, либо связанные с таким расширением финслеровы пространства никак не будут коррелировать с поличислами, а, следовательно, и не востребуют последних.

Понятно, что ссылка на неизвестные особенности геометрии линейных финслеровых пространств, является, по меньшей мере, некорректной, по крайней мере, до тех пор, пока существование таких «скрытых параметров» не доказано.

Свойство билинейных пространств обладать так называемой свободной подвижностью — конечно, далеко не самое незначительное преимущество перед другими типами пространств. Во всяком случае, такие выдающиеся умы как Гельмгольц, Ли и Вейль именно этот аспект считали решающим в доказательстве объективной выделенности евклидовых и псевдоевклидовых метрик среди прочих.

Легко декларативно предлагать отказаться от чего-то фундаментального, но как определить от чего именно, а главное, как непротиворечивым образом сформулировать новые понятия и правила, чтобы они при этом не только полноценно заменяли старые, но и объясняли нечто дополнительно?

Таким образом, вопрос завершенности классификации чисел вряд ли можно считать исчерпанным, хотя бы потому, что он оказался тесно связанным с другой фундаментальной проблемой — метрической основой пространства-времени, которую сегодня мало кто рискнет назвать окончательно решенной. И как знать, быть может, будущие успехи в этом направлении снова позволят провозгласить принцип: «Все есть число», — но в отличие от Пифагора иметь на это несколько больше оснований?