Перед математикой стоят новые проблемы и открываются новые горизонты

Приближенное число есть важнейшее понятие математики. И для приближенных чисел есть центральное понятие - погрешность. Что есть погрешность? Все курсы дают, что погрешность есть разность между точным значением числа и его приближенным значением.

Но что есть "точное значение"? Когда мы считаем стулья, то два стула есть точное значение числа стульев. Но это не есть приближенное число. Целые числа все точные числа. Но вот мы измерили прибором силу тока. Получили 221 В. А каково точное значение? Мы не знаем. И даже не знаем, как его получить. Даже еще проще. Мы знаем приближенные значения чисел е и пи с тысячами разрядов. Но не знаем их точного значения.

Таким образом, точное значение приближенного числа не существует в природе. Это бессмысленное понятие. Отсюда следует бессмысленность понятия погрешности приближенного числа. А так как понятие погрешности основное понятие теории приближенных чисел, то следовательно и сама эта теория ошибочна.

Так что такое ПРИБЛИЖЕННОЕ ЧИСЛО? Вот ответ. Приближенное число есть результат измерения или математической обработки измерительных данных. Поэтому его можно назвать метрологическим числом.

Метрологическое число, в отличие от других от точных - целых или вещественных, имеет две характеристики. Первая - номинал, значение. Вторая - метрологическая характеристика Существует несколько видов представления метрологической характеристики: погрешность абсолютная и относительная, интервал и пр. И номинал, и метрологическая характеристика метрологического числа имеют своим источником либо измерительный прибор, либо процесс математической обработки метрологических чисел.

Для метрологической характеристики существует закон: метрологическую характеристику не нужно, да и не возможно знать с большой точностью. Например, существует лишь стандартный набор классов измерительных приборов - 10, 5, 2, 1% и т.д.

Но нет класса 1.342%, И никакой потребности в расширении множества классов точности измерительных приборов не существует. Отсюда следуют и ограничения на метрологические характеристики самих метрологических характеристик. Например, для практики вполне достаточно иметь погрешность, выражающуюся одноразрядным числом.

Итак, из понятия приближенного (метрологического) числа понятие точного значения должно быть изгнано. Его не существует для приближенных чисел.

Второе важное следствие: аргументами функции, дающей приближенные числа, могут быть только приближенные числа. В качестве вспомогательных чисел могут использоваться целые. Например, возведение в целую степень приближенного числа имеет смысл. Но извлечение корня из целого числа, решение (недиофантовых) уравнений на множестве целых чисел некорректно. Даже деление целых чисел возможно только с остатком. Но деление с результатом в виде нецелого числа недопустимо. Например, операция 1/3=0.33333333333 некорректная операция. Правильная 1/3 = 0(1).

Отсюда следует некорректность всего раздела современной математики - вычислительной математики, математики приближенных вычислений. Например, недопустимая задача: вычислить ln5 c 5 десятичными разрядами. Правильная постановка: вычислить ln (5.000+-0.003). И необходимо получить и номинал результата и его погрешность (или иную метрологическую характеристику). На множестве целых чисел любое вычисление должно давать целые числа. Например, недопустимо задавать уравнения или системы уравнений с целочисленными коэффициентами.

Таким образом, громадные разделы математики должны быть переписаны. Должны быть изменена вся компьютерная вычислительная система. Другими словами, перед математикой встают новые проблемы и открываются новые горизонты.