Про "лимоны" для Невтонов: в шутку и всерьёз
Ключевые слова: математика и общество, теорема Ферма, премии фонда Клея, премия Била.
С о д е р ж а н и е
§ 0. Добро пожаловать
§ 1. Вокруг и около теоремы Ферма
§ 2. Щелкунчикам, которым неймётся без проблем
A. Семь крепких орехов: меню фонда Клея
B. Премия, которая растёт
На посошок
§ 0. Добро пожаловать
Микола Борисiв «Барьером сложности» растревожил душу, а комментарии напомнили о скором юбилее – в мае месяце исполнится 20 лет спецномеру журнала Annals of Mathematics со статьями Эндрю Уайлза и Ричарда Тейлора. (На них ссылается, к примеру, Википедия в статье Wiles' proof of Fermat's Last Theorem.)
На дискетах тех времён (удалось–таки найти компьютер с дисководом A) отыскался диалог интеллигентных дам, наслышанных о том, что писалось в иностранных СМИ и математических журналах вокруг и около теоремы Ферма. Кое-что из этих фактов и легенд мне не встречалось в публикациях на русском языке.
Учтите! Текст написан в прошлом веке (для вас урезался и обновил картинки), гипотеза Пуанкаре уже доказана, а у нас не за горами Первое апреля. Колебания цены премии Вольфскеля и эпитеты его жены высосаны не из пальца, а из тогдашних научных журналов.
§ 1. ВОКРУГ И ОКОЛО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
- Висело яблочко на яблоньке. Но быстрый разумом Невтон его не замечал, а думал о своём. И вдруг оно упало. На горе поколений школяров и к радости застрельщиков ракет.
- А если бы в XVII столетии на яблоню повесили "лимон" и объявили всему свету, что это приз за уравнения космической механики?
- Сегодня и на Марсе бы цвели невтоновки. И мы бы снова пели: "Ах, мама, мама! Математика и физика люблю".
- Я бы и сейчас влюбилась в физика Алфёрова, кто насчёт Нобелевской доли так сказал: "Стратить жена поможет". Благо в России с этой премии налогов не берут..
- Ты математика не принижай! Есть такой фильм, где актёр Збруев играет правильного миллионщика. А его сын, математический киндер-сюрприз, не от папы получил первый "лимон", а в фонде Нобеля. Яблоки падают под яблоню.
- И сценаристы врут. Ты бы вспомнила ещё мужа Каменской. Бедная пашет за Жегловых и Шараповых, а он как бы разгадывает нераскрытую гипотезу юриста и отца пяти детей.
- Про теорему от Ферма из высшей Арифметики всё знаю! Три с половиной века не давалась никакому гению. Пока не справился с ней англичанин Уайлз. Тоже помучился, конечно. С 10 лет доказывал назло учителям. А 30 лет спустя на семинаре в Ньютоновском институте математических наук, что в Кембридже, откуда Эндрю родом, вдруг намекнул, что доказал. Все сразу стали поздравлять, по ящику показывать. Газеты дали ему титул "самый известный принстонец" - тогда он лекции читал в Америке. А журнал People на исходе 93-го включил Уайлза в "Четверть сотни самых интригующих людей". В одну команду с Хиллари и Биллом Клинтонами, принцессой Дианой и Майклом Джексоном. Джинсовики из Gap-компании завлекали сняться для рекламы. Но он ответил твёрдым нет. А Шэрон Стоун, говорят, прислала на служебный адрес электронное письмо с просьбой назначить ей свидание.
- И чем он мотивировал отказ?
- Если и знает кто, то только хакеры. Тоже как бы математики, но грязные – из тех, что ищут, где списать и что сфальсифицировать... Однако Эндрю скоро стало не до славы. В 200-страничной рукописи обнаружился пробел.
- Уайлз сразу объяснил по ящику, как залатать дыру?
- Куда там! От всех отгородился и общался только с преданным учеником, женой и дочками. Год и два месяца менял он с Тейлором подходы и приёмы: то метод Ивасавы пробуют, то Колывагина, то снова Ивасавы. И вот однажды Уайлз спускается на кухню с этажа, где кабинет и детская, и говорит жене: знаешь, а я её нашёл. Жена не поняла, подумала: нашёл-таки игрушку "Маши-растеряши". А он сказал, что отыскал недостающую извилину той теоремы, которую всю жизнь пытался доказать, а 8 лет только о ней и думал. Даже тогда, когда рассказывал студентам лекции и сказки девочкам.
- Однако нобелевской премии Уайлз не получил. Не завещал её Альфред Иммануилович за математику. Здесь не место объяснять капризы учредителей посторонних премий. Скажу только два слова о недоказанной гипотезе. Однажды взрослый Нобель проиграл словесную дуэль Дантесу в пифагоровых штанах на глазах у Дамы сердца с потрясающим IQ. Потому что от волнения не решил в уме нехитрую задачу. С которой бы легко разделался, если бы поучился в университете или школе. А не гордился собственным образованием, полученным в домашних тапочках.
- Математикам в любви тоже не всегда везёт. Паулю Вольфскелю не улыбнулось счастье дважды. Первый раз в юности. Тогда ему и теорема от Ферма не поддалась, и девушка его мечты отвергла. Пауль решил, что в этой жизни ему не светит ничего хорошего. И выбрал, каким методом и в какой час с ней распрощается. Уладил все свои дела, всё разложил по полочкам. В последний день он сочинил прощальное письмо друзьям. Осталось скоротать часок до "срока икс". Убивая время, он забрёл в домашнюю библиотеку. Взял наугад брошюру, машинально стал читать. И вдруг сообразил, что в ней зарыт намёк на новый штурм Великой теоремы. Взглянул, кто сочинил: профессор Куммер, на чьих лекциях Пауль увлёкся Арифметикой. Куммер был математиком с прекрасной репутацией, но числился за ним грешок: однажды допустил он в сложном доказательстве ошибку. Пауль решил проверить, не ошибся ли учитель и на этот раз. Час пролетел, другой и третий, пока студент не убедился, что профессор прав. Намеченный час суицида миновал, но Пауль не жалел. Проснувшаяся жажда доказательства растормошила волю к жизни.
- Так теорема закаляла сталь, сказал бы Николай Островский.
- Эта история и впрямь стала известна всему свету от Островского. Но не писателя, а математика, швейцарского украинца, к тайнам науки приобщившегося в Гёттингене. Профессор Александр Островский уверял, что это больше чем легенда. А ему можно верить. Когда-то сам тайный советник Феликс Клейн доверил ассистенту Шурику править к изданию собрание своих трудов про всякие бутылки Клейна и выкрутасы в духе Лобачевского.
- Вольфскель со временем разбогател и оставил Гёттингенской академии наук 100.000 марок. Завещав вручить тому, кто первый разберётся с любимой теоремой. Это во времена, когда зарплата ассистента Гильберта, короля тогдашних математиков, составляла полсотни марок. И только много лет спустя министр культуры разрешит платить сто марок.
- Призовой фонд ты верно назвала. Вот только нажит он не Паулем - достался по наследству. По первой специальности он был врачом. Поэтому сам распознал начальные симптомы неизлечимого недуга, чреватого параличом. И успел сменить профессию, получив математический диплом. Ведь математики не бегают по вызовам, как частные врачи, а думать можно и в постели. Прогрессировавшая болезнь таки добилась своего. И Паулю пришлось признать ошибку в выборе жены. Его Мария, засидевшая в девах дочь начальника налоговой инспекции,в семейной жизни переплюнула Ксантипу, жену философа Сократа. Годы мучительной болезни Вольфскеля посильно скрашивала только Арифметика.
- И в завещании он обделил жену, оставив всё единственной отраде!
- Твоя гипотеза не подтвердилась. Мария на 17 лет пережила супруга, купаясь в роскоши на вилле Пауля. В компании со злой прислужницей и равным ей по нраву доберманом.
- 100.000 марок 1906 года - это всего-навсего 600.000 нынешних.
- Ты не учла, что марки были золотые. Приз можно было обменять на 35,8423 кг презренного металла. А он тогда на общем фоне ценился в пять раз выше, чем сейчас. Вот и выходит, что Уайлз мог получить от Гёттингенской академии 1.700.000 долларов. Если бы не жуткая инфляция в Веймарской республике и всякие потом деноминации. И когда после реформы 1948 года на банкнотах "зачеркнули лишний нолик", от премии осталось 7.500 новыхмарок.
- Гильберт и Клейн, конечно, гении, но управляющие фонда Нобеля лучше вложили денежки!
- Вольфскельскую премию перед инфляцией 1920-х зря не копили - на проценты приглашали знаменитых лекторов. Анри Пуанкаре и Нильса Бора, например. И устраивали конференции.
- Доказательство Уайлза опубликовали в 1995 году. Потом два года выжидали, не выловит ли кто какой пробел. Значит, Вольфскельскую премию он получил, когда с деноминации минуло 49 лет. Если бы в 1948 году догадались премию вложить под 5% годовых, то сегодня бы со счёта можно было снять 81.910 марок.
- Уайлзу вручили 75 тысяч марок. Но за него не беспокойся. На победителя Великой теоремы со всех сторон посыпались нежданные призы - откуда две, откуда пятьдесят, откуда сто, откуда двести тысяч долларов. Он получал награды академий, миллионеров и учёных, завещавших сбережения Царице всех наук, премьеров, президентов, королей. Никакому Who is Who мало не покажется.
- Узнаем ли когда-нибудь, что испытал Уайлз во Франции, оказавшись в доме, где родился старший современник правдашного д’Артаньяна? Я думаю, что Эндрю Уайлз сказал Пьеру Ферма: "Ты написал, что теорему доказал, но не хватает места на полях трактата Диофанта, чтобы подробно описать. Мои учителя тебе не верили, а я не сомневался. Хочешь, махнёмся доказательствами?"
- Когда летом 93-го заговорили о победе Уайлза, его ровесник Эндрю Бил, банкир и меценат из Далласа, решил заняться высшей арифметикой в свободные часы. Бил вскоре обобщил "простое" уравнение Ферма и выдвинул гипотезу, что и у общего, как у простого уравнения, решений в целых числах не имеется. Чтобы проверить интуицию, Бил нанял опытного вычислителя. За тысячи часов расчётов - 15 ЭВМ из банка Била трудились по ночам и выходным - не удалось найти ни одного решения. Бил обсудил свою догадку с видными учёными и понял, что готов за любопытство расплатиться. Один член жюри премии Била объявил о ней в журнале Американского математического общества.
R. Daniel Mauldin. (December 1997). The Beal Conjecture and Prize Problem. // Notices of the AMS. – Vol.
44, No. 11. – Pages 1436-1437.
- Эндрю Уайлз теперь ломает голову над гипотезой Эндрю Била?
- Знаю только то, что Уайлза пригласили в совет научных консультантов Математического фонда Клея в Кеймбридже (штат Массачусетс). Меценат Лэндон Клей из Бостона, далёкий от науки математики инвестор, распорядился так: "Пусть учёные сами решат, какие неприступные вершины полезно штурмовать во славу Математики". Совет выбрал семь математических орешков, которые давно не по зубам лучшим умам. Клей объявил в 2000 году в Париже, что за любой расколотый орех ему не жалко миллиона долларов.
- А я знаю, почему в Париже объявили о лимонах за орехи. Здесь на Втором конгрессе математиков (1900) Гильберт сформулировал 23 проблемы, подхлестнувшие учёных. Он, как генералиссимус Суворов, уверенный в войсках, как бы отдал приказ, воспламенивший каждого солдата: "вот проблема, где её решение? Его ты можешь отыскать силой чистого мышления - математики не признают "не могу знать"!... Но ведь сам Клей не математик и не любознательный банкир. Ему это зачем?
- Клей ценит любопытство, присущее всем людям, но математикам особенно. И ему нравится, что математик открывает истины, несущие людям уверенность, которой нынче так недостаёт. И то, как математик верит в красоту и мощь науки, служению которой посвящает жизнь…
– Поощрение чужого любопытства – это хорошо. Но я бы лишние лимоны давала за задачи, которые волнуют всех.
- Таким, как ты, Уайлз ответил на презентации орешков. Вообрази себя в Париже 1600 года. Ты знаешь: где-то за Атлантикой есть Новый Свет. Могла бы ты тогда назначить премию за США? Или за жатку-сноповязалку? Конечно, нет. Но ты могла пообещать достойный приз за географическую долготу, решение проблемы измерения которой приблизит то, что ты не в состоянии вообразить.
§ 2. ЩЕЛКУНЧИКАМ, КОТОРЫМ НЕЙМЕТСЯ БЕЗ ПРОБЛЕМ
A. СЕМЬ КРЕПКИХ ОРЕХОВ: МЕНЮ ФОНДА КЛЕЯ
(Орех Пуанкаре уже расколот Перельманом)
Орех Кука: P = NP?
Решить задачу или проверить правильность ответа - большая разница. Начнём с разминки.
Продюсер Иванов решил создать команду звёзд. Числом побольше, но без антагонистов. Заявки в срок представили семь соискателей: Некий, Некоторый, Кто-то, Каждый, Всякий, Иной и Любой. Одного поля ягода Каждый и Всякий могли бы с Кем-то, Иным и Неким образовать дружный квинтет, не враждуй Каждый с Некоторым и Иным, которые с Любым в штыки, зато в триумвирате с Неким, кто никогда с Любым из одного ручья не пьёт, однако то, что Кто-то с Некоторым друг с дружки одеяло тянут, не препятствует Любому жить с Кем-то душа в душу и со Всяким хаживать в разведку.
Подберите Иванову наибольшую возможную команду, то есть (облегчу вашу участь) найдите в графе сочетаемости наибольшую клику звёзд.
Сколько секунд у вас ушло на подбор команды? А теперь замерьте, сколько займёт проверка двух ответов: 1) Каждый, Всякий, Любой, Кто-то; 2) Каждый, Всякий, Некий, Кто-то.
Теперь представьте, что в команду Иванова устремились тысячи звёзд. Сумеют люди научить компьютеры шутя решать аналогичные по сложности задачи, включая, для примера, задачу коммивояжера или задачу помешанного на «Сапёре» из майкрсофтовской игротеки? Иначе говоря, действительно ли P = NP, если перевести на жаргон теории алгоритмов?
Эту орех приснился Стивену Куку. Ещё во времена, когда Высоцкий пел гипотезу о капитане Джеймсе Куке.
Орех Пуанкаре
В 1904-м Анри Пуанкаре, с чьей философией науки со временем не согласится Ленин, надел на сферу колечко из резины. И провёл такой эксперимент: нежно стянул кольцо по сфере в "математическую точку". Потом он опоясал бублик резиновым кольцом. На корке бублика эксперимент не получился – рвать сферу и резину запрещается.
- В отличие от корки бублика, - сказал Пуанкаре, - двумерной сфере в нашем трёхмерном мире присуще свойство простой связности. Мне кажется, что мой эксперимент удастся повторить и на трёхмерных сферах в четырёхмерном мире.
Вы не поверите, но до сих пор его догадку не опровергли и не доказали. Хотя известно, что эксперимент Пуанкаре на сферах можно осуществить и в 5-мерном мире, и в 1000000-мерном мире, как и во всех мирах, где измерений больше четырёх.
Орех Римана
Полтора столетия назад Пафнутий Чебышёв, зачинщик знаменитой школы петербургских математиков, изучал функцию
над свойствами которой бились Леонард Эйлер, Адриен Лежандр и Фридрих Гаусс. Получил сильный результат, но до конца её не раскусил.
Этой же функцией вскоре увлёкся немецкий гений Бернхард Риман, давший ей греческое имя "дзета". Ещё в гимназии Бернхардик за шесть дней осилил 900-страничный курс теории чисел Лежандра. Что пригодилось, когда он, уже профессором, сочинял мемуар "О количестве простых чисел, не превосходящих данной величины ". Из свойств, угаданных в том мемуаре, доныне не доказано одно: "все комплексные корни уравнения z(s) = 0 (за исключением "неинтересных" s = -2, s = -4, s = -6,...) имеют вид s = 1/2+ xi, где x -- число вещественное, а i, напротив, чисто мнимое -- квадратный корень из минус единицы".
Почти за полтора столетия найдено полтора миллиарда "интересных" комплексных корней - для них гипотеза верна. Но для того, чтобы постичь сложные тайны простых чисел, учёным важно знать ответ наверняка. Ответа ждут даже далёкие от Арифметики разделы математики и статистическая квантовая физика.
Орех Ходжа
В XX веке математикам понравилось - как детям, осам и кораллам - строить объекты сложной формы склейкой простых геометрических деталек. Они этим настолько увлеклись, что стали применять абстрактные "детали" из арсенала высшей алгебры. Это позволило им навести гармонию в заоблачных математических мирах. Но в небесах алгебраических абстракций легко теряется связь с геометрией.
В мирах, где трудно не сойти с ума от красоты, - в невырожденных комплексных проективных алгебраических многообразиях - вернуться из абстрактной алгебры на почву геометрии возможно, если верна гипотеза, которую в 1950-м придумал Ходж: всякий заоблачный "класс Ходжа" можно представить линейной комбинацией вполне земных "классов алгебраических циклов".
Орех Бёрча и Суиннертона-Дайера
У грамотных всегда было в почёте умение определять, сколько имеется решений у всяких уравнений в рациональных или целых числах. Кассирам важно знать, сколькими способами можно разменять 1000-рублёвую купюру. А землемерам интересно, при каких катетах круглой длины можно нарезать треугольники с гипотенузой в заданное число стадиев. Толк в таких задачах понимал уже Евклид.
В 1970-м 23-летний Юра Матиясевич решил 10-ю проблему Гильберта, чем многих огорчил: нельзя единым методом угадывать наверняка, имеет ли рациональные решения алгебраическое уравнение. Однако для красивого семейства эллиптических кривых, которые ничуть не эллипсы, можно предсказывать, сколько имеется на них рациональных точек, анализируя L-функции этих кривых, если верна гипотеза "арифметических шестидесятников" Бёрча и Суиннертона-Дайера.
Эндрю Уайлз, возможно, занялся этой гипотезой. Не только потому, что её последний автор первым из солидных математиков разглядел талант студента Уайлза. Эта гипотеза сулит решение древней задачи о прямоугольном треугольнике известной площади: могут ли длины всех его сторон быть числами рациональными?
Орех Навье--Стокса
В первой половине XIX века француз Навье и англичанин Стокс, танцуя от законов Ньютона, вывели элегантную систему уравнений гидроаэромеханики, которые исправно служат в важных для техники расчётах, но иногда выказывают дикий нрав. Их изучали видные учёные из многих стран, и отец русской авиации Жуковский, и чистый академик Ольга Ладыженская, но до конца капризы их никто не раскусил. Ни геометры из Саратова, ни экзистенциальные умы новосибирской школы математики. Попробуйте и вы - в новом тысячелетии наверняка получится!
Орех Янга--Миллса
То, что для многих физиков научная теория, для математиков порой чистой воды фантастика. Даже если излагается на языке математической теории симметрии. Теория китайца Янга и американца Миллса позволила унифицировать различные взаимодействия частиц, но существуют ли разумные решения их уравнений и объясняют ли они тот самый "зазор массы", из-за которого неуловимы кварки? Кварки, имя которым физики нашли в романе Джойса "Поминки по Финнегану", где чайки - те, что, может быть, вовсе не чайки - злобно кричат: "Три кварка мистеру Марку!...Три кварка, три кварка, три кварка, три кварка!".
В. ПРЕМИЯ, КОТОРАЯ РАСТЁТ
С декабря месяца 1997 года премия Эндрю Била возросла тремя скачками с 5.000 до 100.000 долларов. Пришла пора и вам попробовать на зуб гипотезу, которую Бил бил, но не разбил. (Намедни я проверил сказанное в прошлом веке: в 2013 году премия возросла до 1 млн. USD.)
На посошок
Орехи Фонда Клея описаны здесь
http://www.claymath.org/millennium-problems
Сайт гипотезы Била
http://www.bealconjecture.com
Комментарии