Теорема Ферма.

На модерации Отложенный

На правах рукописи.

Решение теоремы Ферма.

В Википедии - свободной энциклопедии -  в статье «Великая теорема Ферма» о данной теореме сказано следующее:

«Для любого натурального числа уравнение

 

не имеет натуральных решений ,  и .

 В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:

«Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.»

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для , что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая.

Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая , Дирихле и Лежандр в 1825 — для , Ламе — для .

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение при может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics». Доказательство основано на предположении немецкого математика Герхарда Фрая о том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры (это предположение было доказано Кеном Рибетом при участии Ж.‑П.Серра).

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить. В 1995 году был опубликован завершающий вариант».

 В данной работе я попытаюсь найти то первое решение самого Пьера Ферма. Искать решение я буду, не прибегая к высшей математике, так как в середине XVII века ни дифференциально-интегрального исчисления, ни аналитической геометрии практически не было. 

 Начну с теоремы Пифагора.

В Википедии - свободной энциклопедии - в статье «Теорема Пифагора» сказано:

«Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через , а длины катетов через  и :

 

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника».

В той же статье приведено одно из многочисленных доказательств этой теоремы: 

«Доказательство через равнодополняемость.

 

 

 

                                        Рис.1

  1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
  2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
  3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.

 

 

 

Что и требовалось доказать».

 При доказательстве теоремы Пифагора я буду пользоваться чуть изменённым доказательством через равнодополняемость.

                   b                        a

 

b

 

 

 

a

 

    

 

 

a  

 

                                                                                

 

                         c              

 

                   c  

   

                         

 

 

                                                                                        

 

 

 

 

 

 

                 a                        b

                        Рис. 2

 Площади четырёх прямоугольных треугольников дополняют площадь квадрата, стороной которого является гипотенуза прямоугольного треугольника «с», до площади квадрата, сторона которого равна сумме катетов прямоугольного треугольника «a + b».     

Площадь каждого из четырёх прямоугольных треугольников равна:

 Fab = ½*a*b.

Общая площадь четырёх прямоугольных треугольников:

∑Fab = 4*½*a*b = 2*a*b.

Площадь квадрата со стороной  «a+b»:

Fa+b = (a+b)2 = a2 +2a*b + b2.

Площадь квадрата со стороной  «с»:

Fc = c2.

Fc = Fa+b - ∑Fab

c2 = a2 +2a*b + b2 - 2*a*b = a2 + b2,

то есть  c2 = a2 + b2, теорема Пифагора доказана.

 Таким образом, квадрат раскладывается на два квадрата.

От показателя степени равному 2 перейдём к показателю степени равному 3.

То есть от площади к объёму. Квадраты станут кубами.

На рисунке 2 показана горизонтальная проекция наших фигур.

На рисунке 3 – вертикальная проекция.

                          a +b                       

 

(a+b) – c

 

 

c

 

 

VVVа

 

 

 

 

 

 

 

                 a                        b

                                    Рис. 3.

 

 Куб со сторонами , равными суммой «a» и « b», включает в себя во-первых, куб со стороной «с», во-вторых, параллелепипед, в-третьих, четыре треугольные призмы, в основании, которых лежат катеты «a» и « b», соответственно, и в этом случае применим метод равнодополняемости.

Имеем:  объём куба  со стороной (a + b):

 V(a+b)  = (a + b)3;

Объём треугольной призмы:

Vab  = Fab * c = ½*a*b* c

V(a+b)-с   = [(a +b) – c]* (a + b)2  =

Объёмпараллелепипеда (a +b)3 – c* (a + b)2

Тогда объём куба со стороной «с» будет равен:

Vc =  V(a+b) - V(a+b)-с   - 4* Vab = (a + b)3 - (a +b)3 + c* (a + b)2 – 4*½*a*b* c =

 Vc = c* (a + b)2 - 2*a*b* c = c*(a2 + b2).

Но,  Vc = с3,  следовательно,  Vc = c*(a2 + b2), или:

с3 = c*(a2 + b2), или

 с2 =  a2 + b2, то есть получилась теорема Пифагора.

Таким образом, как и писал Пьер Ферма: «… невозможно разложить куб на два куба…»

Объём куба «с3»  раскладывается на площади квадратов, построенных на катетах «a» и «b», умноженных на высоту, то есть на сторону куба «с», квадрат которой как раз равен сумме квадратов катетов.

a2 + b2 – сумма квадратов катетов, то есть теорема Пифагора, выступает в случае куба множителем, который назовём множителем Пифагора.

Проверим наше решение на числах.

Возьмём Пифагорову тройку чисел: 3, 4 и 5. Степень равную 3.

с3 = 53 = 125; a3 = 33 = 27;  b3 = 43 = 64;

с3 = 125 ≠ 27 + 64 = 91

a2 = 32 = 9;  b2 = 42 = 16;

с3 = 125 = 5* (9 + 16) = 5* 25 = 125, что и требовалось доказать.

Примем показатель степени чисел, равный 4.

 С4 = 54 = 625; a4 = 34 = 81;  b4 = 44 = 256;

С4 = 625 ≠ 81 + 256 = 337;

a2 = 32 = 9;  b2 = 42 = 16;

с4 = 625;

 5*  (9 + 16) = 5* 25 = 125, чтобы в итоге получилось 625, необходимо 125 умножить на 5, то есть на «с».

с4 = 625 = 5* 5*  (9 + 16) = 25* 25 = 625.

Перейдём на буквенные обозначения:

с4 = c2*(a2 + b2).

Эту формулу можно получить из уравнения теоремы Пифагора:  с2 =  a2 + b2,

соответственно, a = (c2 – b2) ½ , b = (c2 – a2) ½.

Площадь прямоугольника, построенного на сторонах «a» и « b» или удвоенная площадь прямоугольного треугольника равна:

a*b = (c2 – b2) ½ * (c2 – a2) ½ = (c4 – c2*a2  - c2*b2 + a2*b2)1/2,

соответственно, a2*b2 = c4 – c2*a2  - c2*b2 + a2*b2, или

c4  = c2*(a2  + b2), то есть словами Ферма «биквадрат» не раскладывается на два «биквадрата».

 с4 = c4-2*(a2 + b2) или в общем виде:

сn = cn-2*(a2 + b2).

Рассмотрим частные случаи: при степени 2, 1 и 0.

с2 = c2-2 * (a2 + b2) = c0 * (a2 + b2) = a2 + b2, перед нами опять же теорема Пифагора.

c1 = c1-2 * (a2 + b2) = c-1 * (a2 + b2) = (a2 + b2)/ (a2 + b2)1/2  =  (a2 + b2)1/2

c0 = c0-2 * (a2 + b2) = c-2 * (a2 + b2) =  (a2 + b2) / (a2 + b2) = 1.

 

сn = cn-2 * (a2 + b2).

Теперь, когда решены частные случаи при показателях степени 0, 1, 2, 3, 4, теорему Ферма можно решить ещё проще, из уравнения с2 =  a2 + b2.

Если  с2 =  a2 + b2, то, с1 =  (a2 + b2)1/2, соответственно,

сn = (a2 + b2)n/2.

Таким образом, при любых значениях n  > 2

сn≠ an + bn,

так как  сn = (a2 + b2)n/2.

Поэтому вслед за Пьером Ферма можно повторить: «…невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем». Решение получилось гораздо больше книжных полей «Арифметики» Диофанта, о чем и говорил Пьер Ферма.

 

А.В. Колодин 10 августа 2013 года.

Ссылка на источники:

Теорема Пифагора: олучилосьhttp://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%CF%E8%F4%E0%E3%EE%F0%E0

Великая теорема Ферма: http://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EB%E8%EA%E0%FF_%F2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%D4%E5%F0%EC%E0