Нерелятивистский вывод выражения силы Лоренца

 До настоящего времени в классической электродинамике существуют два слабо связанных друг с другом раздела. С одной стороны, существует формула Лоренца, определяющая силовое взаимодействие электродинамических систем и возникающая, как принято считать, как чисто релятивистский эффект. С другой стороны,  имеются уравнения Максвелла, из которых следуют волновые уравнения для электромагнитных полей, но не следует сила Лоренца. В результате столь странного "размежевания" двух направлений одной и той же области знаний до настоящего времени вся классическая электродинамика находится в состоянии, когда для объяснения электродинамических явлений приходится применять принципиально различные подходы. Наглядным примером такой "двойственности" является известное исключение из "правила потока", сформулированного Фарадеем (1831). Согласно этому правилу, ЭДС ℰ в контуре с током равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока Ф_м, пронизывающего контур:

               ℰ = - dФ_м/dt ,                                                (1)

В этой формулировке неразличимы две возможности: движется контур или меняется поле. Для анализа этих случаев в электродинамике приходится пользоваться двумя совершенно разными законами: магнитной составляющей силы Лоренца е(v×B) в случае движущегося контура или законом rotE = - (∂B/∂t) в случае меняющегося поля. Как отмечает Р. Фейнман, "мы не знаем ни одного другого такого примера, когда бы простой и точный закон требовал для своего настоящего понимания анализа в терминах двух разных явлений" [1].

Задачей настоящей статьи является устранение этой двойственности и получение выражения силы Лоренца непосредственно уравнений Максвелла без предъявления к нему требований инвариантности и использования каких-либо соображений теории относительности.

1. Коррекция уравнений Максвелла. Как известно, уравнения Максвелла до сих пор считаются не выводимыми из каких-либо первичных принципов электродинамики и представляются как законченное математическое выражение опытов Фарадея. При этом считается, что выражение силы Лоренца следует из них лишь при применении преобразований Лоренца.

Иной взгляд открывается, когда уравнения Максвелла все же удается вывести, например, из  энергодинамики, представляющей собой обобщение термодинамики на нетепловые процессы и нетепловые формы энергии [2]. Исходя из закона сохранения энергии для систем, в которых совершается работа поляризации đW_еv = EdD и намагничивания đW_мv = HdB,  она не только позволяет вывести уравнения Максвелла, но и показать неполноту их существующей формулировки, обусловленную подменой полной производной по времени t от напряженностей электрического E  и магнитного H полей их частной производной. Чтобы показать это, приведем краткий энергодинамический вывод этих уравнений [3].

Рассмотрим достаточно общий случай неподвижной системы, находящейся во внешнем электрическом E  и магнитном H полях и обладающей в соответствии с эти электрической и магнитной степенью свободы. Энергия Е_v единицы объема такой системы является, естественно, функцией векторов электрической D и магнитной B индукции, которые в свою очередь зависят от напряженности этих полей E и H. В соответствии с этим в обобщенном уравнении 1-го и 2-го начал классической термодинамики сложных систем появляются дополнительные члены, соответствующие процессам поляризации и намагничивания [4]:

dЕ_v = E×dD + H×dB .                                                   (2)

Предположим, что в такой системе осуществляются процессы взаимного прев­ра­­щения энергии электрического и магнитного поля, мощность которых равна:

N_е = E×dD/dt;  N_м = H×dB/dt.                                        (3)

Если при этом энергия системы из одной упорядоченной формы (электрической) целиком переходит в другую ее упорядоченную форму (магнитную), как это и предполагал Максвелл, и отсутствуют потери, приводящие к возрастанию энтропии, имеет место очевидный баланс мощностей N_е = - N_м. Это непосредственно приводит к соотношению вида:

E×(dD/dt) = - H×(dB/dt).                                             (4)

Этим простым соотношениям можно придать вид, предложенный Максвеллом и затем "усовершенствованный" Герцем и Хэвисайдом. Для конкретности рас­смот­рим систему, состоящую из замкнутого электрического контура про­из­­­­воль­­ной длины ℓ_e и переменного (в общем случае) сечения f_e, который охваты­вает замкнутый же магнитопровод длиной ℓ_m  и переменным по длине сечением f_m . Учитывая непостоянство f_e и  f_m, в (3) следует перейти к интегральной форме:

N_е = ∫ E×(dD/dt)dV_e;  N_м = ∫ H×(dB/dt)dV_м ,                                  (5)

где dV_e, dV_м - элементы объема диэлектрика и магнетика. Эти элементы можно представить в виде произведения dV_e = dℓ_e∙df_e  и  dV_м = dℓ_м∙df_м, где dℓ_e, dℓ_м и df_e, df_м - ортогональные векторные элементы соответственно длины и сечения электрического контура и диэлектрика. Вынося за знак интеграла некоторую усредненную по системе величину напряженности электрического и магнитного поля E и H и учитывая, что в теории электромагнетизма производные по времени от векторов электрической и магнитной индукции D и B определяют так называемые потоки смещения j_e^c = ∂D/∂t и j_м^c = ∂B/∂t [5], находим, что интегралы ∫j_e^c dV и ∫j_м^c dV определяют полные потоки электрического и магнитного смещения J_e^c и J_м^c в указанной системе. С позиций электродинамики эти потоки представляются как производные по времени от параметров состояния Ф_e = ∫DЈdf_e и Ф_м = ∫BЈdf_м и традиционно представляются числом силовых линий электрического и магнитного поля, пронизывающих поверхность f_e и f_м [5].

Учитывая произвольность направления векторов J_e^c и J_м^c, величины N_е и N_м удобно представить в виде произведения скалярных потоков электрического и магнитного смещения (потоков сцепления) J_e^с = ∫(dD/dt)df_e, J_м^с = ∫(dB/dt)df_м  и сопряженных с ними термодинамических сил, каковые в данном случае имеют смысл электродвижущей силы X_e = ∫E×dℓ_e  и её аналога - магнитодвижущей силы X_м= ∫ H×dℓ_м  [5] , т.е. N_е = J_e^сX_e; N_м = J_м^сX_м. При этом

X_e =  - ∫(dB/dt)df_м ,                                                      (6)

X_м =  ∫(dD/dt)df_e ,                                                        (7)

Первое из этих соотношений представляет собой закон Фарадея (1). Перейдем теперь на основании теоремы Стокса в выражениях силы X_e= ∫ E×dℓ_e от криволинейного интеграла по замкнутому электрическому контуру длиной ℓ_e к интегралу ∫rotЕ×df_м по сечению магнито­провода f_м.

Подобным же образом перейдем в выражении силы X_м= ∫ H×dℓ_м  от криволинейного интеграла по замкну­тому магнитному контуру длиной ℓ_м к интегралу ∫rotH×df_e по поверхности f_е, натянутой на электрический контур. Тогда вместо (6) и (7) можем написать:

∫rotЕ×df_м  = - ∫(dB/dt)df_м .                                           (8)

∫rotH×df_e = ∫(dD/dt)df_e ;                                               (9)

или в дифференциальной форме1 ) [6]:

rot E = - dB/dt,                                                           (10)

rot H = dD/dt .                                                            (11)

Эти уравнения отличаются от современной записи уравнений Максвелла тем, что в них фигурируют полные производные по времени от векторов электрической и магнитной индукции2 ). Последнее не удивительно, поскольку в исходные уравнения термодинамики (2) также входят полные дифференциалы векторов поляризации и намагничивания. 

2. Вывод выражения силы Лоренца. Замена в уравнении Максвелла (10) частной производной от магнитного поля (∂B/∂t) на полную dB/dt достаточно для вывода из него выражения магнитной составляющей силы Лоренца. В таком случае, используя определение векторного потенциала А_е = rotB, по правилам векторного анализа имеем:

rot E = [v_е,rotB] - ∂B/∂t = rot [v_е×B] - rot (∂А_е/∂t),                                       (12)

или

E = [v_е×B] - (∂А_е/∂t).                                          (13)

         Первое слагаемое в правой части этого выражения характеризует дополнительную вихревую составляющую напряженности электрического поля E = [v_е×B], обусловленную действием "сторонних" (индуцированных) сил. Эти силы в отличие  от кулоновской силы E_к = -gradφ действуют на заряд e, движущийся со скоростью v_е. Другая составляющая вихревого электрического поля (∂А_е/∂t), не имеющая специального названия, учитывает стороннюю силу, вызывающую ускорение заряда е. В этом легко убедиться, воспользовавшись выражением векторного потенциалаА_е = (v_е/с²)φ, где φ  - потенциал электрического поля (Фейнман, 1964). Поскольку частная производная (∂А_е/∂t) находится в условиях его постоянства, (∂А_е/∂t) = (∂v_е/∂t)φ/с² , т.е. обусловлена ускорением электронов. Отсутствие в выражении (13) кулоновской силы обусловлено самой постановкой задачи, в которой рассматривался лишь процесс преобразования "сторонней" (магнитной) энергии в электрическую. В частности, для замкнутого контура, находящегося в магнитном поле, Дж. Максвелл записал ЭДС в виде:

ℰ = (-gradφ - ∂А_е/∂t + v×B)dℓ_е .                                                   (14)

Тем самым он включает в число составляющих ЭДС еще и градиент потенциала, хотя последний в отличие от "сторонних" имеет чисто электрическую природу и при интегрировании по замкнутому контуру исчезает [6]. Это обстоятельство свидетельствует о явном несовершенстве принятой в электродинамике классификации сил. Оно проявляется и в том, что силу   - ∂А_е/∂tотносят обычно к напряженности электрического поля E,  хотя, как показано выше, она также имеет некулоновскую природу и, следовательно, должна быть отнесена к "сторонним" силам. Этим и объясняется, видимо, то обстоятельство, что эта сила не имеет специфического названия, а её смысл  обычно никак не интерпретируется.

Непоследовательность существующей электродинамики проявляется и в обычном утверждении о том, что магнитная составляющая силы Лоренца не может совершать никакой работы, поскольку она всегда действует по нормали к траектории движения электрона3 ). Между тем этот вывод справедлив лишь для элемента тока, а не к замкнутому контуру в целом, для которого записаны уравнения Максвелла. Как следует из приведенного выше вывода этих уравнений, они отражают закон сохранения энергии при преобразовании энергии магнитного поля в электрическое. Применительно к контуру с постоянным током единственным видом совершаемой при этом полезной работы является вращение рамки в магнитном поле. Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить член H×dB в законе сохранения энергии (2) более адекватным существу дела произведением крутящего (ориентационного) момента М_е, создаваемого  магнитным полем, на элементарный угол поворота dφ_е рамки с током, как это сделано в основном тождестве энергодинамики [2]. Тогда станет очевидным, что именно магнитная составляющая силы Лоренца является единственной причиной изменения направления вектора скорости v элемента тока I_е×dℓ,  которая приводит к её вращению, т.е. той самой "сторонней" силой, которая совершает работу в преобразователях энергии стационарного магнитного поля. Поэтому с позиций энергодинамики было бы уместнее говорить не о силе, а о моменте сил Лоренца, который и совершает работу.

Таким образом, полная сила F_e, действующая на заряд e, имеет вид:

F_e = - e{gradφ - [v×B] + (∂А_е/∂t)},                                                    (15)

т.е. включает так называемую "магнитную составляющую" силы Лоренца F_л = e[v×B], что и требовалось доказать.

Выражение (15) обнаруживает возможность дальнейшего обобщения закона Ома, который с учетом некулоновских сил принимает вид:  

j_е = - s_е{gradφ - [v×B] + (∂А_е/∂t)}  ,                                                 (16)

где s_е - коэффициент электропроводности. В данном случае все слагаемые ЭДС получены без использования соображений СТО.

Это выражение считается в настоящее время наиболее общим. Между тем в соответствии с ТНП и энергодинамикой на ЭДС несомненно влияют и другие физические, физико-химические, термодинамические и другие процессы. Как показано в [2], в системах с неоднородным полем температур закон Ома следует дополнить "термоэлектрической силой" Х_ет, выражающейся через градиент температуры. В еще более общем случае электрохимических систем движение заряженных частиц вызывается также электрохимическими силами Х_еk , определяемыми через градиенты концентрации k-х компонентов системы. Дополнительные эффекты возникают и при рассмотрении сред, в которых имеются градиенты или перепады давлений, например, в растворах электролитов. В таком случае в уравнении (16) появляется еще одна составляющая ЭДС. Такое представление ЭДС  позволит получить целый ряд так называемых эффектов наложения, выражающих взаимосвязь электрических явлений с неэлектрическими.

В свою очередь, выражение (15) объясняет, почему ЭДС возникает там, где "поток" ∂B/∂t  не меняется, и не возникает там, где этот поток изменяется.  Благодаря этому исключается отмеченная им необходимость использования различных законов силы для случая движущегося контура и меняющегося поля. С этих позиций становится понятным возникновение магнитного поля при движении поляризован­ного диэлектрика (эффекты Роуланда - Эйхенвальда и Рентгена - Эйхенвальда), а также поляризация диэлектрической пластины при ее движении в магнитном поле (эффект Вильсона - Барнета) [2]. Более того, обнаруживается возможность доказательства существования продольных электромагнитных волн (ПЭМВ), обладающих высокой проникающей способностью через толщу воды, горных пород, металл и железобетон [7]. По-видимому, именно этот вид продольной волны возникает в устройстве Авраменко, обусловливая возможность передачи энергии по однопроводной линии [8].

Не менее важно, что благодаря предпринятому уточнению уравнений Максвелла классическая электродинамика приобретает вид стройной единой науки.

Эткин В.