Размерность пространства

Размерность пространства в физике – это количество независимых параметров, необходимых для описания пространства. Так, в обыденной жизни нам достаточно трех параметров, скажем, длины (X), ширины (Y) и высоты (Z) строящегося дома. К этим трём параметрам можно добавить четвёртый параметр – время (t), и именно такое 4-х мерное пространство доступно человеку (нашим органам чувств и нашему воображению). Например, нам нетрудно представить, что с течением времени t параметры X, Y, Zбудут меняться в процессе строительства дома. Однако математики (с конца XIX века), а затем и физики (в начале XX века) перешли к весьма плодотворной творческой работе с пространствами старших размерностей (свыше 4-х), которые человек, вообще говоря, уже не способен наглядно представить и может описывать только на языке хитроумной высшей математики (её разделов, например, топологии). Частный случай пространства большой размерности – это N-мерное евклидово пространство (в котором всё ещё относительно просто). Но математиками придуманы и куда более затейливые пространства, например, так называемые многообразия – это пространства, локально сходные с евклидовым пространством.

И здесь важно подчеркнуть, что в пространствах старших размерностях (свыше 4-х) работают важные математические «трюки» (приёмы), которые значительно упрощают теорию, а вот топология многообразий размерности 4 и 3 значительно сложнее. В частности, обобщённая гипотеза Пуанкаре (сформулированная им в 1904 году) была доказана сначала в старших размерностях, потом в размерности 4 (в 1982 году Фридманом) и только потом в размерности 3 (в 2002 году российским математиком Григорием Перельманом). То есть мир пространств малых размерностей (в топологии), как и мир малых чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … (в теории чисел), как и реальный мир в планковских масштабах (в теоретической физике) – «прячет» в себе самые сокровенные тайны мироздания, во многом ещё не постигнутые точными науками[здесь и ниже текст, выделенный лиловым и синим цветом, – важен для понимания того, что мне хотелось бы сказать в данной статье]. Далее, вплоть до заголовка «Законы мира чисел», приводятся самые общие сведения из теоретической физики (в редакции Википедии), в которые читателю вникать не обязательно, однако даже беглый просмотр этого текста – поможет прочувствовать сложность проблем в части размерности пространств. Причем для нас, пожалуй, наиболее важным будет факт существования в теории струн огромного числа (10^100 – 10^500) ложных вакуумов, где каждому ложному вакууму соответствует своя низкоэнергетическая – наблюдаемая – физика (пояснения идут ниже).И стоит подчеркнуть, что часто цитируют порядок 10^500 (число 10 в степени 500, то есть это 1000…000, где за единицей стоит 500 нулей, это для нас – почти бесконечно много).

Законы теоретической физики

Теодор Калуца впервые предложил ввести в математическую физику 5-ое измерение, послужившее основой для Теории Калуцы-Клейна. Эта теория – одна из теорий гравитации, модель, позволяющая объединить два фундаментальных физических взаимодействия: гравитацию и электромагнетизм – была впервые опубликована в 1921 году математиком Теодором Калуцей, который расширил пространство Минковского до 5-мерного пространства и получил из уравнений общей теории относительности классические уравнения Максвелла.

В теории струн используются трёхмерные (имеющие вещественную размерность 6) многообразия Калаби-Яу, выступающие как слой компактификации пространства-времени, так что каждой точке четырёхмерного пространства-времени соответствует пространство Калаби-Яу. Одна из основных проблем при попытке описать процедуру редукции струнных теорий из размерности 26 или 10 в низкоэнергетическую физику размерности 4 заключается в большом количестве вариантов компактификаций дополнительных измерений на многообразия Калаби- Яу и на орбифолды, которые, вероятно, являются частными предельными случаями пространств Калаби-Яу.

Известно несколько десятков тысяч трёхмерных пространств Калаби-Яу, которые удовлетворяют требованиям к дополнительным измерениям, вытекающим из теории струн. Одной из основных проблем теории струн (учитывая современное состояние разработки) является такая выборка из указанного удовлетворительного подмножества трехмерных пространств Калаби-Яу, которая давала бы наиболее адекватное обоснование количества и состава семейств всех известных частиц (3 семейства, в каждом – по 4 фундаментальных частицы). Если теоретические разработки в этой области приведут к выделению единственного пространства Калаби-Яу, удовлетворяющего всем требованиям для дополнительных измерений, это станет очень весомым аргументом в пользу истинности теории струн.

Большое число возможных решений с конца 1970-х и начала 1980-х годов создало проблему, известную под названием «проблема ландшафта». Ландшафт теории струн (проблема ландшафта) – это существование в теории струн огромного числа (10^100 – 10^500) ложных вакуумов (причем, часто цитируют порядок 10^500). Ложный вакуум – состояние в квантовой теории поля, которое не является состоянием с глобально минимальной энергией (Emin), а соответствует её локальному минимуму (превосходящему Emin). Такое состояние стабильно в течение определённого времени (метастабильно), но может «туннелировать» (по законам квантовой механики) в состояние истинного вакуума. По мнению критиков теории струн (например, Ли Смолина и Дэвида Гросса) проблема ландшафта выводит теорию струн из рамок научности, так как она становится нефальсифицируемой: каждому ложному вакууму соответствует своя низкоэнергетическая – наблюдаемая – физика, а выбор среди них варианта, совпадающего с известной Стандартной моделью и с наблюдаемым значением космологической постоянной, оказывается, вероятно, NP-полной задачей, то есть не может быть проведён более эффективно, чем полным перебором всех имеющихся возможностей, что сейчас представляется технически невозможным. Напомню, что Стандартная модель зависит от 19 числовых параметров, значения которых известны из эксперимента, а вот происхождение значений – неизвестно.

На сегодняшний день множество физиков-теоретиков по всему миру исследуют вопрос многомерности пространства. В середине 1990-х Эдвард Виттен и другие физики-теоретики обнаружили веские доказательства того, что различные суперструнные теории представляют собой различные предельные случаи неразработанной пока 11-мерной М-теории. И если мы, в самом деле, воспринимаем всего лишь 3 из 11 существующих измерений, то в таком случае мы просто обречены на поедание крошек со стола космологии. Однако, всегда есть возможность описать то, что мы не можем воспринять непосредственно, с помощью математики. Например, четвёртое (пространственное) измерение можно попытаться представить исходя из логики, что три воспринимаемых нами измерения являются относительно четвертого тем же, что и два измерения плоскости относительно объемного восприятия.

Естественным развитием идеи многомерного пространства является концепция бесконечномерного пространства (Гильбертово пространство). Как известно, уравнения Эйнштейна для гравитации, получаемые варьированием из действия Эйнштейна-Гильберта, не содержат никаких внутренних ограничений на размерность пространства и его сигнатуру, и содержат лишь очень слабые ограничения на топологию. Они лишь связывают локально для некого пространства метрический тензор, который описывает геометрические свойства этого пространства, с тензором энергии-импульса, который описывает содержащиеся в этом пространстве материальные (негравитационные) поля.

Размерность, топология и сигнатура пространства должны быть заданы дополнительно, что позволяет легко обобщить общую теорию относительности (ОТО) на пространства с большим или меньшим числом измерений как собственно пространства, так и времени. Количество пространственных и временных измерений определяется сигнатурой метрического тензора, а точнее, количествами его собственных значений разных знаков, положительных и отрицательных. Например, в евклидовой квантовой гравитации фигурируют лишь 4 пространственных измерения вообще без временного.

В содержательной теории подобного типа, по-видимому, в пространстве должно быть не менее 4 измерений. Дело в том, что одномерное пространство вообще не может быть внутренне искривлено, кривизна двумерного пространства полностью определяется его скалярной кривизной, а трёхмерного – тензором Риччи, почему согласно с уравнениями Эйнштейна вне компактного распределения полей в таких пространствах никаких эффектов наблюдаться вообще не будет (кроме глобальных топологических, см. космическая струна). Только начиная с четырёхмерного пространства появляется дальнодействие гравитационного поля – оно может распространяться за пределы породившего его объекта и даже образовывать волны в пустом пространстве, что связано с тем, что описание кривизны, начиная с этой размерности, требует также знания тензора Вейля.

Высшая размерность пространства для уравнений Эйнштейна не ограничена. Поэтому можно рассматривать уравнения Эйнштейна в любом пространстве с размерностью более трёх. Основной проблемой при этом является физическая интерпретация высших размерностей.

Мы живём в трёхмерном пространстве и одномерном времени. Наши приборы не фиксируют наличия высших измерений, которые вводятся в этой теории. Это пытаются объяснить разными способами, исторически первый из них возник в теории Калуцы-Клейна: высшие размерности в каждой точке имеют замкнутую топологию (в виде сфер, торов или многообразий Калаби-Яу) с диаметрами порядка планковской длины, поэтому они никак не проявляют себя в обычных условиях. Чтобы «развернуть» эти размерности, нужна огромная энергия, так как возбуждения полей по ним имеют субпланковскую длину волны и соответствующую энергию. Эта возможность называется компактными дополнительными измерениями.

С другой стороны, можно считать, что все измерения равноправны, но наблюдаемые нами физические поля и взаимодействия каким-то образом привязаны к четырёхмерной гиперповерхности – бране – в пространстве большей размерности. Такой подход популярен среди приверженцев теории струн и позволяет, как утверждается, решить проблему тёмной материи.

Наиболее простой моделью пространства, которая позволяет объединить все 4 вида фундаментальных взаимодействий является 10-мерная (11-мерная в теориях с суперсимметрией) со следующими измерениями:

0-е измерение x^0 = c t — время;

1-е измерение x^1 = x — «длина»;

2-е измерение x^2 = y — «ширина»;

3-е измерение x^3 = z — «высота»;

4-е измерение x^4 — электрический заряд;

5-е измерение x^5 — гиперзаряд;

6-е измерение x^6 — проекция изоспина;

7-е измерение x^7 — цвет 1;

8-е измерение x^8 — цвет 2;

9-е измерение x^9 — цвет 3.

Из-за своей компактности, дополнительные измерения вводятся в уравнения как колебательные степени свободы.

В настоящее время (2010 год) предположение о существовании дополнительных измерений продолжает развиваться благодаря огромному количеству теоретических рассуждений, но не имеет никаких экспериментальных подтверждений, в отличие от четырёхмерной общей теории относительности. В частности, в одном из вариантов пятимерной теории относительности электрический заряд не является инвариантом в гравитационном поле и его величина может меняться в зависимости от гравитации. Для экспериментальной проверки этого предложено, например, изучать эффект Холла, когда Земля находится в перигелии и в афелии. Однако, чувствительность современной аппаратуры недостаточна для обнаружения предсказываемых эффектов. Ввиду невозможности проверки многомерных обобщений ОТО в лабораторных условиях, ведётся наблюдение за космическими объектами, чья мощная гравитация могла бы выявить новые явления, но пока тоже безрезультатно.

Законы мира чисел

В мире чисел простые числа (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …, которые делятся нацело только на единицу и на самих себя) – это «кирпичики», из которых строятся ВСЕ прочие (составные) натуральные числа (4, 6, 8, 9, 10, …, и этот ряд также бесконечен). Числа «строятся» в том смысле, что любое составное число N можно записать в единственно возможном каноническом виде (это произведение неких простых чисел). Например, составное число N = 1234567890 имеет такой канонический вид: N = 2*3*3*5*3607*3803 и никакой другой набор простых чисел (их произведение) не даст нам числа N = 1234567890 (в этом заключается основная теорема арифметики). В современной теоретической физике в роли подобных «кирпичиков» Мироздания выступают, скажем, 19 независимых параметров (в Стандартной модели) или только разные вибрации квантовых струны (в теории струн), и т.д. (существуют и другие модели с другими «кирпичиками»). Простые числа (Р) – это главные объекты, изучаемые в рамках теории чисел – раздела высшей математики, с которым студенты-математики лишь только знакомятся в университетах, поскольку теория чисел – это очень обширная и сложная тема, содержащая множество «подводных камней», парадоксов, тайн (это самый настоящий виртуальный МИР чисел, см. мою «Виртуальную космологию» по ссылке: http://technic.itizdat.ru/users/iav2357 ).

Одним из самых удивительных открытий теории чисел – это представление любого простого числа (Р), например, в виде такого полинома (многочлена):

(k + 2)*(1– [wz + h + j – q]^2 – [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h – z]^2 –

– [2n + p + q + z – e]^2 – [16(k+ 1)^3*(k+ 2)(n+ 1)^2 + 1 – f^2]^2 – …(ещё три подобных строки, причем не ручаюсь за правильность формулы, см. статью «Простое число» в Википедии)

В этом полиноме (25-й степени, мы запишем это так С = 25) насчитывается 26 параметров (переменных, мы запишем это так П = 26), обозначенных буквами латинского алфавита (a, b, c, d, …., w, x, y, z).

При неотрицательных значениях целых переменных (П: a, b, c, d, …., w, x, y, z) бесконечное множество положительных значений этого полинома совпадает с бесконечным множеством простых чисел (Р). То есть этот полином «генерирует» («порождает», «строит») абсолютно ВСЕ простые числа Р (и ещё множество целых отрицательных чисел или нулей). Правда, увы, данному полиному «не известны» порядковые номера (n), сгенерированных им простых чисел Р (впрочем, для достаточно больших простых чисел Р эти порядковые номера мы можем сами оценить, скажем, по такой асимптотической формуле: n ~ P*lnP).

Далее в данной статье под термином «полином» мы будем понимать только подобные полиномы, имеющие другую степень (С) и другое количество параметров (П). Ведь из теории чисел следует, что существуют другие подобные полиномы, и каждый из таких полиномов также генерирует ВСЕ простые числа. И все полиномы равноправны между собой, поскольку, с точки зрения порожденных ими простых чисел, среди полиномов них нет «лучших» или «худших» (таковыми их способен назвать только человек, видящий «огромный» объем вычислений, но такие трудности весьма условны и относительны). Про указанные полиномы (очень коротко) говорится в Википедии в статье «Простое число». Там же добавлено следующее: «Наименьшая степень для известных многочленов такого типа – 5 при 42 переменных; наименьшее число переменных – 10 при степени около 1,6*10^45. Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества.» И ещё из Википедии: Юрий Владимирович Матиясе́вич (родился в 1947 году в Ленинграде) – доктор физико-математических наук, академик РАН, он внёс существенный вклад в теорию вычислимости. Будучи аспирантом ЛГУ, в начале 1970 года в возрасте 22 лет [математика – игра молодых!] Матиясевич сделал последний шаг в доказательстве алгоритмической неразрешимости задачи о существовании решений у произвольного диофантова уравнения, то есть он завершил решение десятой проблемы Гильберта.

Гипотезы виртуальной космологии

Итак, в части полиномов мы, надо полагать, имеем следующие исходные данные:

– если в полиноме содержится П = 10 переменных, то степень полинома будет C = 1,6*10^45;

– если в полиноме содержится П = 26 переменных, то степень полинома будет C = 25;

– если в полиноме содержится П = 42 переменных, то степень полинома будет C = 5.

По указанным трём точкам с помощью программы “Excel” построим линию тренда:

lnlnC = 176,63/П^1,5672.                                                                   (1)

Формула (1) позволяет нам вычислить приблизительную (гипотетическую) степень (C*) у полинома с любым количеством параметров (П):

C* = exp[exp(lnlnC)] = exp[exp(176,63/П^1,5672)].                                 (2)

Результаты вычислений по формуле (2) представлены в табл.1. В этой таблице мы видим в частности следующее. Если у полинома количество параметров П = 4, то степень такого полинома будет порядка C* = 10^236.340.217 (и для нас это практически уже бесконечно большая степень С). Если у полинома количество параметров П = 19, то степень такого полинома будет близка к значению C* = 315. Степени С = 4 будет соответствовать примерно П = 55 параметров, а степени С = 3 будет соответствовать примерно П = 122 параметра. Впрочем, надо ясно понимать, что табл. 1 более-менее верна в диапазоне от П = 10 до П = 42 а всё остальное, увы, – вилами по воде писано (кроме ниже следующего утверждения: Пmaxменьше и-триллиона).

Из формулы (2) следует, что если у полинома количество параметров П = 10^11, то у степени C* уже первые 15-ть цифр совпадают с цифрами числа е = 2,71828182845905… . Поэтому можно смело утверждать, что максимально возможное количество параметров (Пmax) не превзойдет «и-триллион», который является важным («ограничительным») параметром Большого отрезка в виртуальной космологии и важным параметром реальной Вселенной в современную эпоху (см. мои статьи про и-триллион). Например, максимальное количество звезд в крупной галактике близко к и-триллиону, и количество всех видимых нами галактик также близко к и-триллиону (это только два примера из большого списка примеров).

Учитывая всё выше сказанное, в рамках виртуальной космологии напрашивается следующая гипотеза: законы теории чисел в части полиномов изоморфны законам физики в части размерностей пространства (изучая полиномы мира чисел – можно понять нечто существенное о размерности пространства). Иначе говоря, указанные полиномы из теории чисел являются некой «подсказкой» (наипростейшей математической моделью) для физиков-теоретиков в части размерности пространства. Как бы это могло быть – проиллюстрирую на примере такого утверждения (в котором могу ошибаться с точностью до… наоборот): количество (П) параметров полинома – «отражает» количество параметров физического пространства; степень (С) полинома (или её «тень» С*) – «отражает» размерность физического пространства, а вот число 10^C – «отражает» примерное количество всевозможных физик (хотя современной науке известна одна единственная физика). Из данного утверждения (гипотезы) и табл. 1 вытекают, например, следующие «новые истины»:

1. Степень полинома (и размерность пространства) не может быть меньше С = 3. Напомню: можно рассматривать уравнения Эйнштейна в любом пространстве с размерностью более трёх, и только начиная с четырёхмерного пространства появляется дальнодействие гравитационного поля. При этом количество (П) параметров явно не превзойдет «и-триллона». Однако, возможно, что мы получим «всего лишь» порядка П = 122, и это – максимально возможное (?) количество химических элементов в таблице Менделеева, или это – в несколько раз меньше количества всех открытых элементарных частиц, и т.п. (как данное число П «отражается» в физике?).  

2. Допустимая (миром чисел) степень полинома, скорее всего, начинается с С = 4 (см. ниже гипотезу Римана), и в «нашей» (низкоэнергетической) физике размерность пространства равна 4. Значит, количество всевозможных физик будет порядка 10^4, при этом напомню, что известно несколько десятков тысяч трёхмерных пространств Калаби-Яу, которые удовлетворяют требованиям к дополнительным измерениям, вытекающим из теории струн. При этом количество параметров в полиноме будет порядка П = 55 (и количество неких параметров в физике?).

3. Если у полинома количество параметров П = 19 (как и количество параметров в Стандартной модели в теоретической физике), то степень такого полинома будет близка к значению C = 315. И это значение С находится почти посередине между C = 100 и C = 500, при этом напомню, что согласно оценкам теории струн существуют 10^100 – 10^500 ложных вакуумов, и каждому ложному вакууму соответствует своя низкоэнергетическая – наблюдаемая – физика. Значит, можно предположить, что в теории струн речь должна идти о количестве ложных вакуумов порядка 10^315 (это нам «подсказывает» мир чисел).

4. Количество (П) параметров полинома (и количество параметров пространства в физике) может быть любым из допустимого диапазона (скажем, от П = 4 до П равного и-триллиону). При этом с ростом количества (П) параметров – количество различных физик устремляется к некому минимально возможному числу (близкому к 10^e = 523?). Причем, вероятно, все эти разные физики равноправны между собой, как равноправны между собой разные полиномы в мире чисел, ведь каждый из возможных полиномов генерирует ВСЕ простые числа (только генерирует по «своей» уникальной формуле). И наоборот, с уменьшением количества (П) параметров – количество различных физик растет (быть может, асимптотически?) до бесконечности. И тот факт, что в 4-х мерном пространстве (при П = 4), доступном человеку в его ощущениях, нам известна лишь одна единственная физика, – говорит только о неполноте наших знаний. И самое грандиозное достижение человечества – это осознание того, что мы видим и понимаем всего лишь около… 4% состава нашей Вселенной, а количество всех возможных вселенных – колоссально, причем существуют параллельные миры (и даже якобы четырех типов). Возможно, что параллельные миры – это и есть пространства старших размерностей?  

Гипотеза Римана

Некая исключительность «нашего» 4-х мерного пространства (доступного человеку в его ощущениях), возможно, находит своё «отражение» в мире чисел и в лице гипотезы Римана. Гипотеза Римана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована замечательным немецким математиком Бернхардом Риманом (1826–1866) в 1859 году (то есть в возрасте 33 лет, и опять повторяю: математика – игра молодых!). И хотя Риман так и не доказал важнейшего закона теории чисел – закона распределения простых чисел (E ~ N/lnN), зато он сделал нечто гораздо более удивительное – дал точную формулу для количества (Е) простых чисел, не превосходящих числа N. Риман обнаружил, что количество (Е) простых чисел, не превосходящих числа N (функция распределения простых чисел) – выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции (см. мою книгу «Зеркало» Вселенной», стр. 13-14, http://technic.itizdat.ru/docs/iav2357/FIL13393414410N083260001/ ).

Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана. Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит награду в один миллион долларов США. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана, учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачена небольшая часть награды).

Так вот, гипотеза Римана эквивалентна утверждению о том, что следующее диофантово уравнение не имеет решений в неотрицательных целых числах…. (см. статью «Гипотеза Римана» в Википедии), где K – это некоторый большой фиксированный целочисленный коэффициент (который, в принципе, можно указать в явном виде), а остальные буквы обозначают переменные (параметры). Причем степень этого уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных (сравните это с тем, что выше было сказано про полиномы).

Вместо заключения

Теперь читателю, вероятно, очевидно, что Творец, изначально зная (на то он и Творец) теорию чисел, сделал доступным человеку именно 4-х мерное пространство – это некий оптимальный вариант для человека (весьма заурядного интеллекта во Вселенной), которому очень далеко до самого Творца. Однако лично я уверен, что наличие Творца даже и не требуется, поскольку наша (бесконечно разнообразная и сложная) Вселенная стала таковой… сама по себе. И мир чисел, который изоморфен «математике Вселенной», наилучшим образом «подсказывает» нам пример самоорганизации (бесконечного усложнения) структуры Мироздания, возникшей буквально «из ничего» (как и мир натуральных чисел, возникший из нуля и единицы). Ведь читатель не будет оспаривать тот факт, что рассмотренные выше полиномы (которые – лишь крошечный фрагмент из мира чисел, из теории чисел) – это весьма и весьма сложные, хитроумные, удивительные математические объекты. А ведь всё это – результат наипростейшего (до полного абсурда!) алгоритма, порождающего бесконечно сложный мир чисел: каждое натуральное число больше предыдущего на единицу (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …). И вся архисложная теория чисел, преисполненная наивысшей гармонии, «вырастает» благодаря лишь этому наипростейшему закону (и это – первая абстрактная истина, открывшаяся древнему человеку).

Природе внутренне присуща скрытая гармония, которая отображается в наших умах в виде простых математических законов. Альберт Эйнштейн как-то сказал: «Наш опыт убеждает нас, что природа – это сочетание самых простых математических идей», об этом говорит и латинская пословица «Simplex sigilum veri» («Простота – это признак истинности»). А что может быть проще натуральных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …? Вот почему лично я верю, что именно мир чисел (правда, не только натуральных) поможет раскрыть самые сокровенные тайны мироздания.

Санкт-Петербург,

18 августа 2013 г.