Математика квантовой механики - это просто.

В научно-популярном изложении квантовой механики,  как  правило,  говорится о странностях квантового мира, рассматриваемого из нашей реальности. Она происходит, оттого что  мир,  который дан нам в ощущениях,  воспитал в нас потребность  мыслить об объектах  Природы либо как о частице, либо как о чём-то протяжённом (чаще всего это волна).  Обычно мы полагаем,  что если объект  сейчас наблюдается нами как частица, то он и до этого  был частицей и будет далее в любых мыслимых случаях вести себя как частица.  Кантовый мир оказывается взаимосвязанным и наше представление об  объекте в виде частицы зачастую оказывается неприемлемым приближением. На этом уровне Природа показывает нам, что для её описания необходимо использовать язык более фундаментальный, чем язык классической физики. Мне представляется, что таким языком может быть только математика. Такая позиция похожа на то, что говорил П. Дирак: «Заткнись и считай».  

Попытки перевести математику квантовой реальности на  обыденный язык  есть то, что называют проблемой интерпретации.  Однако, если не задаваться вопросом интерпретации и рассматривать только математику, то основные принципы квантовой механики окажутся предметом чуть ли не средней школы. Самый может быть сложный вопрос, это придать физический смысл математическим объектам, их взаимосвязям друг с другом и операциям с ними.

По сути, требуется знать только, что такое вектор и допустить, что векторами можно назвать не только то,  что рисуется в школьной тетрадке,  но и какие-то другие объекты. При этом, как мне представляется, наибольшую трудность составляет  потеря наглядности. Если векторы в обычном пространстве (пусть даже многомерном) можно ещё представить себе, то комплекснозначные функция  в гильбертовом функциональном пространстве….. это и читать то  страшно.  Здесь уместен принцип  – тигр конечно большой и страшный, но это тоже кошка, как барсики с мурзиками.   Т.е. нам не потребуется  знать об  этих функциях, ничего кроме того что с ними можно обращаться как с векторами и что это просто комплексные числа.  Так, кстати, пока дело не касается конкретных расчётов, думают и учёные.   Т.е. главное – это правила. Такой обмен ролями,  когда на первое место ставятся правила, а после них уже конкретика математической природы объекта, требует некоторых способностей к абстрактному мышлению.    Но и в нашей жизни тоже есть область с похожим принципом – юриспруденция. Там декларируется: «Закон превыше всего». 

Так же надо иметь представление о том, что такое вероятность.

Хорошая новость для тех, кто продолжил чтение – процентов 50 математической основы квантовой механики составляет векторное исчисление. Это позволяет визуализировать теорию.  Те, кто помнит, что такое вектор,  базис векторного пространства и скалярное произведение могут смело пропускать их описание и переходить к операторам и разложению сложного движения на простые.

Я помню, когда у нас был болен учитель физики в 8-м классе, нам прислали молодого сотрудника из Курчатника. Он должен был объяснить нам,  что такое вектор. Сначала он сказал: «Вектор это….» и замолчал. А потом продолжил: «Вектор – это вектор» и нарисовал стрелочку. Нам пока этого достаточно.  Для дальнейшего потребуется система координат.  Она самая что ни на есть простая. Три прямых, каждая перпендикулярна двум другим, пересекаются в одной точке. Если кому то покажется это описание не очень наглядным, то можно посмотреть в угол своей квартиры,  и  Вы увидите эту систему – ширина, длина, высота.  Учёные не говорят так длинно, а вводят буквенные обозначения – х, y, z.  Выглядит короче и удобней для общения.  Расстояние принято отмерять в каких-то единицах. Т.е. надо выбирать, единицу измерения, допустим, метр (желаю всем жить в хороших квартирах и иметь возможность измерять её в метрах) и отложить его вдоль каждого направления – высоты, длины, ширины.  Выбрав направление осей,  и отметив на них единичные отрезки,  мы построили базис. Если указать расстояние от пола и двух прилегающих  друг другу стен, то это будут координаты точки в выбранном базисе. Векторы у нас будут начинаться из начала координат, поэтому, координаты конечной точки назовём координатами вектора. 

Далее будет проще рассказывать,  ввести  понятие линейной комбинации.  Пусть у нас есть  три яблока,  четыре  груши и пять слив (насколько я помню, они все считаются фруктами).  Линейной комбинацией этих фруктов будет называться такой фруктовый набор:  три яблока + четыре  груши + пять слив.  Не смотря на такую обыденность сказанное, представляет некий не самый низкий уровень абстрактного мышления. Каждое из слагаемых является множеством фруктов и их сумма тоже множество фруктов. Мы взяли объекты одной природы «множество фруктов» и  определили такую операцию между ними, чтобы она ставила им в соответствие объект той же природы.  Заменим «множество фруктов» на слово «вектор» и смысл сказанного не поменяется, но станет строкой из курса математики.  Т.к. яблоко не может быть грушей или сливой,  то можно считать яблоко «базисным вектором» фруктового набора. Так же и с грушей и сливой.  Любая чаша,  наполненная этими фруктами, состоит из «базисных фруктов – векторов». Числа три, четыре, пять, называют координатами фруктовой чаши в базисе из яблока груши и сливы. Понятно, что,  как и наш фруктовый набор,  любой вектор может быть разложен по базисным векторам.

 Переходя от фруктов к более абстрактным понятиям, замечу,  что базисом может называться совокупность векторов, число которых точно равно размерности пространства, и каждый из которых нельзя представить как линейную комбинацию других.  Это легко понять на примере нашего трёхмерного пространства. Какие бы вектора мы не рисовали на плоскости пола,  их сумма будет лежать в той же плоскости. Значит,  вектор направленный перпендикулярно полу  не может получиться сложением векторов плоскости.  Очевидно,  что для того чтобы получить ЛЮБОЙ вектор трёхмерного пространства надо иметь  три взаимно перпендикулярных вектора. Если они уже заданы, то любой другой уже не будет перпендикулярным ко всем трём, и его можно получить линейной комбинацией трёх уже имеющихся. Так что в 3-х мерном пространстве «соображать»  можно не более чем на троих, а лучше вообще на троих!  Взаимно перпендикулярных троек векторов,  т.е. базисов в нашем пространстве может быть бесконечно много. Так  же и в многомерном пространстве – в нём существует бесконечно много ортогональных базисов.

Если на этом месте Вы устали (скорее всего из-за того что я наверное путанно это объяснил) то могу Вас обрадовать – Вы знаете 30% от математики квантовой механики. И как видите, она не выходит за рамки школьного курса.

Если базисов много, то интуитивно ясно, что  из одного из них можно получать любой другой.  Как то повернуть, ещё  растянуть какие-то оси, вдобавок отразить в какой- то плоскости (т.е. в зеркале). Хотя все эти преобразования имеют физический смысл, для понимания дальнейшего нам не нужно их разнообразие,  достаточно оставить только повороты. Это потому что поворот базиса сохраняет длину вектора. Длина вектора получается так: сумма квадратов его координат и квадратный корень из всего этого. Например,  вектор имеет координаты 3 и 4, тогда 3*3+4*4=9+16=25 и квадратный корень из 25 будет 5.  Получается, длина такого вектора будет равна 5.  Другая причина состоит в том,  что перейти от одного базиса к другому можно малыми поворотами.  Представление большого преобразования как последовательности очень маленьких - кэто вообще любимый приём физиков теоретиков.  Иногда он мне кажется даже жульничеством  (что,  конечно не так. Но бывают ситуации,  когда этот номер «не прокатывает»,  тогда у них большие проблемы. Они останавливаются,  долго думают и изобретают что-то интересное и полезное не только для этого случая). 

Если преобразуется базис, то  преобразуются координаты вектора. Как связаны эти два преобразования?  Однозначно (любимое слово известного политика).  Зная как меняется базис,  можно вычислить,  как меняются координаты.  Определение, которое дают математики вектору вообще такое – вектор это упорядоченный набор чисел, который при преобразовании базиса преобразуется таким то образом (запоминать определение математиков не обязательно, но полезно.  Эти парни просто так ничего не делают).

Мы знаем теперь порядка 50% математики квантовой механики. Грех останавливаться, поэтому продолжим.  Когда в школе изучали вектора,  то там вводили такую вещь как скалярное произведение. Оно очень сильно обогащает пространство векторов  и позволяет из них получать числа. Скалярным произведением называется некоторое число, которое по определённым правилам ставится в соответствие двум векторам. Эти правила просты

- скалярному произведению вектора на себя ставится в соответствии число равное квадрату его длины.

- скалярное произведение суммы векторов, с каким-то другим вектором есть сумма скалярных произведений каждого из векторов на этот другой вектор. Сказано нескладно, поэтому проще написать в обозначениях. Скалярное произведение обычно записывают так (a,b)=c.  А правило гласит (a+b,c)= (a,c)+(b,c). Конечно, второй вектор может быть представлен тоже суммой.

Одна из «фишек» скалярного произведения состоит в том,  что для векторов в обычном пространстве перпендикулярность означает равенство нулю их скалярного произведения.  Это в дальнейшем очень сильно нам пригодится,  и будет иметь серьёзный физический смысл.

Мы теперь знаем процентов 75 нужной математики. И это всё не «выходя» из школы.  Но остались самые трудные понятия. Первое из них оператор. 

Как следует из слова «оператор», он чего то делает. Записывается это так: Lx=y. Т.е. оператор переводит начальный вектор в какой то другой. Нам не надо заботиться сейчас конкретикой как он это делает. С оператором  связано такое свойство как некоммутативность. Что это такое?  Представьте,  что Вы одеваетесь. Сначала рубашку, потом пиджак. В такой последовательности.  Но представьте себе, что Вы изменили порядок. Или вот сначала носки потом ботинки.  Если поменять порядок -  ботинки потом носки, то выйдет совсем какая то ерунда. Это и есть некоммутативность. Но если Вы сначала одели  носки, а потом рубашку, то можно смело менять порядок одевания, результат не изменится (бывают, конечно, перфекционисты, которые и тут посчитают порядок важным).  Простота  математики квантовой механики состоит  в том, что  значение имеют самые простые из возможных операторов - линейные операторы. Если такой оператор  действуют на сумму векторов, то результат будет суммой его  действия на каждый из векторов.

Проще понять сказанное,  если записать в обозначениях. Обозначим оператор буквой L,  а вектора х и y.  Тогда сказанное можно записать L(x+y) = Lx+Ly. 

Важную роль в квантовой механике играют такие вектора,  чтобы  какие-нибудь операторы только «растягивали» их.  Записывается это так Lx=аx, где «а»  какое-то действительное число.  Некоторые могут задаться вопросом: «А почему только действительное, а куда комплексные  дели?» Потому что в квантовой механике операторы, у которых «а»  действительное число играют особую роль.  Забегая вперёд скажу  – только  эти числа могут быть значениями, которые принимает физическая величина при измерениях.  А при измерении мы можем получить только действительные значения.

То что «а» действительное число накладывает ограничения на то,  каким должен быть оператор.  Математики называют их Эрмитовыми (поэтому у меня они ассоциировались с термитами. Уже неплохо обращаясь с ними в институте,  я узнал про математика Шарля  Эрмита). Вектор который удовлетворяет уравнению Lx=аx называется собственным, а число «а»  собственным значением которому принадлежит вектор х. Если сложно запоминать эту иерархию, то могу, предложит такую аналогию – оператор это главнокомандующий. Его дивизии это собственные числа, а каждой дивизии приданы её собственные вектора. Приходит другой главком всё перетасовывается, но принцип остаётся прежним.

 Эрмитовы операторы замечательны тем, из его собственных векторов всегда  можно соорудить  ортогональный базис.  Во-первых,  векторы, принадлежащие различным числам, оказываются ортогональными друг другу.  Ну а если вдруг  два и более вектора принадлежат одному собственному числу (в таком случае говорят,  что собственное число вырождено),   то хотя они не обязаны быть ортогональны друг другу,  смастерить из них систему взаимно ортогональных векторов могут даже студенты первого курса: там только арифметические действия.

То, что операторы могут действовать на вектор последовательно, называется их произведением: LF(x) означает что сначала оператор F действует на вектор х, а потом оператор L на то что получилось - LF(x) = L (Fx).  Выше уже говорилось что LF(x) не всегда равно FL (x).

Если, не смотря на предупреждение о том, что операторы один из  самых трудных моментов  для людей далёких от математики, Вы дочитали до этого места, то могу Вас обрадовать - Вы  знаете 90%  от того что надо знать про неё.

В остальные 10% входит понятие комплексного числа и разложение любого периодического движения на простые гармонически колебания. Эти понятия не сложны, но они, как и операторы выходят за рамки школьной программы.

Комплексное число можно представлять себе как вектор, на плоскости начинающийся из начала координат. Его можно записать в виде z=x+iy, где x координата по горизонтали, а  y – координата по вертикали,  i– так называемая мнимая единица. У неё, кстати,  интересная история, но сейчас не об этом. Она замечательна тем, что её квадрат отрицателен. Числа, с которыми мы сталкиваемся в повседневности таковы,  что их квадрат всегда положителен 2*2=4, (-5)*(-5) = 25 и так далее.  Их называют действительными (или ещё вещественными).  Т.к. квадрат действительного  числа положителен, то нельзя извлечь корень из отрицательного действительного числа. Но если очень хочется то можно! Для этого люди придумали мнимую единицу. Если из (-1) извлечь квадратный корень,  то получится мнимая единица i.    Комплексное число можно представить и в другом виде.  Из визуального образа ясно, что оно характеризуется длиной (модулем) и направлением,  т.е. углом который вектор образует с одной из осей. Принято отсчитывать этот угол против часовой стрелки от горизонтальной оси. Такая форма представления называется экспоненциальной.  Это название она получила, потому что в нём модуль числа умножается на число e =2,71… в мнимой степени -  на мнимую экспоненту. Е действительно серьёзная штучка (посерьёзней чем Ё). Тем, кто умеет с ней обращаться  становится легче жить в  расчётах. Нам от неё надо только лишь то, что она может принимать отрицательные значения и  её модуль (длина) всегда равна единице.  Угол,  отсчитываемый от горизонтали, называют фазой, а саму комплексную экспоненту фазовым множителем. При умножении экспонент их фазы складываются.  Ничего более нам  про мнимые экспоненты  знать не надо. С комплексными числами можно делать всё то же самое и так же как с обычными действительными числами.

Рассказ про разложение сложного периодического движения по простым гармоническим я бы начал с того что попросил бы вспомнить о том что вначале говорилось о векторах. А именно, смысл вектора может иметь не только направленный отрезок в привычном нам пространстве.  Следующим шагом будет мысль, что сложное периодическое движение это вектор,  в каком то функциональном пространстве. Дальше совсем легко. Любой вектор можно разложить по ортогональным векторам. И вот эти ортогональные вектора и есть простые гармонические колебания. Или возьмём известный пример, когда солдаты на мосту идут не в ногу. У моста есть собственные частоты, и если солдаты идут в ногу, то частота их шага может совпасть с частотой собственного колебания моста, отчего он может разрушиться.  Ещё пример – настройка инструмента. Мы ставим камертон известной частоты и начинаем изменять длину струны. От этого меняется её собственная частота и когда она становиться такой же, как у камертона он начинает звучать, хотя его не трогали.  Танцующий мост.  Когда дул ветер, то его постоянный напор можно разложить на простые гармонические колебания. И одно из них попало в резонанс с собственным колебанием моста. Если мы ударим молотком по какому-нибудь предмету, то оно будет как-то вибрировать, и это движение можно разложить на простые колебания этого тела как целого. Такие колебания называют собственными. Эта общность названия с собственными векторами операторов совершенно не случайна.

Можно  считать этот  материал полётом кондора на большой высоте над математикой квантовой механики, когда видны только крупные черты.  И было бы неплохо получить  награду за это – увидеть,  как эта математика переходит в физику.

  Чтобы продолжить далее соберём в одном месте,  что нам видно с «высоты птичьего полёта».

- мы будем работать с векторами, т.е. с объектами которые подчиняются той же алгебре что и обычные векторы знакомые нам со школы. Их можно складывать, умножать на числа, из них можно образовывать скалярное произведение (правда, оно имеет некоторые отличия от обычного «школьного», но это сейчас не существенно)

- в нашем пространстве на вектора действуют линейные Эрмитовы операторы.  Они выделяют в пространстве  системы взаимно ортогональных векторов, каждый из которых растягивается этим оператором. Степень растяжения называется собственным числом оператора, которому принадлежат растягиваемые вектора. Если число «присвоило» себе несколько векторов (оператор растягивает такие вектора одинаково), то такие  вектора могут быть неортогональны друг другу. Однако  из них можно построить систему взаимно ортогональных векторов.  Поэтому из собственных векторов Эрмитова оператора всегда можно сконструировать ортогональный базис пространства

- собственные числа Эрмитова оператора всегда действительны. И тут мы видим жизнь – показания приборов тоже действительны.

- умножения операторов не обязано быть коммутативным (носки потом ботинки не совсем то же самое что ботинки потом носки). Здесь мы подозреваем, нас ожидает что - то интересное.