О ГЕОМЕТРИЗАЦИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ

О ГЕОМЕТРИЗАЦИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ

Борис Ихлов

Введение

Как известно, Эйнштейн изначально утверждал, что гравитационное поле является физическим, однако позднее отошел от этого утверждения, гравитационное поле стали отождествлять с геометрией пространства-времени. Критика данного отождествления была предпринята группой А. А. Логунова (Фролов, Лоскутов, Местверишвили и др. Защищали «геометрическую» точку зрения Зельдович, Гинзбург и др. Критика Логунова отчасти верна, однако его теория не менее геометризована, в ней нет черных дыр, Большого взрыва и т.д. Полевая теория гравитации до Логунова была развита Л. П. Грищуком (ГАИШ).

Геометризация

Сильный принцип эквивалентности формулируется следующим образом: в каждой точке пространства-времени в произвольном гравитационном поле можно выбрать «локально-инерциальную систему координат», такую, что в достаточно малой окрестности рассматриваемой точки законы природы будут иметь такую же форму, как и в не ускоренных декартовых системах координат. Движение в равномерно ускоренной системе отсчета эквивалентно однородному постоянному гравитационному полю.

В классической механике уравнения движения получаются с помощью лагранжева формализма, реализуемого путем приравнивания к нулю вариации действия, где в подинтегральном выражении – функция Лагранжа, в которую входят кинетическая и потенциальная энергии системы

Соответственно, тензор энергии-импульса выражается через функцию Лагранжа и ее производные.

В теории относительности функция Лагранжа заменяется геометрической конструкцией, метрическим тензором g_ik, под интегралом стоит g^1/2 . Между тем физическое пространство не субстанционально (например, нельзя приписать точкам пространства собственное движение и самоидентичность).

Точно такая же замена функции Лагранжа на геометрию – в теории струн, в действии Гото – Намбу.

Однако изначально Эйнштейн исходил не из принципа наименьшего действия, а из уравнения Пуассона, где правая часть уравнения – не скалярная плотность, а реальный, не геометрический тензор энергии-импульса, в который входит тензор механических энергии-импульса и тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Относительно левой части можно доказать, что все подобные дифференциальные тензоры могут быть образованы алгебраически из тензора Римана, откуда и возникает уравнение Эйнштейна.

Электромагнитное поле

Чтобы понять, насколько возможно считать гравитационное поле не физическим, сравним его с электромагнитным полем.

Электромагнитное поле как физическое имеет энергию и импульс, энергия поля в каждом элементарном объеме пространства пропорциональна квадрату напряженности поля. Выбором системы отсчета можно изменить величины электрического и магнитного полей, например, выбрав систему отсчета, движущуюся вместе с зарядом, можно свести к нулю его магнитное поле. Однако никаким выбором системы отсчета нельзя полностью уничтожить электромагнитное поле в точке, где с точки зрения другой системы отсчета оно не равно нулю.

В основаниях ОТО лежит мысленный эксперимент с лифтом, падающем в гравитационном поле. Утверждается, что наблюдатель в лифте не сможет отличить падение в гравитационном поле от пребывания вне каких-либо полей. То есть в системе отсчета свободно падающего наблюдателя гравитационное поле полностью исчезает. Отсюда делают вывод, что гравитационное поле ОТО не является обычным физическим полем, имеющим определенную плотность энергии в пространстве. Выбор системы отсчета может менять пространственное распределение его энергии.

Точно так же нельзя выбором системы отсчета свести к нулю гравитационные волны.

Однако можно ли «аннулировать» электростатическое поле, в котором падает пробный заряд?

Законы тяготения и электрического взаимодействия сходны, в законе Кулона вместо масс – заряды, силы обратно пропорциональны радиусам. Однако сходство гравитационного поля и электромагнитного взаимодействий на классических законе Кулона и законе тяготения Гука - Ньютона заканчивается.

1) Магнитное поле порождается зарядами, движущимися прямолинейно, гравимагнитное (эффект Лензе-Тирринга) – вращающимися массами.

2) Электрическое поле отталкивает заряды одноименного знака, гравитационное – притягивает; пока не обнаружены частицы с отрицательными массами, хотя уравнения Дирака допускают их существование.

3) Электрический заряд не искривляет пространство-время, часы в присутствии заряда не замедляются, электростатическое поле не отклоняет луч света.

4) Гравитационное поле – тензорное, электромагнитное – векторное.

5) Заряд входит в ТЭИ через свою энергию, при этом не существует критического заряда, т.к. силы отталкивания всегда будут превалировать над гравитационными, наоборот, есть экстремальный заряд (как и экстремальный момент импульса), выше которого черная дыра не образуется.

В метрике Рейснера-Нордстрема заряд и масса входят симметрично, но заряд в электрическом поле не движется по геодезической.

Для закона Кулона нет сопутствующего 2-го закона Ньютона, в который бы вместо массы входил заряд. Для такого принципа эквивалентности необходимы еще три дополнительные пространственные измерения.

Если физическое действие масс осуществляется не за счет частиц, как сильное, слабое и электромагнитное, а путем искривления пространственно-временной формы, то квантование гравитации возможно лишь путем квантования формы, т.е. в представлении о дискретных пространстве и времени. Однако такой подход в петлевой гравитации не имел успеха, в петлевой гравитации отсутствует бозон Хиггса, обнаруженный в эксперименте.

Можно лишь предполагать, что это квантование может быть осуществлено в других «собственных» трехмерных пространствах: сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий, где опять же нужно предполагать наличие законов, аналогичных 2-му закон Ньютона, то есть, с дополнительными измерениями, тогда пространство-время должно быть 13-мерным.

Учитывая, что слабое взаимодействие хотя и осуществляется за счет векторных бозонов, не имеет силовых (трехмерных)характеристик и потому может быть сведено в одному измерению, то 13 – 2 = 11.

Если следовать данной версии, при компактификации дополнительных размерностей гравитация не может проявлять квантовые свойства.

Аналогично рассуждал Дэвис: «… трехмерный мир наших чувственных восприятий дополняется семью невидимыми пространственными измерениями, что и составляет вместе со временем 11 измерений. Невидимые вам дополнительные 7 измерений определяются как силы или взаимодействия. Напр., электромагнитное взаимодействие в де2ствительности представляет собой некое невидимое, пространственное измерение. Геометрия 7 дополнительных измерении отражает симметрии. Присущие взаимодействиям. Из этой теории следует, что в действительности силовых полей нет вообще, а существует только свернутое определенным образом пустое 11-мерное пространство-время» [1].

Подмена абстракциями, соответствующими материальным объектам, самих объектов, не нова и возникла задолго до геометродинамики Уилера.

«Сперва создают абстракции, отвлекая их от чувственных вещей, а затем желают познавать эти абстракции чувственно, желают видеть время и обонять пространство. Эмпирик до того втягивается в привычное ему эмпирическое познание, что воображает себя все еще находящимся в области чувственного познания даже тогда, когда он оперирует абстракциями» [2].

Если гравитация не является физическим полем, проквантовать ее невозможно в принципе.

Казалось бы, воздействие масс на пространственно-временную форму и обратное влияние этого воздействия (содержательность формы) на движение масс – прекрасная иллюстрация диалектического материализма. Однако возникает вопрос: почему массы обладают такой привилегией – менять форму, а электрические или барионные заряды – нет? Заряды могут ее менять лишь опять же посредством массы, выраженной через энергию электростатического поля.

Парадокс Лоренца

Предположим, имеется бесконечный прямой провод с током. Вдоль проводника на расстоянии r со скоростью vдвижется заряд. На заряд действует сила Лоренца. Утверждается, что в системе, где заряд покоится, в силу электронейтральности провода сила на заряд не действует.

Однако в ИСО, связанной с зарядом, движется проводник – вместе с зарядами, образующими ток, которые в месте расположения заряда создают точно такое же магнитное поле.
Тем не менее, эффект принято называть парадоксом Лоренца, который объясняют следующим образом: из СТО вытекает, что поля, электрическое и магнитное, неразрывно связаны друг с другом. При переходе от одной системы отсчёта к другой полная сила остаётся прежней, а изменяется лишь соотношение компонент:

F = q(E + [v, B)    (1)

В неподвижной системе отсчёта проводник электрически нейтрален, и электрическая компонента равна нулю. Ток создаёт магнитное поле, и на движущийся заряд действует магнитная компонента, направленная по правилу левой руки к проводнику. В ИСО, связанной с зарядом, магнитная компонента не действует, т.к. электрон покоится. Ее роль играет появившаяся электрическая сила Лоренца. В этой системе отсчёта проводник оказывается заряженным положительно из-за релятивистского сокращения длины, поскольку в этой системе он движется со скоростью v: l = l₀ sqrt(1 – v² / c² ) .

В результате объём проводника также уменьшается, концентрация положительных ионов увеличивается и уже не компенсируется отрицательным зарядом электронов. Проводник приобретает суммарный положительный заряд, и на заряд q действует электрическая компонента.

Таким образом, при переходе к движущейся системе отсчета, связанной с зарядом, из-за разных скоростей электронов и ионов в проводнике их линейные плотности заряда преобразуются по-разному. Это приводит к тому, что в неподвижной относительно заряда q системе проводник оказывается заряженным положительно, и возникает электрическое поле. Фейнман количественно доказал, что обе силы в обеих системах отсчёта одинаковы. Сила в системе заряда не исчезла, изменилось лишь её описание. В одной системе отсчёта это поле может выглядеть как только магнитное, в другой — как только электрическое, в третьей присутствует и магнитное, и электрическое [3, 4].

Однако данное объяснение хотя и выглядит достоверно, неудовлетворительно. Дело в том, что электроны в проводнике движутся не равномерно, а ускоренно, под действием разности потенциалов, лишь их средняя скорость является постоянной.

Максвелл считал, что его уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Галилея, Фейнман, наоборот, полагал их галилеевски неинвариантными.

В [5] утверждается, что уравнения Максвелла инвариантны относительно произвольных невырожденных линейных преобразований пространственно-временных переменных, включая не только преобразования Лоренца, но и преобразования Галилея – в силу того, что могут быть записаны в 4-тензорной форме.

Неясно, каким образом одни и те же уравнения могут быть одновременно инвариантными относительно двух типов преобразований. С другой стороны, преобразование Галилея подразумевает, что существует система покоя, соответствующая наблюдателям с произвольными скоростями. Это позволило бы, например, двигаться так, чтобы электромагнитная волна покоилась, что явно запрещено теорией Максвелла. В теории Максвелла нет решения, для которого флуктуации электромагнитного поля находились бы в состоянии покоя относительно наблюдателя.

Инвариантность относительно преобразований Галилея возникает лишь в том случае, если постулировать зависимость скорости света от скорости движения источника света, что противоречит эксперименту.

Но и постулирование максимальности и инвариантности скорости света не обязательно. Используя групповой анализ, можно найти в классе линейных функций наиболее общие преобразования между ИСО, которые оказываются зависящими от двух фундаментальных констант, имеющих размерность скорости. Добавление аксиомы изотропии пространства переводит эти преобразования в преобразования Лоренца, аксиома абсолютности времени (t = t’) — в преобразования Галилея [6].

Покажем в дополнение в парадоксу Лоренца, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца, но не инвариантны относительно преобразований Галилея.

В законе Ампера и в формуле для силы Лоренца фигурирует внешнее магнитное поле.

F = IBdlsina = Nq[v, B]; N = nSdl

В законе Ампера для двух проводников внешнее магнитное поле отсутствует:

F ~ LI₁I₂/r

Магнитное поле возникает в результате изменения во времени электрического поля. При движении заряда с постоянной скоростью его электрическое поле утрачивает сферическую симметрию и становится осесимметричным:

E ~ (q/r²)(1 – v²/c²)/[1 – sin²a (v²/c²)]^3/2   (2)

Однако даже при малых скоростях, когда электрическое поле практически неизменно, возникает магнитное поле, не содержащее множитель Лоренца:

B ~ q [v, r]/r³       (3)

То есть, магнитное поле вследствие изменения электрического поля лишь добавляется к магнитному полю (3), которое имеет самостоятельное значение.

Считают, что магнитное поле является релятивистским эффектом [3, 7], так ли это? Ответ на вопрос увидим ниже.

Наличие (т.е. не обязательно величина) силы между двумя проводниками регистрируется прибором, поэтому не может зависеть от выбора системы отсчета.

В законе Ампера для двух токов и в законе Био-Савара-Лапласа фигурируют проводники, которые выделяют систему отсчета, кроме того, хотя ток выбирается постоянным, т.е. средняя скорость электронов постоянна, их движение ускоренно, под действием напряженности (разности потенциалов):

j ~ qnv ~ E

То есть, не ускорение, а плотность силы тока и, соответственно, средняя скорость электронов пропорциональна приложенной силе.

Заметим, что в вакууме, например, в диодах, зависимость плотности тока от приложенной силы нетривиальна:

j ~ E^3/2

В законе Био-Савара-Лапласа

B ~ Idlsina ~ nqvsina ~ nq[v, r]/r³

Отсюда обычно делается вывод, что движущийся заряд эквивалентен элементу тока:

qv = Idl         (4)

То есть: устанавливается своего рода принцип эквивалентности между током в среде и движущимся зарядом.

Однако ток в законе Био-Савара-Лапласа и движущийся равномерно и прямолинейно заряд – это два существенно разные типы движения. Наличие тока нельзя устранить выбором системы отсчета, но при переходе к системе отсчета, связанной с электроном, магнитное поле исчезает.

Возникает парадокс, отличный от парадокса Лоренца: в ИСО, в которой два движущихся равномерно, прямолинейно и параллельно друг другу электрона, они притягиваются с силой

F ~ q²v²/r

наличие которой и искривление прямолинейного движения электронов регистрируются приборами. Однако при переходе в систему отсчета, связанную с электронами, эта сила исчезает.

Одно из уравнений Максвеллf, в которое входят ротор магнитного поля (вихрь), ток и производная по времени электрической индукции, ничего не объяснит, т.к. электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое, но не постоянное магнитное поле.

Отметим также, что сила притяжения между двумя движущимися зарядами зависит от выбора ИСО.

Разрешение парадокса возможно лишь в том случае, если сила взаимодействия между зарядами, перпендикулярная движению, не меняется при переходе в другую систему отсчета, то есть, если для неподвижного наблюдателя при появлении притягивающей магнитной составляющей силы в формуле (1) увеличивается кулоновское отталкивание:

E_v – E₀ = q[v, B]

То есть, магнитное поле – действительно, чисто релятивистский эффект, даже малые изменения электрического поля порождают заметное магнитное поле. В заочном споре Майкельсона и Фейнмана последний оказался прав: уравнения Максвелла не инвариантны относительно преобразований Галилея.

При малых скоростях, разлагая (2) в ряд Тейлора, в направлении, перпендикулярном движению зарядов получим:

F_magn = q[v, B] = E₀v²/2c²       (5)

Оценим: увеличение модуля скорости вдвое согласно (3) приводит к увеличению в 4 раза магнитной силы и в 4 раза – правой части уравнения.

Разумеется, формула приближенная, для малых отрезков траектории, т.к. заряды движутся не равномерно и прямолинейно, но ускоренно и по кривым.

Заметим, что в «магнитном» принципе эквивалентности роль ускорения играет скорость.

Равенство инертной и гравитационной масс

Электростатическое поле заряда также можно «аннулировать», если пробный заряд падает в этом поле с ускорением, определенным законом Кулона. Ускоренный заряд излучает электромагнитные волны, но то же самое относится и к пробной массе, падающей в поле тяготения – гравитационные волны вызываются любым массивным телом, движущимся с асимметричным ускорением, в т.ч. в задаче двух тел [8].

В первом приближении, если третья производная тензора квадрупольного момента масс системы отлична от нуля, то система будет излучать гравитационные волны [там же].

В системе отсчета, связанной с движущимся в электростатическом поле пробным зарядом электростатическое поле равно нулю:

qE = ma = 0

«Электрическая» эквивалентность относится к массе пробного заряда, но не к заряду.

Однако может ли это быть препятствием? Геодезические можно получить и на других математических структурах, не только на псевдоримановых многообразиях, достаточно иметь многообразие со связью.

Можно ли представить электростатическое поле метрическим тензором? Нельзя.Гравитационное поле можно в классической физике заменить ускоренной системой отсчета именно потому, что его напряженность не зависит от двигающейся в нем массы.

Электростатическое поле нельзя заменить ускоренной системой, т.к. ускорение зависит от заряда, который может быть выбран произвольно.

Однако насколько в этом плане гравитационное поле отлично от электростатического?

В настоящее время наиболее точный результат в проверке слабого принципа эквивалентности в форме равенства инертной и гравитационной масс дал эксперимент «MicroSCOPE» с двумя полыми коаксиальными цилиндрами, свободно подвешенными в невесомости на борту спутника [9]:

(m_inert – m_grav)/m_inert = 1 – m_grav/m_inert < 10^-14  (6)

Сильный принцип эквивалентности включает нелинейность уравнений гравитации – собственную гравитационную энергию. Ввиду исключительной слабости гравитации, пробные тела для

проверки сильного принципа гравитации должны иметь астрономические размеры. На

сегодняшний день система Земля-Луна-Солнце представляется наилучшей моделью. Исследовалось

отражение лазерных лучей от массива угловых отражателей, установленных на Луне астронавтами программы «Аполлон» и советскими. Эксперимент установил, что возможное неравенство инертной и гравитационной масс для Земли и Луны не превышает (0.8 ± 1,3) × 10ˉ¹³

В альтернативных теориях гравитации сильный принцип эквивалентности нарушается [10-12].

Однако есть соображения помимо альтернативных теорий.

Во-первых, измерения сделаны только для малых масс в земных или околоземных условиях. Нет гарантий, что для масс, в 10¹² -10³⁶ раз больших (для звездыR136a1), тем более, для звездных скоплений, соотношение (6) не увеличится на 30-100 порядков. Измерения соотношения (6) для звезд сегодня невозможны в виду относительно большой погрешности измерений их масс.

Во-вторых. Для двух электронов соотношение электростатической и гравитационной сил – 10⁴² , для электрона и протона – 10³⁹ , для двух протонов – 10³⁶ .  То есть, чтобы между гравитацией и электричеством была разница в смысле наличия и отсутствия принципа эквивалентности, точность, с которой устанавливается равенство инертной и гравитационной масс, должна быть порядка 10⁴⁰ . Та точность, с которой установлено равенство инертной и гравитационной масс, слишком низка. В виду этого на сегодняшний день можно говорить лишь о приближенной эквивалентности гравитации и ускоренной системы отсчета.

Кроме того, принцип эквивалентности не выполняется для такой квантовой системы, как вакуум, вакуум не обладает инертной массой, его гравитационная масса не равна нулевой инертной.

Заключение

Разница между гравитационным и электромагнитным взаимодействиями не может служить логическим основанием считать гравитационное поле не физическим.

С другой стороны, сведение гравитационного поля к геометрии наталкивается на парадокс: если поместить в равноускоренный лифт заряженную частицу, она будет излучать независимо от того, где находится наблюдатель – внутри лифта или вне его в  инерционной системе (ИСО). С точки зрения ОТО наблюдатель, находящейся  в ИСО вне лифта, который регистрирует излучение равноускоренной заряженной частицы,  будет регистрировать фотоны, а тот, который находится в лифте – не будет.

В ОТО заряженная частица, покоящаяся в гравитационном поле на поверхности Земли, должна поддерживаться силой, чтобы предотвратить ее падение. Согласно принципу эквивалентности, она должна быть неотличима от частицы в плоском пространстве-времени, ускоряемой силой. Согласно уравнениям Максвелла ускоренный заряд должен излучать электромагнитные волны, но такое излучение для неподвижных частиц в гравитационных полях не наблюдается.

Разрешение парадокса Фултоном и Рорлихом [13], основанное на утверждении о неправомерности использования уравнений Максвелла в неинерциальных системах отсчета, не является удовлетворительным.

Во-вторых, принцип эквивалентности применим лишь к материальной точке, для протяженного тела он несправедлив.

В сильном принципе эквивалентности вопрос о физическом источнике ускорения, о тождестве инертной и гравитационной масс подменяется - по аналогии с СТО - вопросом о системе отсчета, о наблюдателе.

Ньютоновский предел ОТО достигается в приближении слабой гравитации. Если же считать гравитационное поле искривлением пространства, то при кривизне Вселенной, равной нулю, в плоском пространстве Минковского, классическое гравитационное тяготение Гука – Ньютона не должно действовать, межгалактическое взаимодействие должно отсутствовать.

В любом случае: из того, что гравитационное поле локально эквивалентно ускоренной системе координат, не следует, что гравитационное поле и есть система координат, а не физическое поле.

Литература

1. Дэвис П. Суперсила. М.: Мир, 1989, С. 12.

2. Энгельс Ф. Диалектика природы. Соч., Т. 20. С. 292.

3. Верхозин А. Н. Можно ли считать магнитное поле релятивистским эффектом. Вестник Псковского государственного университета. Серия: Естественные и физико-математические науки. 2016. №8. С. 149-156.

4. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 5. М.: Мир, 1966. С. 266-273.

5. Миллер М. А., Сорокин Ю. М., Степанов Н. С. Ковариантность уравнений Максвелла и сопоставление электродинамических систем. УФН. 1977. Т. 121, вып. 3. С. 525-538.

6. Frank P., von, Rothe H. Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme», Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855/

7. Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие. В 3-х т. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. 3-е изд., испр. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 496 с. С.120.

8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. Теоретическая физика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. Т. II. С. 475. 

9. Бауров Ю. А., Соболев Ю. Г., Менегуцц Ф. Фундаментальные эксперименты по

Обнаружению анизотропии физического пространства и их интерпретация. Известия РАН, серия физическая, Т. 79, №7, 2015.

10. WillC. M., LivingRev. Relat., 9 (2006), 3.

11. Турышев В. Г. , Экспериментальные проверки общей теории относительности: недавние успехи и будущие направления исследований - М: УФН, Т. 179, №1 (2009).

12. Brans C., Dicke R. H., Phys. Rev., 124 (1961), 925.

13. <cite>Fulton, T., Rohrlich, F. (1960). Classical radiation from uniformly accelerated charge. Annals of Physics. 9 (4): 499–517. </cite>Bibcode<cite>:</cite>1960AnPhy...9..499F<cite>. </cite>doi<cite>:</cite>10.1016/0003-4916(60)90105-6