Греко-латинский (магический) квадрат 10-го порядка

Греко-латинский квадрат (ГЛК) 10-го порядка — это (магический) квадрат 10х10 в каждой клетке которого стоят 2 числа, каждое из которых может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 10 значений, каждому из них я просто присвоил свой цвет: красный, оранжевый, желтый, и т.д.). При этом выполняются следующие условия:

1). В каждой строке и столбце каждая цифра (каждый цвет) встречается один раз на первом месте в паре, и один раз на втором (смотри цвет «большого» квадрата и цвет «малого» квадрата, вписанного в центр «большого» квадрата).

2). Каждая цифра (каждый цвет) стоит в паре с каждой другой цифрой (с другим цветом) и с самой собой по одному разу.

Такие ГЛК, как видно и из названия, тесно связаны с латинскими квадратами, для которых выполняется лишь первое правило, и в каждой ячейке которого стоит только одно число. Само название и тех и других квадратов пошло от гениального Леонарда Эйлера (1707-1783 гг.) который использовал вместо цифр греческие и латинские буквы.

Сам Эйлер поставил задачу о нахождении греко-латинского квадрата 6-го порядка так: в 6 полках есть 36 офицеров 6 различных званий. Нужно так разместить их в каре, чтобы все офицеры в каждой колонне и шеренге были разных званий и из разных полков. Как уже было указано такая задача неразрешима.

Другая задача звучит так: нужно разложить 16 карт (валеты, дамы, короли и тузы разных мастей) так чтобы в каждом ряду и столбце было по одной карте каждой масти и значения. Эта задача была известна ещё до Эйлера. Её решением будет любой греко-римский квадрат порядка 4. Также для этой задачи есть варианты, в которых требуется, чтобы на главных диагоналях выполнялись те же требования. В другом варианте требуется, чтобы цвета мастей шли в шахматном порядке. Все эти задачи имеют решения.

Занимаясь греко-латинскими квадратами Эйлер доказал, что квадратов второго порядка не существует, зато были найдены квадраты 3, 4, и 5 порядков. Квадрата 6 порядка обнаружить не удалось, но доказать, что их не существует, Эйлеру не удалось. Однако им была высказана гипотеза, что не существует квадрата порядка N, если N — чётное число, не делящееся на 4 (то есть 6, 10, 14 и т. д.). В 1901 гипотеза была подтверждена для N = 6 математиком Гастоном Терри. Это было сделано перебором всех возможных вариантов квадрата. А в 1959 году гипотеза была опровергнута Э. Т. Паркером, Р. К. Боусом и С. С. Шрикхердом, обнаружившими квадрат порядка 10

Примечательно, что левый нижний угол ГЛК 10-го порядка (см.

на фото) включает в себя  ГЛК 3-го порядка (из 3-х цветов: бордовый, красный, оранжевый).

Применение греко-латинских (магических) квадратов.

Если есть система, на которую действуют 4 различных параметра (например, воздействие N различных рекламных роликов на население N различных возрастных, социальных и этнических групп), которые могут принимать по N значений, то, значит, нужно рассмотреть… греко-латинский квадрат порядка N. Тогда параметры будут соответствовать ряду, столбцу, первому и второму числу. Таким образом можно провести NхN (то есть N в квадрате) экспериментов, вместо NxNxNxN (то есть N в четвертой степени – в случае полного перебора вариантов, если бы мы не знали про ГЛК!)

Для греко-латинского квадрата 10-го порядка: если есть система, на которую действуют 4 различных параметра (например, воздействие 10 различных рекламных роликов на население 10 различных возрастных групп), которые могут принимать по 10 значений, то нужно рассмотреть ГЛК 10-го порядка. Тогда параметры будут соответствовать ряду, столбцу, первому и второму числу. Таким образом можно провести 100 экспериментов, вместо 10000 экспериментов (в случае полного перебора вариантов).

Интерес к ГЛК сейчас возрастает из-за их тесной связи с так называемыми «конечными проективными плоскостями» (топология – архисложный и архиинтересный раздел высшей математики). История с ГЛК убеждает нас, что даже гениям (а Эйлер, безусловно, был величайшим ГЕНИЕМ!) свойственно ошибаться, а сами магические квадраты – не просто математические головоломки, а нечто большее, что каким-то образом связано с реальным физическим миром. В теории магических квадратов много сложных вопросов, над которыми продолжают трудиться самые лучшие умы человечества.

И если даже такая «невинная забава», как магические квадраты имеют отношение к реальному (физическому) миру, то и моя ВИРТУАЛЬНАЯ КОСМОЛОГИЯ ( http://zhurnal.lib.ru/i/isaew_aleksandr_wasilxewich/ ) вполне может рассчитывать на нечто подобное.