Что такое числа Фибоначчи и почему их выделили в отдельную группу чисел

Числа Фибоначчи в Европе популяризовал Леонардо Пизанский (по прозвищу Фибоначчи – сын Боначчи), в задаче о кроликах:

Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов (самку и самца) в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения.

Оказывается, число кроликов по месяцам описывается последовательностью

1, 2, 3, 5, 8, 13,…

В ней каждое число равно сумме двух предыдущих. Условия задачи все равно нереалистичны, так что можно не стесняться: предположить, что кролики бессмертны, и продолжить последовательность до бесконечности:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, ….

Есть свидетельства, что последовательность задолго до Леонардо была известна в Индии, и что в честь Фибоначчи ее назвал Эдуард Люка.

Про экспоненциальный рост

Как мы видим, последовательность очень быстро растет (экспоненциально, как последовательность степеней). Примерно как 1, 2, 4, 8, 16, 32, … или 1, 10, 100, 1000, … (тоже экспоненциальный рост.) Экспоненциальный рост вообще встречается в природе и в приложениях: так растут популяции, капиталы в банке, число радиоактивных атомов и число зерен на шахматной доске (Вы же помните легенду про жадного султана и бедного изобретателя шахмат ;))

В природе экспоненциальный рост имеет место лишь приблизительно и только в некоторых пределах.

Красивые фотографии

Последовательности в природе, напоминающие Фибоначчи, тоже похожи на Фибоначчи только приблизительно и в некоторых пределах. Широко известны примеры из мира растений: семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса. Видимо, здесь задействован один механизм (я скопировала первую попавшуюся картинку из интернета):

Отчасти популярность чисел Фибоначчи связана с такими красивыми картинками. В интернете их полным-полно.

А вот скажем, закон радиоактивного распада не менее поразителен, история его открытия драматична, человечество поставило его себе на службу… но он не так популярен в СМИ. Нет для него таких красивых картинок, да и описывается он дифференциальным уравнением, а любителей дифференциальных уравнений меньше, чем любителей красивых картинок.

В математике

В математике бывают объекты, которые задаются очень просто, но показывают удивительно сложные и многогранные связи между своими компонентами. Например: треугольник в планиметрии, конические сечения, треугольник Паскаля, простые числа, … Они завораживают нас как картинки в калейдоскопе. Чуть повернешь – и открываются новые узоры, новые свойства. Числа Фибоначчи –один из таких объектов. Каждый математик на пути в науку их обязательно встречал.

Чтобы перечислить все их удивительные свойства, нужна отдельная книга (и кстати, выходит журнал с таким названием, посвященный одним только числам Фибоначчи). Скажу только, что отношение каждого числа Фибоначчи к предыдущему приближает золотое сечение, и чем числа больше, тем приближение лучше.

Почему же математики выделили числа Фибоначчи в отдельную группу чисел

Потому что любят все классифицировать и раскладывать по полочкам. Раз есть объект – надо дать ему название. На сайте https://oeis.org/A000045 , где собраны большинство последовательностей чисел, встречающихся в математике, последовательность Фибоначчи идет под номером 45. Она вовсе не такая уж исключительная, кроме неё в этом саду растет еще около трети миллиона последовательностей.

Специалист по теории чисел Леопольд Кронекер считал, что только одна из них выросла по божьему произволению (и это вовсе не последовательность Фибоначчи, а другая, на сайте ее номер 27), а остальные последовательности посажены человеческими руками, и некоторые – очень давно.

В целом журналисты несколько преувеличивают значимость чисел Фибоначчи: они, безусловно, прекрасны, но стоят в одном ряду с многими другими не менее прекрасными и полезными математическими объектами.

https://www.youtube.com/watch?v=5RmJjxwi4Qw

 

Во вселенной еще много неразгаданных тайн, некоторые из которых ученые уже смогли определить и описать. Первая тысяча знаков значения Φ 1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 Числа Фибоначчи и золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию. Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел. Свидетельства использования древними мыслителями золотой пропорции приведены в книге Эвклида «Начала», написанной еще в 3 в. до н.э., который применял это правило для построения правильных 5-угольников. У пифагорейцев эта фигура считается священной, поскольку является одновременно симметричной и асимметричной. Пентаграмма символизировала жизнь и здоровье. Число Бога, числа Фибоначчи, Золотое Сечение Числа Фибоначчи Знаменитая книга Liber abaci математика из Италии Леонардо Пизанского, который в последующем стал известен, как Фибоначчи, увидела свет в 1202 г. В ней ученый впервые приводит закономерность чисел, в ряду которых каждое число является суммой 2-х предыдущих цифр. Последовательность чисел Фибоначчи заключается в следующем: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д. Также ученый привел ряд закономерностей: Любое число из ряда, разделенное на последующее, будет равно значению, которое стремится к 0,618. Причем первые числа Фибоначчи не дают такого числа, но по мере продвижения от начала последовательности это соотношение будет все более точным. Если же поделить число из ряда на предыдущее, то результат устремится к 1,618. Одно число, поделенное на следующее через одно, покажет значение, стремящееся к 0,382. Применение связи и закономерностей золотого сечения, числа Фибоначчи (0,618) можно найти не только в математике, но и в природе, в истории, в архитектуре и строительстве и во многих других науках. Для практических целей ограничиваются приблизительным значением Φ = 1,618 или Φ = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %. Исторически изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на две части (меньший отрезок АС и больший отрезок ВС), чтобы для длин отрезков было верно AC/BC = BC/AВ. Говоря простыми словами, золотым сечением отрезок рассечён на две неравные части так, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему отрезку. Позже это понятие было распространено на произвольные величины. Число Бога, числа Фибоначчи, Золотое Сечение Число Φ называется также золотым числом. Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства.
https://www.o000o.ru/chislo-boga-chisla-fibonachchi-zolotoe-sechenie.html