статья МИБ!

 

В математике известно два вида бесконечности: потенциальная и актуальная, которая есть также потенциальная в своем роде, т.е. доступная для увеличения, как я уже писал выше. Одна из грубейших ошибок вульгарного диамата состоит в том, что якобы истинное бесконечное Гегеля есть актуальное бесконечное Кантора, а дурная бесконечность Гегеля есть потенциальная бесконечность современного позитивизма. 
 
Что это - абсолютно вздорное положение, покажем, процитировав самих Кантора и Гегеля.
 
 
 
А). Бесконечность в математике. Взгляд Г.Кантора.
 
Я выбрал в качестве образца понимания природы бесконечного математика Г.Кантора. Он, на мой взгляд, наиболее точно формулирует различие между математическими бесконечностями, с одной стороны, и математическим и философским - с другой. Кроме того, его точка зрения широко известна и принята.
 
Свой взгляд он разъясняет в статье "О различных точках зрения на актуальное бесконечное".
 
Имеет место, пишет он, "...существенное различие понятий потенциальной и актуальной бесконечности, - причем первая означает переменную конечную величину, растущую вверх вне всяких конечных границ, а последнее - некоторое замкнутое в себе, постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин количество...". Далее Кантор настаивает на законности применения актуально бесконечного в математике. Непризнание актуального бесконечного - ошибка, которую совершают, в частности, "...все так называемые позитивисты и их родня". Одно лишь потенциальное бесконечное "...само по себе не обозначает никакой идеи".
 
Эта оценка - камушек в огород современной философии, запутавшейся в азах бесконечного, поэтому-то к философии и не относятся как к науке.
 
В наше время разделение бесконечного на потенциальную и актуальную, насколько мне известно, с небольшими индивидуальными вариациями принято всей современной наукой. При этом такое разделение, по существу, есть разделение на собственно конечное (потенциальное) и собственно бесконечное (актуальное), лежащее по ту сторону всех конечных величин, неконечное. Актуальная бесконечность ограничена, оконечена лишь сферой конечного, это - конечное отрицание конечного. Итак, Кантор утверждает, что бесконечное существует как ограниченное, конечное бесконечное. Может, он не подозревает о бесконечном бесконечном?
 
Посмотрим.
 
"Часто происходит смешение другого рода, а именно двух форм актуально бесконечного (Обратите внимание! – М.), причем смешивается трансфинитное с абсолютным. Между тем эти понятия явно различны в том отношении, что первое следует мыслить, конечно, бесконечным, но все же доступным дальнейшему увеличению, тогда как последнее приходится считать недоступным увеличению, а потому математически неопределимым".
 
Таким образом, Кантор однозначно утверждает, что кроме математического бесконечного есть и другое, "абсолютное" (философское, как мы увидим позже) бесконечное. Это бесконечное принципиально не поддается познанию математическими методами, оно даже не может быть определено в математических терминах.
 
Очень показательна мысль, что быть "недоступным увеличению" влечет "математически неопределимо". Понимание причины, лежащей в основе этой импликации, и есть тот рубеж, где кончается математика (и рационализм вообще) и начинается философия.
 
И здесь Кантор также предельно конкретен. Он пишет: "С этой ошибкой мы, например, встречаемся в случае пантеизма, и она образует ахиллесову пяту этики Спинозы". Далее: "...со времен Канта среди философов укрепилось ложное представление, будто абсолютное является идеальным пределом конечного, между тем как в действительности этот предел можно мыслить лишь как некое трансфинитное, и притом как минимум всех трансфинитов...". И еще: "Пантеист Гегель не знает никаких существенных различий в актуальном бесконечном". (Внимание обратили!? Запомним: у Гегеля не хватило тяму для понимания различия в актуальном бесконечном в смысле Кантора! – М.)
 
Т.е. Гегель не знает, чем отличается трансфинитное («дурное», в его терминологии), бесконечное от абсолютного («истинного», по Гегелю) бесконечного. Оригинальное прочтение «Науки логики»!
 
В заключение: "Неустойчивость в определении понятий и связанная с нею путаница, занесенная около века тому назад с далекого востока Германии (намек на Кенигсберг. - М.) в философию, нигде не обнаруживается столь ясно, как в вопросах, относящихся к бесконечности".
 
И хотя математик Кантор не слишком силен в философии, вменяя Канту определение, данное Аристотелем, а также полагая, что мыслить можно только математически, либо никак, считая Гегеля непонимающим различий форм бесконечности и т.д., - мы видим здесь ясное понимание различных подходов к бесконечному и категорическое утверждение о важности этого понятия для философии и математики, утверждение, что различие между Платоном, Аристотелем, Кантом, Гегелем, с одной стороны, и Кантором, Фреге, Расселом, Гильбертом - с другой, есть различие в понимании природы бесконечного. Это понимает почти любой математик, но назвать современного философа с аналогичным пониманием я затрудняюсь.
 
 
В). Бесконечность в философии. Взгляд Г.Гегеля.
 
«Главное в том, чтобы различить истинное понятие бесконечности и дурную бесконечность, бесконечное разума и бесконечное рассудка; однако последнее есть оконеченное бесконечное, и мы видим, что, удерживая бесконечное чистым от конечного и вдали от него, мы его лишь оконечиваем».
 
Итак, за сотню лет до вышецитированной работы Кантора Гегель, опираясь на Канта, сформулировал (впервые!) кардинальное различие понятий философского и математического бесконечного. Это и означает, по словам Кантора, что Гегель «не знает никаких существенных различий в актуальном бесконечном»! Смотрите дальше, если еще остались какие-то сомнения:
 
«Уже раньше шла речь о дурной бесконечности и связанных с ней заблуждениях; всеобщность понятия - это достигнутая потусторонность; указанная же бесконечность остается отягощенной потусторонним как чем-то недостижимым, поскольку она остается просто прогрессом в бесконечное, …понятие, единственно в котором вся суть и которое есть в себе и для себя бесконечное, тем самым исключено из этого познания».
 
Актуальная, как трансфинитная, бесконечность – то, что всегда недостижимо. Математическое, канторовское, бесконечное не является собственно бесконечным, т.к. за его пределами остается, помимо прочего, и конечное, которое ограничивает указанное бесконечное. Тем самым, математическое бесконечное внутренне противоречиво, это – конечное бесконечное.
 
«Это противоречие сразу же сказывается в том, что наряду с бесконечным остается конечное как наличное бытие; имеются, таким образом, две определенности; имеются два мира, бесконечный и конечный, и в их соотношении бесконечное есть лишь граница конечного и, следовательно, само есть лишь определенное, конечное бесконечное».
 
Наука, рассудок используют лишь конечные объекты в познании, и трансфиниты – не исключение. Соответственно, понятия, отражающие эти конечные сущности в мышлении, также конечны, односторонни. Понятие в спекулятивном смысле кардинально отлично от понятия рассудочного, как абсолютное бесконечное отлично от актуального.
 
«Нужно различать между понятием в спекулятивном смысле и тем, что обычно называют понятием.
Тысячи и тысячи раз повторявшееся и превратившееся в предрассудок утверждение, что бесконечное не может быть постигнуто посредством понятия, имеет в виду понятие в последнем, одностороннем смысле».
 
Итак, мы выяснили, что одно из главнейших, фундаментальнейших отличий объектов теоретической философии вообще (и диалектического материализма в частности) от науки заключается в том, что в философии рассматриваются абсолютно бесконечные сущности, а в математике - только относительно бесконечные. Абсолютная бесконечность в математике (и, следовательно, в науке вообще) недопустима (она приводит к парадоксу Кантора, как я уже говорил выше).
Выше я вскользь упомянул, что математику не удается свести к логике. Она содержит собственно логику (математическую, т.е. модифицированную аристотелевскую) и внелогические конструкции (аксиомы теории множеств). С множествами мы немного разобрались. Посмотрим теперь на логику.
 
В математике бесконечность всегда относительна, т.е. относительно любого множества можно построить высказывание посредством соотношения этого множества с его дополнением вне него. Например, мы утверждаем, что множество натуральных чисел бесконечно. Это есть свернутое определение того факта, что для любого N существует вне него некоторое N+1. 
 
Иначе дело обстоит в философии. Вне абсолютного бесконечного А ничего нет, никакого В, поэтому для него невозможно построить никакого высказывания типа А И В, А ИЛИ В, НЕ-А и т.д. Оно может быть в суждении предикатом только самого себя, как субъекта. Т.е. оно должно высказывать самого себя, быть в высказывании элементом самого себя. К чему это может привести?
 
Посмотрим пример. Он сформулирован Бертраном Расселом. Я его немного упрощаю, но сам Рассел обосновал его безукоризненно. 
 
1. Мы допускаем, что существуют множества с произвольными объектами в качестве своих элементов. Тогда
 
2. Ничто не мешает нам определить множество, которое является элементом самого себя, своей собственной частью (например, каталог всех каталогов есть каталог, список всех списков – список, множество всех множеств - множество). Такое множество назовем собственным. А также
 
3. Определим множество, не являющееся своим собственным элементом (например, множество всех котов само котом не является). Такое множество мы назовем несобственным.
 
4. Рассмотрим множество всех несобственных множеств (согласно 1 оно существует). Мы хотим понять, является ли это множество несобственным или же оно собственное?
 
5. Если это множество несобственное, то оно должно быть элементом множества всех несобственных множеств, т.е. быть элементом самого себя, т.е. быть собственным.
 
6. Но, если оно собственное, т.е. является элементом множества всех несобственных множеств, оно, очевидно, несобственно.
 
Тем самым, внутри науки и средствами самой науки мышлением был построен внутренне противоречивый объект. Причем, эта противоречивость бесконечна (в некотором смысле), принципиально неустранима логическими средствами самой науки.
 
(Популярная версия парадокса Рассела выглядит так: в некоторой деревне живет брадобрей, который бреет тех и только тех, кто не бреется сам; должен ли он брить самого себя? если да, то нет; но если нет, то да).
 
Подчеркну: множество всех множеств есть как раз наше абсолютное бесконечное. И допустив его к рассмотрению средствами обычной научной логики, мы впадаем в наразрешимый круговорот противоречия. Это - вторая причина, по который тщательно избегается абстракция абсолютного бесконечного в математике при построении теории множеств.
 
Возникает дилемма:
 
1. Либо мы сохраняем логику в ее прежнем виде, но не допускаем к научному рассмотрению подобные конструкции мышления (а это такие понятия, как «Бог», «мышление», «понятие». На самом деле, всякое понятие может быть «достроено» до бесконечности). Наука признает свою неспособность работать с ними и оставляет их на растерзание донаучных ("иррациональных") форм мышления (интуиции, озарения, откровения и т.п.).
 
2. Либо мы признаем необходимость включения этих конструкций мышления в арсенал познаваемого, но тогда необходимо изменить саму логику познания, научиться мыслить противоречия некоторым адекватным «непротиворечивым» образом. При этом в области конечного понятия наша логика должна совпадать с ее традиционной аристотелевской (или математической, если угодно) предшественницей.
 
Наука в настоящее время избрала первый путь. Сокрушительные результаты Геделя и Тарского – плата за сравнительно спокойную жизнь в области знакомого конечного. И здесь, как выяснилось, не поможет никакая "классическая" неклассическая логика.
 
Прорыв Фихте, Шеллинга и, особенно, Гегеля – второй путь. Здесь плата - непонимание катастрофически сложного способа мышления, каким является диалектика. Это путь философии.
 
Итак, все, что лежит до парадокса Рассела – наука и ее методология. То, что за его пределами – философия. Проблемы современной философии принципиально не могут быть решены внутри науки. Они лежат за ее пределами, хотя ее корни – в ней.
 
одведу итог последним своим постам. 
 
1. Математика - эталон научного мышления. Всякая теория научна настолько, насколько она соответствует этому эталону.
 
2. В математике (как в логике, так и в теории множеств), а следовательно - в науке, обнаружены объекты, с которыми математическое (научное) мышление справиться не способно - это саморефлексивные объекты типа "абсолютное бесконечное".
 
3. Наука объявляет их фикциями недисциплинированного мышления и отмахивается от них, как от несуществующих.
 
4. Однако, она крупно лукавит. Например, она широко использует понятие "определение". Но каково определение определения? Такое определение должно определять самого себя и одновременно быть мерой всех конкретных определений (быть аналогом денег в мире понятий). Также, в науке широко используется понятие различия, которое также не является, строго говоря, научным, ибо, как показал еще Спиноза, различие есть форма противоречия, что недопустимо для математического мышления. Или лежащее в основе математики понятие "язык". Сегодня оно определяется через "метаязык", тот, в свою очередь, определяется через "мета-метаязык" и т.д., прогрессируя в дурную бесконечность, но так и не достигая определенности. 
 
5. Тем самым, мы видим, что математическое мышление понимает само себя не так, как оно являет себя в действительности. 
 
6. И само математическое мышление пытается найти выход из создавшегося положения (например, ныне делаются попытки построить теорию автофункций, примером которых является противоречивый расселовский комбинатор Карри). 
 
7. Мы видели также, что подобные проблемы много ранее возникли в философии и получили свое разрешение в работах Канта и Гегеля.
 
8. Философское решение, в отличие от математического, ставит во главу угла непосредственно абсолютное бесконечное и дополняет логику Аристотеля еще одной логической функцией - функцией самоотрицания абсолютного. 
 
Вот, пожалуй, и все, что нам надо понять, прежде чем приступить к собственно диалектике.