Открытые математические проблемы

Открытые математические проблемы

[править | править код]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

 

 

Перейти к навигацииПерейти к поиску

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.

В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются:

Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большая часть проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.

<input id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" type="checkbox"/>

Содержание

Теория чисел[править | править код]

Основная статья: Открытые проблемы в теории чисел

Геометрия[править | править код]

  • В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу (константы Гервера).
  • На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?[4][5]
  • Существует ли такая константа {\displaystyle A}A, что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь {\displaystyle A}A, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?[6]
  • Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально?[7]
  • Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?[8][9]
  • Найдётся ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?[9][10]
  • Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое).
  • У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?[11]
  • Даны положительные действительные числа {\displaystyle S_{0},\;\ldots ,\;S_{n}}S_0,\\;\\ldots,\\;S_n. Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам?[источник не указан 272 дня]
  • Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?[12]
  • При каком минимальном {\displaystyle V}V любое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма {\displaystyle V?}V?[13]
  • Чему равно хроматическое число {\displaystyle n}n-мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости. Другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет (Проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера).
  • Задача Томсона. Как разместить {\displaystyle n}n одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для {\displaystyle n=2,\;3,\;4,\;6,\;12}n=2,\\;3,\\;4,\\;6,\\;12)[14]. Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из {\displaystyle n}nточек?
  • Как разместить {\displaystyle n}n точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?[15]
  • Для каждой пары натуральных чисел {\displaystyle (n,\;k)}(n,\\;k) найти такое наименьшее действительное число {\displaystyle d(n,\;k)}d(n,\;k), что любое множество единичного диаметра в {\displaystyle n}n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на {\displaystyle k}k подмножеств диаметром не больше {\displaystyle d(n,\;k)}d(n,\;k). Задача решена только в нескольких частных случаях[16][17].
  • Чему равна площадь множества Мандельброта, и где на оси абсцисс расположен его центр масс? Существует оценка 1,506 591 77 ± 0,000 000 08[18].
  • Задача со счастливым концом. При каком минимальном {\displaystyle m}m среди любых {\displaystyle m}m точек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого {\displaystyle n}n-угольника, и верно ли, что {\displaystyle m=1+2^{n-2}}{\\displaystyle m=1+2^{n-2}}? Решение известно только для {\displaystyle n<7}n<7. Результат для {\displaystyle n=6}n=6 (который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.
  • Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Вана, которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат — 11[19].
  • В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой?[20]
  • Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 году[21][22][23].
  • Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1?[источник не указан 272 дня]
  • Гипотеза Боннесена — Фенхеля. Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?[24][25][26]
  • Cуществует ли для каждого многоугольника и {\displaystyle \epsilon >0}\\epsilon > 0 такой многоугольник, все вершины которого расположены на расстоянии, меньшем чем {\displaystyle \epsilon }\\epsilon  от соответствующих вершин начального многоугольника и все стороны и диагонали которого имеют рациональную длину?[27]
  • На сколько равных фигур можно разбить правильный треугольник?[источник?]

Задачи упаковки[править | править код]

  • Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса {\displaystyle R}R?[28]
  • Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?[29]
  • Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?[29]

Многомерные пространства[править | править код]

  • Чему равно контактное число в евклидовых пространствах с размерностью {\displaystyle n>4}n>4? Эта задача решена лишь для {\displaystyle n=8}n=8 (240) и {\displaystyle n=24}n=24 (196 560)[30][31].
  • Задача плотнейшей упаковки шаров в {\displaystyle n}n-мерном евклидовом пространстве для {\displaystyle n>3}n>3. Для трёхмерного пространства эта задача была решена в 1998 году: было доказано, что гипотеза Кеплера справедлива. Однако, существующее доказательство чрезвычайно велико и сложно для проверки[32]. Доказано также, что для {\displaystyle n=8}n=8 и {\displaystyle n=24}n=24 решётки кроме контактного числа реализуют также и плотнейшую упаковку шаров.
  • Гипотеза Келлера. Можно ли заполнить 7-мерное пространство равными 7-мерными гиперкубами так, чтобы никакие два гиперкуба не имели целой общей 6-мерной гиперграни? (Известно, что для пространств размерности меньше 7 ответ отрицателен, а больше 7 — положителен)[33][34]

Механика[править | править код]

  • Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?[7]
  • Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существует гомеоморфизмапространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными?

Алгебра[править | править код]

  • Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы {\displaystyle H}H существует поле алгебраических чисел {\displaystyle \mathbf {F} }\mathbf {F} , такое что {\displaystyle \mathbf {F} }\mathbf {F}  является расширением поля рациональных чисел {\displaystyle \mathbb {Q} }\\mathbb {Q}  и {\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbf {F} /\mathbb {Q} )}\\mathrm{Gal}(\\mathbf{F}/\\mathbb{Q}) изоморфна {\displaystyle H}H.[источник не указан 2134 дня]
  • Любая конечно заданная группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверно[35].
  • Существует ли простая группа, которая не является трансфинитно сверхпростой?[36]
  • Является ли кольцо периодов полем?
  • Проблема О. Ю. Шмидта Существуют ли не квазициклические группы, все собственные подгруппы (подгруппы, отличные от единичной и всей группы) которых конечны?[37]
  • Проблема Л. С. Понтрягина Пусть {\displaystyle G}G — эффективная транзитивная бикомпактная группа преобразований пространства {\displaystyle \Gamma }\Gamma , гомеоморфного {\displaystyle n}n — мерной сфере. Существует ли такое гомеоморфное отображение пространства {\displaystyle \Gamma }\Gamma  на единичную сферу {\displaystyle S^{n}}S^{n} евклидова {\displaystyle (n+1)}(n+1) — мерного пространства, при котором группа {\displaystyle G}G переходит в некоторую группу движений сферы {\displaystyle S^{n}}S^{n}?[38].
  • Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия группоидов, колец и решёток, достижимых на классах всех группоидов, всех колец или решёток?[39].
  • Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия и квазимногообразия полугрупп c несколькими выделенными элементами, колец и решёток, достижимых на классе всех таких полугрупп[39].
  • Существуют ли во множестве групп операции, отличные от операций прямого и свободного умножения и обладающие их основными свойствами?[40]
  • Будет ли множество всех неизоморфных абелевых групп данной мощности {\displaystyle M}M иметь мощность {\displaystyle {2}^{M}}{2}^{M}?[41]
  • Проблема А. И. Мальцева Существует ли такая счётная группа, что всякая счётная группа изоморфна одной из её подгрупп?[42]
  • Проблема отыскания всех гиперкомплексных систем с делением не решена до конца[43].
  • Несколько десятков нерешённых алгебраических задач есть в книге[44].
  • Отсутствует полное описание множества общезначимых формул на алгебраических системах. Неизвестно, замкнуто ли множество {\displaystyle S}S относительно дополнения в множестве {\displaystyle \omega }\\omega [45]

Коуровская тетрадь[править | править код]

Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешённых задач в области теории групп. Издаётся с 1965 года с периодичностью в 2—4 года. Выпускается на русском и английском языках[46][47][48].

Днестровская тетрадь[править | править код]

Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей[49].

Свердловская тетрадь[править | править код]

Представляет собой сборник нерешённых задач теории полугрупп[50][51].

Эрлагольская тетрадь[править | править код]

Представляет собой сборник нерешённых задач алгебры и теории моделей[52].

Анализ[править | править код]

  • Гипотеза Римана. Все ли нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой {\displaystyle \mathrm {Re} (z)=1/2}\\mathrm{Re}(z)=1/2?[53]
  • Чему равна постоянная Миллса? Существующие методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана.
  • До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как {\displaystyle \pi }\pi  и {\displaystyle e}e; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа {\displaystyle \pi }\pi  бесконечное количество раз.
  • Является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным?[54]
  • Является ли {\displaystyle \ln 2}\\ln 2 нормальным числом?[55]
  • Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина, хотя и доказано, что этим свойством обладают почти все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать числа {\displaystyle \pi }\pi , Постоянная Эйлера — Маскерони, сама постоянная Хинчина и многие другие математические константы.
  • Сходятся ли ряды {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}}\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{1}{n^3 \\sin^2 n} и {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\cos ^{2}n}}?}\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{1}{n^3 \\cos^2 n}?[56] Оба ряда имеют спорадически большие значения в числителях, но первый ряд гипотетически сходится около 30,31, а второй — около 43.

Вопросы иррациональности[править | править код]

  • Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: постоянная Эйлера — Маскерони, постоянная Каталана, постоянная Бруна, постоянная Миллса, постоянная Хинчина, числа {\displaystyle \pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2}},2^{e},e^{e},e^{e^{e}}.}\\pi + e, \\pi - e, \\pi \\cdot e, \\frac{\\pi}{e}, \\pi ^ e, \\pi ^{\\sqrt 2}, \\ln \\pi, \\pi ^ \\pi, e^{\\pi^2}, 2^e, e^e, e^{e^e}. Ни для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом[57][58][59][60][61][62].
  • Неизвестно, являются ли {\displaystyle \pi }\pi  и {\displaystyle e}e алгебраически независимыми.
  • Неизвестно, являются ли {\displaystyle {^{n}\pi }}{^{n}\\pi } или {\displaystyle {^{n}e}}{^n e} целыми числами при каком-либо положительном целом {\displaystyle n}n (см. тетрация). Неизвестно даже, является ли {\displaystyle {^{4}\pi }=\pi ^{\pi ^{\pi ^{\pi }}}}{^4\\pi}=\\pi^{\\pi^{\\pi^\\pi}} целым (это число имеет свыше 1017 цифр целой части, и прямое вычисление невозможно).
  • Неизвестно, может ли {\displaystyle {^{n}q}}{^n q} быть целым, если {\displaystyle n}n — положительное целое число, а {\displaystyle q}q — положительное рациональное, но не целое число (в частных случаях {\displaystyle n=1,\,2,\,3}n=1,\\,2,\\,3 ответ отрицателен)[63].
  • Неизвестно, является ли положительный корень уравнения {\displaystyle {^{3}x}=2,\,x=1{,}476\;684\;33\dots }{^3 x}=2, \\, x=1{,}476\\;684\\;33\\dots алгебраическим или трансцендентным числом (хотя известно, что он иррационален).
  • Неизвестно, является ли положительный корень уравнения {\displaystyle {^{4}x}=2,\,x=1{,}446\;601\;43\dots }{^4 x}=2, \\, x=1{,}446\\;601\\;43\\dots рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Аналогичная проблема для тетрации любой большей высоты из любого числа, большего 1, также открыта.
  • Неизвестна точная мера иррациональности для каждого из следующих иррациональных чисел: {\displaystyle \pi ,\pi ^{2},\ln 2,\ln 3,\zeta (3)}\\pi, \\pi^2, \\ln 2, \\ln 3, \\zeta(3)[64].
  • Неизвестно, является ли первое число Скьюза {\displaystyle e^{e^{e^{79}}}}e^{e^{e^{79}}} целым числом.
  • Трансцендентны ли значения дзета-функции Римана {\displaystyle \zeta (2n+1)}\\zeta(2n+1) для всех натуральных {\displaystyle n}n?
  • Трансцендентны ли значения гамма-функции {\displaystyle \Gamma (1/n)}\\Gamma(1/n) для всех целых {\displaystyle n>1}n>1? Известно, что Γ(1/2), Γ(1/3),[65] Γ(1/4),[66] и Γ(1/6) трансцендентны.[66]
  • Трансцендентны ли постоянные Фейгенбаума?
  • Трансцендентна ли постоянная Пелля?[67]
  • Всякая ли бесконечная непериодическая непрерывная дробь с ограниченными членами — трансцендентна?
  • Существуют ли Т-числа по классификации К. Малера?[68][69]
  • Список из нескольких нерешенных задач, связанных с гипотезой Малера, есть в книге[70].

Комбинаторика[править | править код]

  • Существование матрицы Адамара порядка, кратного 4.
  • Существование конечной проективной плоскости натурального порядка, не являющегося степенью простого числа.
  • Гипотеза Эрдёша — Реньи. Если {\displaystyle k}k — фиксированное целое число {\displaystyle k\geqslant 3}k\geqslant 3, то {\displaystyle \liminf(\mathrm {per} \,(A))^{\frac {1}{n}}>{1}} \\liminf (\\mathrm{per}\\,(A))^{\\frac{1}{n}} > {1} для {\displaystyle A} A  из {\displaystyle \Lambda _{n}^{k}} \Lambda_{n}^{k} . Здесь {\displaystyle \mathrm {per} \,(A)}\\mathrm{per}\\,(A)  — перманент матрицы {\displaystyle A} A , {\displaystyle \Lambda _{n}^{k}} \Lambda_{n}^{k}  — множество всех {\displaystyle (0,\;1)} (0,\\; 1)  — матриц порядка {\displaystyle n}n c {\displaystyle k}k единицами в каждой строке и каждом столбце[71].
  • Числа Рамсея {\displaystyle N(q_{1},q_{2},...,q_{t};r)}{\\displaystyle N(q_{1},q_{2},...,q_{t};r)} для случая {\displaystyle t>2}{\\displaystyle t>2} почти неизучены[72].
  • Задача нахождения минимума перманента дважды стохастической матрицы в общем случае не решена[73].
  • Не известны необходимые и достаточные условия, при которых существует общая трансверсаль для трёх семейств подмножеств[74].

Комбинаторная геометрия[править | править код]

Теория графов[править | править код]

  • Гипотеза Каццетты — Хаггвиста — ориентированный граф, имеющий {\displaystyle n}n вершин, из каждой вершины которого выходит не менее {\displaystyle m}m рёбер, имеет замкнутый контур длиной не более {\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil }\\left\\lceil \\frac{n}{m} \\right\\rceil[78].
  • Гипотеза Хадвигера (теория графов) — каждый {\displaystyle n}n-хроматический граф стягиваем к полному графу {\displaystyle K_{n}}K_n[79].
  • Гипотеза Улама:[80]
    • а) всякий граф с более чем двумя вершинами однозначно определяется набором графов, где каждый граф из набора получен удалением одной из вершин исходного графа;
    • б) всякий граф с более чем тремя вершинами однозначно определяется множеством графов, где каждый граф из множества получен удалением одной из вершин исходного графа.
  • Гипотеза Харари (слабая форма гипотезы Улама) — если граф имеет более трёх рёбер, то его можно однозначно восстановить по подграфам, полученным удалением единственного ребра[80].
  • В любом графе, не содержащем мостов (рёбер, удаление которых увеличивает число компонент связности графа), можно выбрать множество простых циклов, такое, что каждое ребро принадлежит ровно двум из них.
  • В любом кубическом графе можно выбрать 6 1-факторов так, чтобы каждое ребро принадлежало ровно двум из них.
  • Гипотеза Рамачандрана — любой орграф {\displaystyle N}N-реконструируем[81].
  • Гипотеза о восстановлении — если заданы классы изоморфизма всех {\displaystyle k}k примарных подграфов некоторого графа, то при {\displaystyle k\geqslant 3}k \geqslant 3 класс изоморфизма этого графа определяется однозначно[82].
  • Гипотеза Конвея о трекле — в любом трекле (сеть, в котором каждые два ребра имеют общую точку) число линий меньше или равно числу точек[83].
  • Гипотеза Рингеля — Коцига — все деревья являются грациозными.
  • Гипотеза о двойном покрытии циклами — для любого графа без мостов существует мультимножество простых циклов, покрывающих каждое ребро графа в точности два раза.
  • Проблема Кёнига — какие условия необходимы и достаточны, чтобы для заданной на множестве {\displaystyle V}V группы подстановок {\displaystyle \Gamma }\Gamma  существовал такой граф {\displaystyle G}G с множеством вершин {\displaystyle V}V, что {\displaystyle AutG=\Gamma }{\\displaystyle AutG=\\Gamma }[84]
  • Большое количество нерешённых проблем теории графов есть в статье[85].

Теория узлов[править | править код]

Теория алгоритмов[править | править код]

Вопросы алгоритмической разрешимости[править | править код]

  • Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений степени 3: существует ли алгоритм, позволяющий по любому диофантовому уравнению степени 3 определить, имеет ли оно решения?
  • Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений в рациональных числах. Как узнать по произвольному диофантову уравнению, разрешимо ли оно в рациональных (не обязательно целых) числах и можно ли это узнать вообще (то есть возможен ли соответствующий алгоритм)?[87][88][89]
  • Алгоритмическая разрешимость проблемы умирающей матрицы для матриц порядка 2. Существует ли алгоритм, позволяющий для данного конечного множества квадратных матриц {\displaystyle 2\times 2}2\\times 2 определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее нулевую матрицу[90].
  • Расширение класса выражений, для которых известен алгоритм, определяющий, равно ли выражение нулю (Проблема констант (англ.)). Для каких классов выражений эта задача алгоритмически неразрешима?
  • Существует ли алгоритм, позволяющий узнать по целочисленной матрице, существует ли её степень, имеющая нуль в правом верхнем углу?[89]
  • Вопрос равенства двух элементов кольца периодов. Существует ли алгоритм, позволяющий по двум заданным полиномиальным системам неравенств на конечное число переменных с рациональными коэффициентами определить, одинаковую ли площадь имеют ограниченные ими области в {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}{\\displaystyle {\\mathbb {R} }^{n}}?

Теория сложности вычислений[править | править код]

Другие проблемы теории алгоритмов[править | править код]

  • Проблема «усердного бобра» (англ.)[95]. Сколько ходов может продержаться (незацикливающаяся) машина Тьюринга с {\displaystyle n}n состояниями и алфавитом {\displaystyle \{0,\;1,\;2,\;...,\;m\}}{\\displaystyle \\{0,\\;1,\\;2,\\;...,\\;m\\}} на заполненной нулями ленте? Сколько ненулевых символов она напечатает? Известно, что нет алгоритма (а значит, и рекурсивно аксиоматизируемой формальной теории), который может решить этот вопрос для всех {\displaystyle n}n, что обе функции растут быстрее любой вычислимой функции, и пока известны только значения для {\displaystyle n<5}n<5[96].
  • Существует ли алгоритм, распознающий для любых двух трёхмерных многообразий, заданных своими триангуляциями, гомеоморфны ли они?[89]
  • Существует ли алгоритм, распознающий по произвольной позиции игры «Жизнь», «вымрет» ли она (станут ли в итоге все клетки пустыми)?[89]
  • Существует ли теорема о полноте для решётки Мучника?[89]
  • Существует ли алгоритм, определяющий разрешимость и арифметичность множества реализуемых и множества неопровержимых пропозициональных формул?[89]
  • Существуют ли в обычных алгебраических системах алгебраически корректные массовые проблемы различной сложности?[89]
  • Существует ли алгебраическая система, для которой равномерная эквивалентность отличается от программной или программная от проблемной?[89]
  • Восемь нерешенных задач теории алгоритмов сформулировано в книге[97].

Аксиоматическая теория множеств[править | править код]

  • В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.
  • Проблема Скулема. Рассмотрим множество {\displaystyle S}S функций одного натурального переменного {\displaystyle n}n, построенных из термов {\displaystyle 1,n}1, n и замкнутых относительно сложения, умножения и возведения в степень. Для функций {\displaystyle f,\;g}f,\\;g из этого множества будем писать {\displaystyle f\preccurlyeq g}f \\preccurlyeq g, если {\displaystyle f(n)\leqslant g(n)}f(n) \\leqslant g(n) выполняется для всех достаточно больших {\displaystyle n}n. Известно, что отношение {\displaystyle \preccurlyeq }\\preccurlyeqвполне упорядочивает множество {\displaystyle S}S. Какой ординал соответствует этому упорядочению? (Известно, что он не меньше чем {\displaystyle \varepsilon _{0}}\\varepsilon _{0} и не больше чем первый критический ординал {\displaystyle \tau _{0}=\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}}}\\tau_0 = \\varepsilon_{\\varepsilon_{\\varepsilon_{\\cdot_{\\cdot_{\\cdot}}}}})[98][99] Аналогичные вопросы возникают при добавлении в множество разрешённых операторов дополненная тетрации, пентации и гипероператоров более высоких порядков (проблема Скулема, дополненная только тетрацией, была решена в 2010 году)[100][101].
  • Существует ли линейно упорядоченное множество с порядковым типом (англ.) {\displaystyle \alpha }\\alpha , удовлетворяющим условиям {\displaystyle \alpha \neq \alpha ^{2}}\\alpha\\neq\\alpha^2 и {\displaystyle \alpha =\alpha ^{3}}\\alpha=\\alpha^3?[102]
  • В теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора неизвестно, существуют ли регулярные кардиналы {\displaystyle \aleph _{\alpha }}\\aleph_{\\alpha}, большие {\displaystyle \aleph _{0}}\\aleph_{0} [103].
  • Проблема сингулярных кардиналов. Для каких функций {\displaystyle G(k)}G(k) существует модель Цермело — Френкеля, в которой {\displaystyle k^{cf(k)}=G(k)}k^{cf(k)} = G(k) для всех кардиналов {\displaystyle k}k[104].
  • Верно ли, что если непротиворечива система аксиом Цермело — Френкеля вместе с аксиомой выбора, то непротиворечива система аксиом Цермело — Френкеля, принцип зависимого выбора и каждое множество действительных чисел есть измеримое по Лебегу множество?[105]
  • Не приведёт ли к противоречию предположение существования таких кардинальных чисел {\displaystyle {\mathfrak {m}}>\aleph _{0}}\\mathfrak{m} > \\aleph_{0}, что декартово произведение m-компактных пространств всегда m-компактно. Неизвестно также, совпадало бы наименьшее из этих чисел с наименьшим измеримым числом или нет[106].
  • По проблеме континуума известны лишь теорема Гёделя (континуум-гипотеза не может быть опровергнута на основе аксиом арифметики и теории множеств) и теорема Коэна (континуум-гипотеза не может быть доказана на основе аксиом арифметики и теории множеств). Законченная теория по проблеме континуума отсутствует.[107]
  • Проблема континуума разрешима в языке второго порядка теории множеств, но её решение там неизвестно.[107]
  • Неизвестно доказательство непротиворечивости евклидовой геометрии[108]
  • Неизвестно доказательство непротиворечивости системы действительных чисел[109]
  • Существуют ли измеримые кардинальные числа?[110]

Теория доказательств[править | править код]

  • Какое самое короткое неразрешимое утверждение существует в арифметике Пеано?[111] Неразрешимое утверждение теории — это утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в данной теории. Доказательства теорем Гёделя демонстрируют, как можно строить такие утверждения, но получающиеся утверждения оказываются весьма значительного размера, будучи записанными на формальном языке арифметики.
  • Формулировки шести нерешённых задач теории доказательств есть в книге[112]

Вычислительная математика[править | править код]

Дифференциальные уравнения[править | править код]

<dl>

{\displaystyle {\ddot {x}}-\lambda (1-x^{2}){\dot {x}}+\omega ^{2}x=0}\\ddot x - \\lambda (1-x^2)\\dot x + \\omega ^ 2 x = 0

</dl>

<dl>

{\displaystyle {\ddot {x}}+\omega ^{2}x=-\mu x^{3}}\\ddot x + \\omega^{2} x = - \\mu x^{3}

</dl>

<dl>

{\displaystyle {\ddot {x}}+\omega ^{2}x=-\mu x\cos 2t}\\ddot x + \\omega^{2} x = - \\mu x \\cos 2t

</dl>

  • Гипотеза Абловица — Рамани — Сегура. Все обыкновенные дифференциальные уравнения, полученные из полностью интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных, обладают свойством Пенлеве (положение любой алгебраической, логарифмической или существенной особенности решений уравнения не зависит от начальных условий, от произвольных констант интегрирования зависит только положение полюсов)[117].
  • Имеет ли гамильтонова система, интегрируемая по Лиувиллю, эквивалентную формулировку с помощью лаксовой пары, и если имеет, то как её построить?[118]
  • Отсутствует общая теория дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа [119].

Теория вероятностей[править | править код]

  • Неизвестны необходимые и достаточные условия принадлежности безгранично делимого закона распределения случайной величины в одномерном и многомерном случаях к классу законов, не имеющих неразложимых компонент[120].
  • Неизвестна точная аналитическая формула для вероятностного распределения площадей фигур, определяемых случайными прямыми на плоскости[121].
  • Проблема Кантелли: пусть {\displaystyle \xi }\\xi и {\displaystyle \eta }\\eta  - независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение {\displaystyle N(0,1)}{\\displaystyle N(0,1)}. {\displaystyle f(x)}f(x) - измеримая неотрицательная функция. Известно, что случайная величина {\displaystyle \xi +f(\xi )\eta }{\\displaystyle \\xi +f(\\xi )\\eta } имеет нормальное распределение. Следует ли отсюда, что {\displaystyle f(x)}f(x) почти всюду постоянна?[122]
  • Неизвестны многомерные обобщения теоремы Титчмарша - Пойи[123].

Уравнения математической физики[править | править код]

  • Отсутствует строгое математическое обоснование метода континуального интегрирования в квантовой теории поля[124][125].
  • Континуальные интегралы удаётся вычислить только для случая гауссовых квадратур. В общем случае способ вычисления континуальных интегралов неизвестен[126][125].
  • Неизвестно точное решение уравнения Шрёдингера для многоэлектронных атомов[127].
  • В квантовой механике при решении задачи о рассеянии двух пучков на одном препятствии сечение рассеяния получается бесконечно большим[128]
  • Уравнения Навье — Стокса. Существует ли гладкое решение уравнения Навье-Стокса в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени?[129]
  • Уравнение Эйлера. Существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени?[130]
  • В гидродинамике есть сотни нерешённых задач[131].
  • Отсутствует законченная теория, объясняющая происхождение и эволюцию магнитного поля Земли[132].
  • Гипотеза Йоргенса Пусть {\displaystyle M\subset R^{n}}M \\subset R^{n} — открытое множество, дополнение которого имеет меру нуль. Пусть {\displaystyle V}V и {\displaystyle W}W непрерывны на {\displaystyle M}M и оператор Шрёдингера {\displaystyle -\Delta +V}-\\Delta+V ограничен снизу и самосопряжён в существенном на {\displaystyle C_{0}^{\infty }(M)}C_{0}^{\infty}(M). Если {\displaystyle W\geqslant V}W \\geqslant V, то {\displaystyle -\Delta +W}-\\Delta+W также самосопряжён в существенном на {\displaystyle C_{0}^{\infty }(M)}C_{0}^{\infty}(M)[133][134].
  • Можно ли обобщить систему аксиом Хаага — Кастлера путём использования вместо принципа инвариантности относительно группы Пуанкаре принципа общей ковариантности?[125]
  • Квантование полей Янга — Миллса[135].
  • Неизвестна точная формула для вычисления постоянной Маделунга[136].
  • Неизвестно точное решение задачи Изинга в трёхмерном случае[137].
  • Неизвестны точные формулы для силы отталкивания между остатками атомов в ионном кристалле[138].
  • Неизвестно доказательство принципа космической цензуры, а также точная формулировка условий, при которых он выполняется[139].
  • Отсутствует полная и законченная теория магнитосферы чёрных дыр[140].
  • Неизвестна точная формула для вычисления числа различных состояний системы, коллапс которой приводит к возникновению чёрной дыры с заданными массой, моментом количества движения и зарядом[141].
  • Неизвестно доказательство в общем случае «теоремы об отсутствии волос» у чёрной дыры[142].
  • Отсутствует общая теория корректных краевых условий для обобщённых дифференциальных операторов с переменными коэффициентами[143].
  • Неизвестно общее доказательство, что ряд теории возмущений для электронов в зоне проводимости металлов сходится[144].
  • Не удаётся удовлетворительно рассчитать эффективную массу электронов при движении в магнитном поле в металлах по Ферми-поверхности[145] и для электронное теплоёмкости[146].
  • Неизвестен метод расчёта структурных факторов для жидких металлов[147].
  • Существуют ли дифференциальные уравнения в частных производных, отличные от обычного волнового уравнения, но решения которых удовлетворяют принципу Гюйгенса?[148]
  • Основная проблема аксиоматической квантовой теории поля. Неизвестна теория, удовлетворяющая всем аксиомам аксиоматической квантовой теории поля и описывающая взаимодействующие поля и нетривиальную матрицу рассеяния[149].
  • Неизвестно описание класса обобщённых функций {\displaystyle F_{4}}{\\displaystyle F_{4}}, удовлетворяющих условию для двухточечной функции Уайтмана[150]:{\displaystyle \int \int \int f(x_{2},x_{1})f(x_{3},x_{4})F_{4}(x_{1}-x_{2},x_{2}-x_{3},x_{3}-x_{4})\prod _{i=1}^{4}d^{4}x_{i}\geqslant 0}{\\displaystyle \\int \\int \\int f(x_{2},x_{1})f(x_{3},x_{4})F_{4}(x_{1}-x_{2},x_{2}-x_{3},x_{3}-x_{4})\\prod _{i=1}^{4}d^{4}x_{i}\\geqslant 0}.
  • Неизвестно доказательство эргодической гипотезы для произвольных динамических систем[151].
  • Неизвестно решение задачи сращивания решений уравнения Больцмана по обе стороны от ударного слоя по теории Чепмена-Энскога[152].

Теория игр[править | править код]

  • Отсутствует общая математическая теория игр, проводимых на пространстве функций (поскольку мощность множества действительных функций существенно превышает мощность континуума)[153].
  • Отсутствует общая математическая теория псевдоигр (конфликтных ситуаций, не являющихся играми)[153].
  • Отсутствует общая математическая теория некооперативных игр {\displaystyle n}n лиц для {\displaystyle n>2}n > 2[153].
  • Формулировки {\displaystyle 8}8 нерешённых проблем теории игр есть в книге [154].
  • Не решена задача построения алгоритмов обучения решению игр, когда элементы платёжной матрицы не постоянны, а представляют собой случайные величины, либо неизвестны (игра вслепую)[155].

Теория представлений групп[править | править код]

  • Гипотеза Ленглендса. Любое неприводимое представление вещественной полупростой группы Ли {\displaystyle G}G, входящее в дискретную часть разложения регулярного представления, реализуется в пространстве {\displaystyle L^{2}}L^{2} — когомологий подходящего пучка на пространстве {\displaystyle X=G/H}X = G/H, где {\displaystyle H}H — компактная картановская подгруппа в {\displaystyle G}G[156].

Общая топология[править | править код]

Линейная алгебра[править | править код]

  • Проблема Фреше о максимуме определителя Найти максимум определителя {\displaystyle \Delta _{n}=\det \|\varepsilon _{ij}\|\ (i,\;j=1,\;2,\;\ldots ,\;n),}{\\displaystyle \\Delta _{n}=\\det \\|\\varepsilon _{ij}\\|\\ (i,\\;j=1,\\;2,\\;\\ldots ,\\;n),} где все {\displaystyle \varepsilon _{ij}}\\varepsilon_{ij} равны {\displaystyle \pm 1}\\pm 1. Известны лишь оценки {\displaystyle {\sqrt {n!}}\leqslant \max \mid \Delta _{n}\mid \leqslant n^{\frac {1}{2}}}{\\displaystyle {\\sqrt {n!}}\\leqslant \\max \\mid \\Delta _{n}\\mid \\leqslant n^{\\frac {1}{2}}}[164].

Теория случайных процессов[править | править код]

  • Задача определения закона распределения {\displaystyle p(n,\;T)}p(n,\\;T) числа выбросов случайного процесса в общем случае не имеет законченного и компактного решения[165].
  • Задача определения закона распределения абсолютных максимумов случайного процесса решена только для марковских процессов. Для остальных процессов точное решение неизвестно[166].
  • Пусть частица блуждает в пространстве {\displaystyle Z^{n}}{\\displaystyle Z^{n}}: выходит из {\displaystyle 0}{\\displaystyle 0} и в дискретные моменты времени {\displaystyle 1,2,...}{\\displaystyle 1,2,...} совершает с вероятностью {\displaystyle p={\frac {1}{2^{n}}}}{\\displaystyle p={\\frac {1}{2^{n}}}} единичный скачок в одну из {\displaystyle 2^{n}}2^{n} соседних точек. Какова вероятность того, что после {\displaystyle k}k шагов траектория частицы ни разу не пересекала себя? Каково математическое ожидание расстояния конца несамопересекающейся траектории от начала координат?[167]
  • Проблема Колмогорова: Имеется семейство {\displaystyle f_{j}(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{j-1}),j\in \left\{2,3,...,k\right\}}{\\displaystyle f_{j}(\\lambda _{1},\\lambda _{2},...,\\lambda _{j-1}),j\\in \\left\\{2,3,...,k\\right\\}} (в общем случае комплекснозначных) интегрируемых функций. Какие условия (эффективно проверяемые) необходимо наложить на эти функции, чтобы для некоторого случайного поля {\displaystyle \xi (t)\in D^{(k)}}{\\displaystyle \\xi (t)\\in D^{(k)}} при {\displaystyle t\in R^{n},\lambda _{j}\in R^{n},i={\bar {1,j-1}}}{\\displaystyle t\\in R^{n},\\lambda _{j}\\in R^{n},i={\\bar {1,j-1}}} или при {\displaystyle t\in Z^{n},\lambda _{i}\in \left[-\pi ,\pi \right],i={\bar {1,j-1}}}{\\displaystyle t\\in Z^{n},\\lambda _{i}\\in \\left[-\\pi ,\\pi \\right],i={\\bar {1,j-1}}} эти функции были спектральными плотностями {\displaystyle j}j-го порядка, {\displaystyle j\in \left\{2,3,...,k\right\}}{\\displaystyle j\\in \\left\\{2,3,...,k\\right\\}}?[168]

Функциональный анализ[править | править код]

  • Список из 22 нерешённых задач теории операторов в банаховом пространстве есть в книге[169].
  • Список из 6 нерешённых задач теории эллиптических операторов в комплексных аналитических многообразиях есть в книге[170].

Теория динамических систем[править | править код]

  • Неизвестно, является ли система из двух и более твёрдых бильярдных шаров К-потоком при несингулярных взаимодействиях[171].
  • Существует ли универсальный сценарий перехода динамических систем к хаосу? [172]
  • Возможно ли описание процесса усложнения хаоса в терминах бифуркаций? [172]

 

Риманова геометрия[править | править код]

  • Проблема Хопфа Существует ли на дифференцируемом многообразии {\displaystyle S^{2}\times S^{2}}S^{2} \\times S^{2} риманова метрика положительной кривизны?[173].

Исследование операций[править | править код]

  • Не существует комбинаторного метода решения целочисленных задач линейного программирования с полиномиальной (в отличие от экспоненциальной) оценкой трудоёмкости?[174].
  • Отсутствует общая теория алгоритмических методов оптимизации, позволяющая обеспечить ускорение сходимости и выбор шага итерации в общем случае многошаговых алгоритмов[175].
  • Неизвестны условия сходимости почти наверное в область для многошаговых алгоритмов адаптации и обучения[176].
  • Неизвестны правила определения момента установления стационарности алгоритма адаптации и обучения[176].
  • Неизвестны оценки зависимости точности аппроксимации от числа функций и оценки времени обучения для алгоритмов опознавания[177].
  • Неизвестны общие способы получения несмещённых оценок при заданном критерии оптимальности в задачах идентификации[178].
  • Неизвестны общие правила выбора системы функций в задачах фильтрации[179].
  • Неисследована связь между скоростью изменения внешних воздействий и длительностью процесса адаптации фильтра[179].
  • Неизвестны способы использования априорной информации о распределениях случайных величин для построения адаптивных фильтров[179].
  • Неизвестен способ применения адаптивного подхода при ускоренных испытаниях на надёжность[180].
  • Отсутствует общая теория сетевого планирования с применением адаптивного подхода при недостаточной априорной информации[181].
  • Можно ли произвольную вероятностно-операторную меру реализовать посредством некоторого физического прибора?[182]
  • Неизвестны методы решения оптимизационых уравнений квантовой теории принятия решений и оценивания[183].
  • Каким образом точность оценок зависит от числа наблюдений в квантовой теории оценивания?[183]
  • Список из {\displaystyle 20}20 нерешённых проблем теории адаптивных и обучающихся систем есть в статье[184]

Алгебраическая геометрия[править | править код]

  • Список из восьми нерешённых проблем алгебраической геометрии есть в книге[185].
  • Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера. При каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах?[186]
  • Гипотеза Ходжа. На любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов[187].

Теория автоматов[править | править код]

  • Можно ли формализовать математически способность к самовоспроизведению сотообразных структур?[188]
  • Неизвестен способ определения, насколько сложной должна быть система (например, молекула), образованная из частей, для того, чтобы быть способной к самовоспроизведению и эволюции с усложнением потомства?[188]
  • Может ли сотообразная структура иметь самовоспроизводящиеся конфигурации, но не иметь стираемых конфигураций?[189]
  • Каким способом можно добиться, чтобы машины осуществляли самовоспроизведение не последовательно, а параллельно?[189]

Вариационное исчисление[править | править код]

  • Формулировки более {\displaystyle 20}20 нерешённых проблем вариационного исчисления, связанных с вариациями множеств и функций, приведены в книге[190].

Многомерный комплексный анализ[править | править код]

  • Перечисление {\displaystyle 9}9 нерешённых задач многомерного комплексного анализа есть в книге[191].

Оптимальное управление[править | править код]

  • Подробное обсуждение {\displaystyle 12}12 нерешенных проблем теории оптимального управления есть в книге[192].
  • Список {\displaystyle 80}{\\displaystyle 80} нерешённых задач оптимального управления сингулярными системами с распределенными параметрами есть в книге[193].

Известные проблемы, недавно решённые[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

↑ Показывать компактно

  1. Перейти↑ Стюарт, 2015, с. 37.
  2. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Число ван дер Вардена (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Перейти↑ Стюарт, 2015, с. 406.
  4. Перейти↑ Unsolved Problem 26: Given a simple closed curve in the plane, can we always find four points on this curve that are the vertices of a square? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
  5. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Square Inscribing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Перейти↑ Unsolved Problem 33: Is there a constant, A, such that any set in the plane of area A must contain the vertices of a triangle with area 1? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
  7. ↑ Перейти к:1 2 Улам С. Глава III // Нерешённые математические задачи. — Наука, 1964.
  8. Перейти↑ Unsolved Problem 22: Is there a triangle with integer sides, medians, and area? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
  9. ↑ Перейти к:1 2 Weisstein, Eric W. Rational Distance Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  10. Перейти↑ Unsolved Problem 13: Is there a point in the plane that is at a rational distance from each of the four corners of a unit square? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
  11. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Shephard's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  12. Перейти↑ Удивительные объёмы многогранников
  13. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Tetrahedron Circumscribing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  14. Перейти↑ Задача Томсона
  15. Перейти↑ Unsolved Problem 23: How should you locate 13 cities on a spherical planet so that the minimum distance between any two of them is as large as possible?Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
  16. Перейти↑ Decomposing the 2-Sphere into Domains of Smallest Possible Diameter
  17. Перейти↑ Noga Alon (англ.), Discrete mathematics: methods and challenges
  18. Перейти↑ Pixel Counting, Mu-Ency at MROB
  19. Перейти↑ Jeandel, Emmanuel & Rao, Michael (2015), "An aperiodic set of 11 Wang tiles", CoRR. (Показан непериодический набор из 11 плиток с 4 цветами.)}
  20. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Illumination Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  21. Перейти↑ Integer distances
  22. Перейти↑ Tobias Kreisel, Sascha Kurz, There are integral heptagons, no three points on a line, no four on a circle
  23. Перейти↑ Erich Friedman, Unsolved Problems in Planar Geometry
  24. Перейти↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1934. — S. 127—139. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1). (нем.)
  25. Перейти↑ Kawohl B. Convex Sets of Constant Width (англ.) // Oberwolfach Reports. — Zurich: European Mathematical Society Publishing House, 2009. — Vol. 6, no. 1. — P. 390—393.
  26. Перейти↑ Anciaux H., Guilfoyle B. On the Three-Dimensional Blaschke-Lebesgue Problem (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society. — Providence: American Mathematical Society, 2011. — Vol. 139, no. 5. — P. 1831—1839. — ISSN 0002-9939. — DOI:10.1090/S0002-9939-2010-10588-9. arXiv:0906.3217
  27. Перейти↑ Дороговцев, 1983, с. 96.
  28. Перейти↑ Packing Equal Circles on a Sphere
  29. ↑ Перейти к:1 2 Weisstein, Eric W. Circle Packing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  30. Перейти↑ Контактное число
  31. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Контактное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  32. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Гипотеза Кеплера (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  33. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Keller's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  34. Перейти↑ Integer distances
  35. Перейти↑ R. Grigorchuk, I. Pak Groups of Intermediate Growth: an Introduction for Beginners на arXiv
  36. Перейти↑ Sharipov, R.A. (2009), "Transfinite normal and composition series of groups", arΧiv:0908.2257 [math.GR]
  37. Перейти↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1972. — С. 30.
  38. Перейти↑ Л.С. Понтрягин. Непрерывные группы. — Наука, 1972. — 349 с.
  39. ↑ Перейти к:1 2 А.И. Мальцев. Алгебраические системы. — Наука, 1970. — 299 с.
  40. Перейти↑ Курош, Теория групп, 1967, с. 424.
  41. Перейти↑ Курош, Теория групп, 1967, с. 426.
  42. Перейти↑ Курош, Теория групп, 1967, с. 429.
  43. Перейти↑ Гиперкомплексные числа, 1973, с. 4.
  44. Перейти↑ Свободные кольца и их связи, 1975.
  45. Перейти↑ Ершов, 1987, с. 110.
  46. Перейти↑ Коуровская тетрадь (нерешённые вопросы теории групп) / Ред. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, В. Н. Ремесленников. — 4-е изд. — Новосибирск: Институт математики Сибирского отделения АН СССР, 1973.
  47. Перейти↑ Нерешённые вопросы теории групп. Коуровская тетрадь / Сост. В. Д. Мазуров, Е. И. Хухро. — 18 изд. доп. — Новосибирск: Институт математики Сибирского отделения РАН, 2014. — 253 с.
  48. Перейти↑ Нерешённые вопросы теории групп. Коуровская тетрадь / Сост. В. Д. Мазуров, Е. И. Хухро. — 19 изд. доп. — Новосибирск: Институт математики Сибирского отделения РАН, 2018. — 248 с.
  49. Перейти↑ Днестровская тетрадь. Нерешённые проблемы теории колец и модулей / Сост. В. Т. Филиппов, В. К. Харченко, И. П. Шестаков. — 4-е изд. — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1993. — 73 с.
  50. Перейти↑ Свердловская тетрадь: Сб. нерешённых задач по теории полугрупп.. — Свердловск: Уральский государственный университет, 1979. — 41 с.
  51. Перейти↑ Свердловская тетрадь: Сб. нерешённых задач по теории полугрупп.. — Свердловск: Уральский государственный университет, 1989.
  52. Перейти↑ Эрлагольская тетрадь. Избранные открытые вопросы по алгебре и теории моделей, поставленные участниками Эрлагольских школ-конференций / Сост. А. Г. Пинус, Е. Н. Порошенко, С. В. Судоплатов. — Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2018. — 40 с. — ISBN 978-5-7782-3548-9.
  53. Перейти↑ Стюарт, 2015, с. 225.
  54. Перейти↑ Scalable Uncertainty Management: 9th International Conference, SUM 2015, Québec City, QC, Canada, September 16-18, 2015. Proceedings. — Springer, 2015-09-15. — С. 5. — 427 с.
  55. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Натуральный логарифм 2 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  56. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Flint Hills Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  57. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Иррациональное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  58. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Pi (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  59. Перейти↑ Weisstein, Eric W. e (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  60. Перейти↑ Some unsolved problems in number theory
  61. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Трансцендентное число (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  62. Перейти↑ An introduction to irrationality and transcendence methods
  63. Перейти↑ Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, «A rational number of the form aa with a irrational» // Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106—109.
  64. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Measure.html Мера иррациональности (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  65. Перейти↑ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables (). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
  66. ↑ Перейти к:1 2 Chudnovsky, G. V. Contributions to the Theory of Transcendental Numbers. — Providence, RI : American Mathematical Society, 1984. — ISBN 0-8218-1500-8. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
  67. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Постоянная Пелля (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  68. Перейти↑ Спринджук В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1965. — Т. 29, № 2. — С. 379—436.— URL: http://mi.mathnet.ru/izv2913
  69. Перейти↑ Спринджук, 1967, с. 8.
  70. Перейти↑ Спринджук, 1967, с. 150—154.
  71. Перейти↑ Минк Х. Перманенты. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1982. — 211 с.
  72. Перейти↑ Рыбников, 1972, с. 96.
  73. Перейти↑ Рыбников, 1972, с. 110.
  74. Перейти↑ Капитонова, 2004, с. 530.
  75. Перейти↑ Болтянский, 1965, с. 47.
  76. Перейти↑ Болтянский, 1965, с. 83.
  77. Перейти↑ Грюнбаум, 1971, с. 6.
  78. Перейти↑ Caccetta-Häggkvist Conjecture (1978)
  79. Перейти↑ Лекции по теории графов, 1990, с. 264.
  80. ↑ Перейти к:1 2 Лекции по теории графов, 1990, с. 18.
  81. Перейти↑ Лекции по теории графов, 1990, с. 286.
  82. Перейти↑ Теория графов, 1988, с. 154.
  83. Перейти↑ Стюарт, 2015, с. 407.
  84. Перейти↑ Лекции по теории графов, 1990, с. 47.
  85. Перейти↑ В. Г. Визинг Некоторые нерешенные задачи в теории графов // УМН, 23:6(144) (1968), 117–134; Russian Math. Surveys, 23:6 (1968), 125–141
  86. Перейти↑ Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3678-1
  87. Перейти↑ Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done
  88. Перейти↑ Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993.
  89. ↑ Перейти к:1 2 3 4 5 6 7 8 Успенский В. А., Семёнов А. Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. — Наука, 1987.
  90. Перейти↑ When is a pair of matrices mortal?
  91. Перейти↑ Разборов, 2016, с. 24.
  92. Перейти↑ Weisstein, Eric W. Изоморфизм графов (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  93. Перейти↑ «Even if someone manages to prove one of the conjectures—thereby demonstrating that ω = 2—the wreath product approach is unlikely to be applicable to the large matrix problems that arise in practice. (…) the input matrices must be astronomically large for the difference in time to be apparent.»Le Gall, François (2014), "Powers of tensors and fast matrix multiplication", Proceedings of the 39th International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC 2014)
  94. ↑ Перейти к:1 2 Разборов, 2016, с. 9.
  95. Перейти↑ И. В. Абрамов. Теория автоматов, языков и вычислений. — <abbr title="Москва">М.</abbr>, 2003.
  96. Перейти↑ последовательность A028444 в OEIS
  97. Перейти↑ Эббинхауз, 1972, с. 245—247.
  98. Перейти↑ Transfinite Ordinals and Their Notations
  99. Перейти↑ Site Maintenance
  100. Перейти↑ Skolem + Tetration Is Well-Ordered
  101. Перейти↑ The Ordinal of Skolem + Tetration Is τ0
  102. Перейти↑ Вацлав Серпинский. Cardinal And Ordinal Numbers. — Варшава: Polish Scientific Publishers, 1965. (англ.)
  103. Перейти↑ Теория множеств и метод форсинга, 1973, с. 17.
  104. Перейти↑ Теория множеств и метод форсинга, 1973, с. 66.
  105. Перейти↑ Теория множеств и метод форсинга, 1973, с. 81.
  106. Перейти↑ Теория множеств, 1970, с. 324.
  107. ↑ Перейти к:1 2 Ю. И. Манин, Проблема континуума // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат., 5, ВИНИТИ, М., 1975, 5—72
  108. Перейти↑ Столл, 1968, с. 156.
  109. Перейти↑ Столл, 1968, с. 157.
  110. Перейти↑ Общая алгебра, 1990, с. 35.
  111. Перейти↑ WolframScience Conference NKS2006
  112. Перейти↑ Крайзель, 1981, с. 54, 59, 60, 82.
  113. Перейти↑ Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. — пер. с англ. — М.: «Эдиториал УРСС», 2001. — 320 с. — тир. 1000 экз. — ISBN 5-8360-0192-8. — гл. 1 «Динамика дифференциальных уравнений», 1.4 «Линейный анализ устойчивости», 1.4г «Предельные циклы». — с. 29
  114. Перейти↑ Метод усреднения в прикладных задачах, 1986, с. 68.
  115. Перейти↑ Метод усреднения в прикладных задачах, 1986, с. 71.
  116. Перейти↑ Метод усреднения в прикладных задачах, 1986, с. 74.
  117. Перейти↑ Солитоны в математике и физике, 1989, с. 181.
  118. Перейти↑ Солитоны в математике и физике, 1989, с. 310.
  119. Перейти↑ Трикоми, 1947, с. 11.
  120. Перейти↑ Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972. — 479 стр. — гл. X. Нерешённые проблемы
  121. Перейти↑ Геометрические вероятности, 1972, с. 66.
  122. Перейти↑ Дороговцев, 1983, с. 100.
  123. Перейти↑ Дороговцев, 1983, с. 103.
  124. Перейти↑ Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. — Санкт-Петербург: Лань, 2008. — С. 304. — ISBN 978-5-8114-0612-8.
  125. ↑ Перейти к:1 2 3 Ф. Дж. Дайсон, «Упущенные возможности», УМН, 35:1(211) (1980), 171—191
  126. Перейти↑ Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М: Наука, 1973. — С. 322.
  127. Перейти↑ Г. Бете. Квантовая механика. — М.: Мир, 1965. — стр. 12.
  128. Перейти↑ Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — стр. 114, — ISBN 5-354-00268-0.
  129. Перейти↑ Стюарт, 2015, с. 308.
  130. Перейти↑ Стюарт, 2015, с. 315.
  131. Перейти↑ Бетяев С. К.Гидродинамика: проблемы и парадоксы // УФН, т. 165, 1995, № 3, с. 299—330
  132. Перейти↑ Внутреннее строение Земли и планет, 1978, с. 80.
  133. Перейти↑ Методы современной математической физики, 1978, с. т. 2, с. 370.
  134. Перейти↑ Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии, 1990, с. 9.
  135. Перейти↑ Стюарт, 2015, с. 348.
  136. Перейти↑ Займан, 1974, с. 55.
  137. Перейти↑ Займан, 1974, с. 403.
  138. Перейти↑ Займан, 1974, с. 152.
  139. Перейти↑ Новиков, 1986, с. 99.
  140. Перейти↑ Новиков, 1986, с. 151.
  141. Перейти↑ Новиков, 1986, с. 267.
  142. Перейти↑ Новиков, 1986, с. 132.
  143. Перейти↑ Михлин, 1968, с. 553.
  144. Перейти↑ Харрисон, 1968, с. 20.
  145. Перейти↑ Харрисон, 1968, с. 144.
  146. Перейти↑ Харрисон, 1968, с. 150.
  147. Перейти↑ Харрисон, 1968, с. 177.
  148. Перейти↑ Мостепаненко, 1966, с. 86.
  149. Перейти↑ Боголюбов, 1969, с. 176,213.
  150. Перейти↑ Боголюбов, 1969, с. 190.
  151. Перейти↑ Черчиньяни, 1978, с. 40.
  152. Перейти↑ Черчиньяни, 1978, с. 291.
  153. ↑ Перейти к:1 2 3 Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. — М.: Физматлит, 1960. — С. 224
  154. Перейти↑ Значения для неатомических игр, 1977, с. 19, 62, 141, 153, 182, 271, 272, 274.
  155. Перейти↑ Адаптация и обучение в автоматических системах, 1968, с. 318.
  156. Перейти↑ Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1978. — С. 227
  157. Перейти↑ Келли Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968. — С. 232.
  158. Перейти↑ Малыхин В. И. Топология и форсинг // УМН. — 1983. — Т. 38. — № 1(229). — С. 69—118.
  159. Перейти↑ Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — С. 219.
  160. Перейти↑ Гуревич, 1948, с. 14.
  161. Перейти↑ Кузьминов В. И. Гомологическая теория размерности // УМН. — 1968. — Т. 23, № 5. — С. 5. — URL: http://mi.mathnet.ru/umn5668
  162. Перейти↑ Борсук, 1971, с. 257—277.
  163. Перейти↑ Мандельбаум, 1981, с. 82,178,202,255,263,266.
  164. Перейти↑ Дороговцев, 1983, с. 98.
  165. Перейти↑ Выбросы случайных процессов, 1970, с. 243.
  166. Перейти↑ Выбросы случайных процессов, 1970, с. 280.
  167. Перейти↑ Дороговцев, 1983, с. 99.
  168. Перейти↑ Дороговцев, 1983, с. 107.
  169. Перейти↑ Теория операторов, 1977, с. 272.
  170. Перейти↑ Шварц, 1964, с. 177.
  171. Перейти↑ От существующего к возникающему, 2006, с. 57.
  172. ↑ Перейти к:1 2 Нелинейная динамика и хаос, 2011, с. 151.
  173. Перейти↑ Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. — М.: Мир, 1971. — С. 282.
  174. Перейти↑ ред. Моисеев Н. Н. Современное состояние теории исследования операций. — М.: Наука, 1979. — С. 289.
  175. Перейти↑ Адаптация и обучение в автоматических системах, 1968, с. 55.
  176. ↑ Перейти к:1 2 Адаптация и обучение в автоматических системах, 1968, с. 90.
  177. Перейти↑ Адаптация и обучение в автоматических системах, 1968, с. 135.
  178. Перейти↑ Адаптация и обучение в автоматических системах, 1968, с. 165.
  179. ↑ Перейти к:1 2 3 Адаптация и обучение в автоматических системах, 1968, с. 198.
  180. Перейти↑ Адаптация и обучение в автоматических системах, 1968, с. 257.
  181. Перейти↑ Адаптация и обучение в автоматических системах, 1968, с. 278.
  182. Перейти↑ Хелстром, 1979, с. 325.
  183. ↑ Перейти к:1 2 Хелстром, 1979, с. 326.
  184. Перейти↑ Цыпкин Я. З. Адаптация, обучение и самообучение в автоматических системах // Автоматика и телемеханика. — 1966. — № 1. — С. 23—61. — ISSN 0005-2310. — URL: http://mi.mathnet.ru/at10991
  185. Перейти↑ Введение в теорию схем и квантовые группы, 2012, с. 246.
  186. Перейти↑ Стюарт, 2015, с. 360.
  187. Перейти↑ Стюарт, 2015, с. 367.
  188. ↑ Перейти к:1 2 Беллман, 1966, с. 56.
  189. ↑ Перейти к:1 2 Беллман, 1966, с. 57.
  190. Перейти↑ Иванов, 1975, с. 59, 112, 190, 245, 270.
  191. Перейти↑ Гриффитс, 1976, с. 8, 10, 42, 54, 66, 79, 80, 85, 88.
  192. Перейти↑ Моисеев, 1975, с. 89, 115, 147, 192, 208, 268, 278, 303, 304, 365, 398, 446.
  193. Перейти↑ Лионс, 1987, с. 152, 257, 334, 357.
  194. Перейти↑ Я. Г. Синай, «Динамические системы с упругими отражениями. Эргодические свойства рассеивающих бильярдов», УМН, 25:2(152), 1970, 141—192
  195. Перейти↑ Погорелов А. В. Многомерная проблема Минковского. — М.: Наука, 1975. — С. 95.
  196. Перейти↑ Черчиньяни, 1978, с. 461—480.
  197. Перейти↑ Дмитрий Максимов. Коды, распознающие ошибку // Наука и жизнь. — 2018. — № 1. — С. 90—95.
  198. Перейти↑ Решена задача о раскраске дорог

Литература[править | править код]

  • Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1973. — 147 с.
  • Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1970. — 392 с.
  • ред. Акилов Г. П. Теория операторов в функциональных пространствах. — Новосибирск: Наука, 1977. — 392 с.
  • Ауман Р., Шепли Л. Значения для неатомических игр. — М: Мир, 1977. — 357 с.
  • Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. — М: Наука, 1986. — 256 с.
  • Пригожин И. От существующего к возникающему. — М: КомКнига, 2006. — 296 с.
  • Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд.. — М: Наука, 1967. — 638 с.
  • Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1978. — 192 с.
  • Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1989. — 326 с. — ISBN 5-03-001118-8.
  • Цыпкин Я. З. Адаптация и обучение в автоматических системах. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1968. — 400 с.
  • Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1970. — 413 с.
  • Улам С. Нерешённые математические задачи. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1964. — 168 с.
  • Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: МЦНМО, 2012. — 256 с.
  • Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1973. — 143 с.
  • Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1990. — 384 с. — ISBN 5-02-013992-0.
  • Цикон Х., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1990. — 408 с. — ISBN 5-03-001422-5.
  • Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, в 4 т.. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1978. — 1000 с.
  • Татт У. Теория графов. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1988. — 424 с.
  • Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1972. — 192 с.
  • Кон П. Свободные кольца и их связи. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1975. — 420 с.
  • Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1987. — 336 с.
  • Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
  • Займан Дж. Принципы теории твёрдого тела. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1974. — 472 с.
  • Хелстром К. Квантовая теория проверки гипотез и оценивания. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1979. — 344 с.
  • Новиков И. Д., Фролов В. П. Физика чёрных дыр. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1986. — 328 с.
  • Михлин С. Г. Курс математической физики. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1968. — 575 с.
  • Харрисон У. Псевдопотенциалы в теории металлов. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1968. — 366 с.
  • Беллман Р. Математические проблемы в биологии. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1966. — 277 с.
  • В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1965. — 107 с.
  • Трикоми Франческо. О линейных уравнениях смешанного типа. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: ОГИЗ ГИТТЛ, 1947. — 190 с.
  • Иванов Л. Д. Вариации множеств и функций. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1975. — 352 с.
  • Мостепаненко А. М., Мостепаненко М. В. Четырехмерность пространства и времени. — <abbr title="Ленинград">Л.</abbr>: Наука, 1966. — 189 с.
  • Гуревич В., Волмэн Р. Теория размерности. — <abbr title="Ленинград">Л.</abbr>: ИЛ, 1948. — 231 с.
  • Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Просвещение, 1968. — 231 с.
  • Боголюбов Н. Н., Логунов А. А.,Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1969. — 424 с.
  • Борсук К. Теория ретрактов. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1971. — 291 с.
  • Мандельбаум Р. Четырехмерная топология. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1981. — 286 с.
  • Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. — Минск: Наука и техника, 1967. — 184 с.
  • Гриффитс Ф., Кинг Дж. Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий. — М: Мир, 1976. — 95 с.
  • Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1975. — 526 с.
  • Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1978. — 495 с.
  • Шварц Л. Комплексные многообразия. Эллиптические уравнения. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1964. — 212 с.
  • Крайзель Г. Исследования по теории доказательств. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1981. — 289 с.
  • Разборов А. А. Алгебраическая сложность. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: МЦНМО, 2016. — 32 с. — ISBN 978-5-4439-1032-1.
  • Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1971. — 93 с.
  • Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1971. — 119 с.
  • Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7.
  • Лионс Ж. Л. Управление сингулярными распределенными системами. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1987. — 368 с.
  • ред. Скорняков Л. А. Общая алгебра Т. 1. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Наука, 1990. — 592 с.
  • Эббинхауз Г. Д., Якобс К., Ман Ф. К., Хермес Г. Машины Тьюринга и рекурсивные функции. — <abbr title="Москва">М.</abbr>: Мир, 1972. — 262 с.
  • Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — МГУ, 1972.
  • Капитонова Ю. В., Кривой С. Л., Летичевский А. А. Лекции по дискретной математике. — СПб., БХВ-Петербург, 2004. — 624 с. — 3000 экз. — ISBN 5-94157-546-7.
  • под ред. Дороговцев А. Я. Математика сегодня. — Киев, Вища школа, 1983. — 192 с. — 3000 экз.

Ссылки[править | править код]

[скрыть]⛭

Нерешённые проблемы по дисциплинам

Биология · Химия · Информатика · Лингвистика · Математика · Нейробиология · Физика · Статистика · Философия · Науки о Земле · Теория информации · Экономика · Медицина

Категории: