Теорема Лагранжа

Теорема. Пусть функция    дифференцируема в открытом промежутке    и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка  , что

(13)

      Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке  , а на его концах принимает одинаковые значения:

Тогда    удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка  , в которой производная функции    равна нулю:

      Следствие 1. В частном случае, когда  , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка  , в которой производная функции   равна нулю:  . Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

      Следствие 2. Если    во всех точках некоторого промежутка  , то   в этом промежутке.
      Действительно, пусть    и    – произвольные точки промежутка    и  . Применяя теорему Лагранжа к промежутку  , получим

Однако    во всех точках промежутка  . Тогда

Учитывая произвольность точек    и  , получаем требуемое утверждение.

      Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа. Разностное отношение в правой части формулы (13) есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки    и  , а производная    равна угловому коэффициенту касательной к графику функции    в некоторой средней точке промежутка  .

Поэтому за теоремой Лагранжа закрепилось название “теорема о среднем”.

Рис. 6. Теорема Лагранжа устанавливает условия существования хотя бы одной точки  c, в которой касательная к графику функции    параллельна секущей  AB. Таких точек может быть несколько.

      Физическая интерпретацию теоремы Лагранжа. Пусть функция   описывает смещение частицы из начального положения в зависимости от времени x ее движения по прямой. Тогда разностное отношение

представляет собой среднюю скорость движения частицы за промежуток времени  , а производная    – мгновенную скорость движения частицы в момент времени  c. Существует такой момент времени, в который мгновенная скорость движения равна средней скорости.
      Отметим, что формула (13) сохраняет свою справедливость и при  b < a. Если применить теорему Лагранжа к промежутку    и представить значение  c  в виде

где   то формула (13) примет вид

(14)

Равенство (14) дает точное значение для приращения функции при конечном значении приращения аргумента и называется формулой конечных приращений. Единственным недостатком этой замечательной формулы является присутствие в ней неопределенного числа  θ.