нечеткие множества

Математическая смесь понятий детерминизма, вероятности и нечеткости

У каждого индивидуума есть мысли, разум, сознание, что относится к интеллектуальному мышлению. Мысли – это ментальное понятие реальности, знание об объектах, свойствах и отношениях реального мира. Разум – это способность понимания и осмысления. Сознание – соотнесенность объекта переживания с внутренним или внешним предметом. Каждый индивид переживает чувство, эмоции, симпатии, что относится к душевному мышлению. Чувство – обозначение разнообразных психических феноменов. Эмоции – реакция человека и животных на воздействие внутренних и внешних раздражителей, имеющие субъективную окраску и переживаний. Симпатии – это расположение, влечение к кому-то или чему-то. Каждый индивид надеется на веру, дружбу, привязанность, что относится к духовному мышлению. Вера – понятие личного отношения к субъекту. Дружба – отношение взаимной привязанности между субъектами. Привязанность – это сложившийся способ поведения или осуществления в определенной ситуации.

Когда мы изучаем упрочившую предопределенность, так как предопределенность заключается в том, что все связано с иными элементами и происходит неотвратимо. «Математика, или искусство измерения, могла бы очень хорошо объяснить такие вещи, ибо в природе все как бы отмерено числом, мерой, весом или силой» [6, с. 237]. Ограниченный рассудок не может предвидеть будущие события, потому что система состоит из бесчисленных элементов и малые предметы часто вызывают огромные изменения. Лейбниц Г.В. писал, что есть предопределенность, неопределенность и мнимость чисел.

Измерение – это алгоритмическая операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта, процесса, явления ставит в соответствие определенное обозначение: число, номер или символ [8, стр. 171]. Такое соответствие обеспечивает то, что результаты измерений содержат информацию о наблюдавшемся объекте, количество же информации зависит от степени полноты этого соответствия и разнообразия вариантов.

Рассматриваются такие объекты, где любые два состояния различимы или нет, алгоритмы измерения различают состояния или не различают. Это означает, что как состояния объекта, так и их обозначения удовлетворяют следующим аксиомам тождества:

1. Либо А=В, либо А¹В.

2. Если А=В, то В=А.

3. Если А=В и В=С, то А=С.

Здесь символ = обозначает отношение эквивалентности; в том случае, когда А и В – числа, он означает их равенство. Здесь символ ¹ обозначает отношение неэквивалентности; в том случае, когда А и В – числа, он означает их неравенство.

Если регистрируется события на выбранных входах и выходах системы, то опыт называют пассивным экспериментом или наблюдением, если же кроме созерцания и фиксации происходящего на входах-выходах еще воздействуем на некоторые из них, то опыт называют активным или управляемым экспериментом [2, стр. 149]. Сама постановка эксперимента диктуется моделью системы. Его характер определяют существенные характеристики, которые подлежат измерению и фиксации.

Формально шкалой называется кортеж из трех составляющих <X,φ,Y>, где X – реальный объект; Y – шкала; φ – гомоморфное отображение X на Y [9, стр. 575]. Гомоморфизм – взаимно-однозначное соответствие.

Изображение соотношения между основными типами шкал в виде иерархической структуры основных шкал. Здесь стрелки указывают включение совокупностей допустимых преобразований более «сильных» в «менее сильные» типы шкал. При этом шкала тем «сильнее», чем меньше свободы в выборе φ(x). Некоторые шкалы являются изофорфными, т.е. равносильными. Например, равносильны шкалы интервалов и степенная шкала. Логарифмическая шкала равносильна шкале разностей и шкале отношений.

Самой слабой качественной шкалой является номинальная (шкала наименований, классификационная шкала), по которой объектам xi или их неразличимым группам дается некоторый признак. Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений равенства между элементами эмпирической системы в эквивалентных шкалах. Шкалы номинального типа задаются множеством взаимно однозначных допустимых преобразований шкальных значений.

Покажем соотношение между слабыми качественными и сильными количественными шкалами [9, стр. 580].

Рис 1. Иерархическая структура основных шкал.

При обработке экспериментальных данных, зафиксированных в номинальной шкале, непосредственно с самими данными можно выполнять только операцию проверки на совпадение, даже если для обозначения классов используются числа, то есть осуществлялась нумерация классов. Номера классов только внешне выглядят как числа, а на самом деле числами не являются. С номерами нельзя обращаться как с числами, за исключением определения их равенства.

Название номинальный объясняется тем, что такой признак дает лишь ничем не связанные имена объектам. Эти значения для разных объектов либо совпадают, либо различаются; никакие более тонкие соотношения между значениями не зафиксированы. Шкалы номинального типа допускают только различение объектов на основе проверки выполнения отношения равенства на множестве этих элементов. Номинальный тип шкал соответствует простейшему виду измерений, при котором шкальные значения используются лишь как имена объектов.

На рис. 2 изображено измерение в номинальной шкале объектов, представляющих три множества элементов A, B, C [1]. Здесь эмпирическую систему представляют четыре элемента: aÎA, bÎB, {c, d}ÎC, принадлежащим множествам. Знаковая система представлена цифровой шкалой наименований, включающей элементы 1, 2, …, n и сохраняющей отношение равенства. Гомоморфное отображение j  ставит в соответствие каждому элементу из эмпирической системы определенный элемент знаковой системы.

Рис. 2. Измерение объектов в номинальной шкале

Если состояние измеряемой характеристики не только различимы, но и допускают возможность сравнивать различные классы и выстраивать монотонно возрастающие или монотонно убывающие последовательности результатов эксперимента, то имеется дело с измерениями в порядковой или ранговой шкале. В этой шкале для любых шкальных значений zi>zj из области определения φ выполняется условие φ(si)>φ(sj), т.е. для порядковой шкалы действуют следующие аксиомы, включая две аксиомы упорядоченности. Отмечаемым аксиомам отвечает шкала совершенного порядка. Примером таких шкал являются ранжирование в сетевых компаниях, система воинских званий.

1) рефлексивности (А=А);

2) симметричности (если А=В, то В=А);

3) транзитивности (если А=В и В=С, то А=С);

4) если А≠В, то либо А>В, либо В>А;

5) если А>В и В>С, то А>С.

Если не каждую пару классов можно упорядочить по предпочтению (некоторые классы являются равными), то аксиомы (4-5) принимают вид

4´) либо А≥В, либо В≥А;

5´) если А≥В и В≥С, то А≥С.

Шкала, соответствующая аксиомам (4´-5´), называется шкалой квазипорядка. Примером применения шкалы квазипорядка является определение степени родства с конкретным лицом. При этом могут иметь место следующие соотношения: мать = отец > сын = дочь, дядя = тетя < брат = сестра и т.п. Эти соотношения являются ключевыми юриспруденции при разрешении споров о наследстве.

Измерение в шкале порядка может примеряться, например, в следующих ситуациях:

- когда необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве, например, интересуются не сравнением степени выраженности какого-либо их качества, а лишь взаимным пространственным или временным расположением этих объектов;

- когда нужно упорядочить объекты в соответствии с каким-либо качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение;

- когда какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящий момент не может быть измерено по причинам практического или теоретического характера.

Любая шкала, полученная из шкалы порядка S с помощью произвольного монотонно возрастающего преобразования шкальных значений, будет также точной шкалой порядка для исходной эмпирической системы с отношениями. Несколько более «сильными», чем порядковые шкалы, являются шкалы гиперпорядка. Допустимыми для этих шкал являются гипермонотонные преобразования, т.е. преобразования φ(x), такие, что для любых xi, xj, xk, xl

φ(xi)-φ(xj)<φ(xk)-φ(xl),

только когда xi, xj, xk, xl принадлежат области определения φ(x) и xi-xj<xk-xl. При измерении в шкале гиперпорядка сохраняется упорядочение разностей численных оценок.

Нередко возникает ситуация, особенно в социологических исследованиях, когда эксперт или респондент не в состоянии установить порядок между значениями измеряемой характеристики сравниваемых объектов. Например, при изучении покупательского спроса респондент затрудняется ответить, какой товар ему больше нравится: полосатая майка или газированная вода, мопед или радиоприемник. Математики говорят, что в этом случае имеются пары классов, не сравнимые между собой, т.е. ни А≤В, ни В≤А, ни А≠В, как в условиях квазипорядка. В таком случае говорят о шкале частичного порядка.

Как видим, порядковые шкалы могут быть различными. Однако разнообразие порядковых шкал этим не исчерпывается. Иногда число градаций в шкале задается заранее, а эксперимент лишь определяет, к какому из упорядоченных классов относится значение наблюдаемой характеристики, например, оценка знаний студента, определение качества товара и т.п. В других случаях эталонные классы отсутствуют, а упорядочение проводится непосредственным образом по парным сравнениям рассматриваемых объектов (формирование турнирной таблицы по результатам соревнований, определение рейтинга предприятий и т.д.).

Следует обратить внимание на то, что в отношениях порядка ничего не говорится о «дистанциях» между сравниваемыми классами или характеристиками. Это придает порядковым шкалам характерную особенность, которую необходимо помнить при обработке экспериментальных данных. Особенность заключается в том, что наблюдения, зафиксированные в таких шкалах, не являются числами. Над ними нельзя проводить арифметические операции и вообще любые действия, результат которых изменится при преобразованиях шкалы, не нарушающих порядка.

Многие величины, измеряемые в порядковых (принципиально дискретных) шкалах, имеют непрерывный характер, например, глубина знаний и т.п. При работе с ними исследователь всегда преследует цель уменьшить относительность порядковых шкал и усилить их путем введения промежуточных значений между двумя шкальными значениями. Это приводит к появлению и использованию нестрогих порядковых шкал, в которых с полученными данными начинают общаться как с числами. Обычно подобные попытки заканчиваются ошибками и неправильными решениями, поскольку такие модификации, направленные на усиление шкалы, не выводят шкалу из класса порядковых.

Если при упорядочивании объектов известны расстояния между любыми двумя значениями и эти расстояния инвариантны к выбору единицы измерения и начала отчета, то имеется дело с интервальной шкалой. Инвариантность к выбору единицы измерения означает, что все расстояния могут выражаться в произвольных единицах, но одинаковые по всей длине шкалы. А инвариантность к значению, принятому в качестве начала отсчета, заключается в том, что равные интервалы измеряются одинаковыми по длине отрезками шкалы, независимо от того, где бы они не располагались на ней. Следствием такой равномерности шкал этого класса является сохранение неизменными отношений интервалов независимо от того, в какой из шкал измерены эти интервалы.

Абсолютная шкала имеет абсолютный нуль и абсолютную единицу измерения. Эта шкала не единственна с точностью до какого-либо преобразования, а просто единственна. Единственными допустимыми преобразованиями в этой шкале являются тождественные преобразования, т.е. r(z)=z. Это означает, что существует только одно отображение измеряемых характеристик исследуемой системы в числовую систему (отсюда и название шкалы).

Именно такими качествами обладает числовая ось. Важными ее особенностями являются безразмерность (отвлеченность) и абсолютность единицы. Указанные особенности позволяют проводить на показаниях абсолютной шкалы такие операции, которые недопустимы для показаний других шкал. Употреблять шкальные значения в качестве показателя степени и основания логарифма, подвергать их дифференцированию, интегрированию и любой статистической обработке.

Числовая ось используется как измерительная шкала в явной форме при счете предметов, а как вспомогательное средство присутствует во всех остальных шкалах. Внутренние свойства числовой оси, при всей кажущейся ее простоте, чрезвычайно разнообразные, и теория чисел до сих пор не исчерпала их до конца.

Позже возникла вероятностная теория, когда любое событие оценивается с известной долей вероятности. Теория вероятности является методом изучения и исследования неопределенности. Некоторые неопределенные ситуации подвержены количественным закономерностям. Для теории вероятностей первичным является понятие случайного эксперимента, который заканчивается неизвестным исходом, но оцениваемым вероятностными методами. Закон больших чисел утверждает, что при многократном независимом повторении данного эксперимента относительные частоты событий приближаются к вероятностям этих событий. Например, y1, y2 … есть усредненные рентабельности хозяйств с номерами 1, 2, …, размеры которых соответственно x1, x2, …, зависимость y от x выражается через многочлен:

y=a(x-x0)2+b.

Величины a, b и x0 неизвестны, и находятся с помощью метода наименьших квадратов.

Вероятности процессы описывают многие события в практике. «После возникновения теории информации возрастание времени реакции при увеличении числа альтернатив стало связываться с возрастанием информации, подсчитываемой по известной формуле Шеннона» [3, стр. 35]. Если явление действительно существует, если оно достоверно зарегистрировано, то явление необходимо отнести к определенному направлению изучения и исследовать объективными научными методами. Основными формами научного познания являются факты, проблемы, гипотезы и теории. «Главными элементами научной теории являются принципы и законы» [5, стр. 29]. Случайные отклонения параметров системы от равновесия играют важную роль в функционировании и существовании системы. Принцип производства минимума энтропии [5, стр. 198] математически описывает систему.

Процесс качественной перестройки и ветвления системы, ее скачкообразные изменения определяют нестабильность мира. «В нелинейной Вселенной законы природы выражают не определенность, а возможность и вероятность» [10, стр. 43]. Поэтому выделяем детерминацию, случайность и нечеткость. В монографии [7, стр. 117] описаны эпизоды знакомства с телепатией. Дается точная регистрация совпадений и несовпадений, но попытки описания можно изучать с помощью моделей нечетких измерений.

Попытка развития формального аппарата для вовлечения частичной принадлежности в теорию множеств была предпринята в середине 60-х годов Л. Заде, одним из начальных шагов на пути создания моделей, учитывающих нечеткую информацию направления [4, стр. 180]. Лежащее в основе этой теории понятие нечеткого множества предлагается в качестве средства математического моделирования неопределенных понятий, которыми оперирует человек при описании своих представлений о реальной системе. Примерами объектов нечисловой природы являются:

- значение качественных признаков, т.е. результаты кодировки объектов с помощью заданного перечня категорий (градаций);

- упорядочения экспертами образцов продукции (при оценке ее технического уровня);

- классификация, т.е. разбиения объектов на группы сходных между собой (кластеры);

- бинарные отношения, описывающие сходство объектов между собой, например, сходство тематики научных работ, оцениваемое экспертами с целью рационального формирования экспертных советов внутри определенной области науки;

- результаты парных сравнений или контроля качества продукции по альтернативному признаку («годен» - «брак»);

- множества (обычные или нечеткие), например, перечни возможных причин аварии, составленные экспертами независимо друг от друга;

- слова, предложения, тексты;

- векторы, координаты которых представляют собой совокупность значений разнотипных признаков, например, результат составления статистического отчета о научно-технической деятельности, в которых часть признаков носит качественный характер, а часть – количественный;

- ответы на вопросы экспертной, маркетинговой или социологической анкеты.

Он ввел понятие нечеткого множества как собрания элементов, которые могут принадлежать этому множеству со степенью от 0 до 1. Причем 0 обозначает абсолютную непринадлежность, а 1 - абсолютную принадлежность множеству. Это было сделано путем применения понятия функции принадлежности, которая ставит в соответствие каждому элементу универсального множества число из интервала [0,1], обозначающее степень принадлежности. Понятие функции принадлежности является обобщением понятия характеристической функции четкого множества, которая оперирует значениями {0,1}. Поэтому основные свойства и операции над нечеткими множествами, введенные Заде и его многочисленными последователями, являются обобщениями соответствующих свойств и операций классической теории множеств. С момента своего возникновения теория нечетких множеств вызвала беспрецедентный рост интереса практически во всех отраслях науки и техники.

Пусть X={x} - универсальное множество, т.е. полное множество, охватывающее всю проблемную область.

Определение 1.1. Нечеткое множество AÍX представляет собой набор пар {(x,μA(x))}, где x X и μA:X→[0,1] - функция принадлежности, которая представляет собой некоторую субъективную меру соответствия элемента x нечеткому множеству A.

 μA(x) может принимать значения от нуля, который обозначает абсолютную не принадлежность, до единицы, которая, наоборот, говорит об абсолютной принадлежности элемента x нечеткому множеству A. Иногда удобно рассматривать значение μA(x) как степень совместимости элемента x с размытым понятием, представленным нечетким множеством A.

Поиск является одним из наиболее универсальных методов нахождения решения для случаев, когда априори не известна последовательность шагов, ведущая к оптимуму. Существуют две поисковые стратегии: эксплуатация наилучшего решения и исследование пространства решений. Градиентный метод является примером стратегии, которая выбирает наилучшее решение для возможного улучшения, игнорируя в то же время исследование всего пространства поиска. Случайный поиск является примером стратегии, которая, наоборот, исследует пространство решений, игнорируя исследование перспективных областей поискового пространства.

Выводы данной работы показывают разделение исследования на определенные методы, стохастические методы и нечеткие методы. Определенные методы делятся на слабые качественные шкалы и сильные количественные шкалы. Стохастические методы формируются по теории вероятностей. Нечеткие методы получаются при исследовании субъективной информации.

Литература

1.      Антонов А.В. Системный анализ.  – М.: Высшая школа, 2004. – 454 с.

2.      Дрогобыцкий И.Н. Системный анализ в экономике. – М.: Финансы и статистика, Инфра-М., 2009. – 512 с.

3.      Дубров А.П., Пушкин В.Н. Парапсихология и современное естествознание. – М.: СП «Соваминко», 1989. – 280 с.

4.      Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. - М.: Мир, 1976.-167 с.

5.      Концепции современного естествознания / Под ред. Л.А. Михайлова. – СПб.: Питер, 2008. – 335 с.

6.      Лейбниц Г.В. Сочинение в четырех томах: Т. I. – М.: Мысль, 1982. – 636 с.

7.      Пекелис В.Д. Кибернетическая смесь: Впечатления, находки, случаи, заметки, размышления, рассказанное и увиденное – разные поводы для разговора о кибернетике. – М.: Знание, 1991. – 368 с.

8.      Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. – М.: Высшая школа, 1989. – 367 с.

9.      Системный анализ и принятие решений. Словарь-справочник – М.: Высшая школа, 2004. – 616 с.

10.  Философия современного естествознания / Под общ. ред. проф. С.А. Лебедева. – М.: ФАИР-ПРЕСС, 2004. – 304 с.