Трисекция отрезка . Чего не смог Фалес и не сумел Ключевский ..

Небольшое отступление - представь себе два абсолютно равных единичных отрезка . Один в 12-разрядной системе , другой в более привычной нам 10-тичной . Ставится задача разделить эти два отрезка на три пропорционально равные части .

Если с первым никаких проблем нет - 12 легко делится на три , то второй нам при всём желании разделить не удасться - ни 1 , ни 10 , ни 100 и т. д. на три не делиться , в ответе будет число не доступное нашему разуму ( иррациональное ) .

Решение этого математического казуса было найдено в очень далёкие "древнегреческие" времена математиком Фалесом и по сей день изучается на уроках геометрии в наших школах .

Есть более простой алгоритм решения этой задачи ... - Я оглядел внимательно слушающую аудиторию . Шашлыки ещё только были поставлены и времени хватало .. Обратимся к т. н. чистой математике .. Народ у нас сплошь с высшим образованием и рассказывать как делить отрезок пополам с помощью циркуля и линейки без делений я думаю не стоит .. - Серёжка , внучок - принеси ка деду листок чистой бумаги , циркуль , линейку и карандаш . Будем делать представление . :) Итак , имеем произвольный ( составленный в любой числовой системе ) и неизвестный по длине отрезок .. Делим его пополам и каждую половину ещё раз пополам и получаем отрезок делённый на три .. Ну , где то так .. Я с удовольствием оглядел рисунок .. 

Первым прервал затянувшиюся паузу внук .

- Деда , тут четыре , а не три части ..

Оживились при этих словах и остальные ...
- Устами ребёнка .. Деду больше не наливать .. 
Может и не прав я всё же ?
Да нет же , оставалось сделать один очевидный шаг .. И я поворачиваю отрезок относительно одной из крайних точек до той степени , пока другая не совмещается с одной из крайних линий ..
- Кто там говорил , что деду больше не наливать ? :))) А под шашлык можно ? :)))
 
Фалес не найдя этого решения , для генерации поля секущих параллельных прямых использовал отдельную линию , на которой и строил это поле .
Ключевской в своём учебнике геометрии вроде предпринял попытку иного решения , но также не смог догадаться , что делимый отрезок и есть генератор этого поля .
Поэтому плавно перешёл к уже предложеному Фалесом решению .
А в качестве верности сказанному , можно использовать доказательства предложенные и тем и другим .
 
Продолжим ? 
 
Есть такое странное предположение , что сумма катетов треугольника может быть равна его гипотенузе ..  
Странные эти математики древнего Вавилона .. :)))