Смысл сложения и умножения

При сложении мы находим общую сумму. Когда речь идет просто о количестве, например, денег, то никаких проблем не возникает. Нам без разницы где, в чьих карманах и сейфах эти деньги хранятся, нам важно вычислить общую сумму.

Но когда речь идет о геометрических измерениях, то тут не все так просто. Складывать длины отрезков мы можем лишь в том случае, если они лежат на одной прямой. Даже если мы измеряем длину сложенной веревки, мы все равно мысленно вытягиваем её в прямую линию.

А когда речь идет о прямых, лежащих под углом друг к другу, то мы не можем просто так сложить эти длины. Т.е. сложить-то мы можем, но эта цифра нам ничего не даст, не добавит знаний о форме, взаимном расположении…

Теперь об умножении. Умножая 5 на 2, мы представляем себе 2 ряда яблок по пять штук или наоборот – пять рядов яблок по 2 штуки. Здесь все просто – яблоки дискретные, штучные, зримые.

Но когда мы умножаем длину прямоугольника на его ширину, то здесь сложнее. Отрезок – не кучка яблок, а нечто непрерывное и протяженное. Площадь – это не количество квадратиков на плоскости, а нечто единое и сплошное, ограниченное краями. И строго говоря, для его вычисления мало знаний о длине его сторон, нужно знать и их взаимное расположение, т.е. угол.

Для прямых углов проблем с вычислением площади нет. Но для всех других углов это становится непростой геометрической задачей, для решения которой надо знать о пропорциях, подобиях и т.д.

Таким образом, чистая арифметика применима только к целочисленным вычислениям, где необходимо оперировать только количествами. Там, где нужно знать больше, чем просто количество (форма, размер, вес и т.д.), арифметика уже дает погрешности. Здесь все измеряется пропорциями, отношениями, а не целыми числами, штуками и кусками.