Модель Е8

1. Трагическая судьба юного гения

Это произошло менее 200 лет назад. Рано утром 30 мая 1832 года в Париже около пруда Гласьер 20-летний Эвари́ст Галуа́ был смертельно ранен на дуэли, якобы связанной с любовной интригой. Противники стреляли друг в друга из пистолетов на расстоянии нескольких метров. Пуля попала Галуа в живот. Несколько часов спустя один из местных жителей случайно наткнулся на раненого и отвёз его в больницу. Обстоятельства дуэли выяснить не удалось, неясно даже, с кем именно был поединок. Через сутки Галуа скончался и был похоронен на Монпарнасском кладбище…

В ночь перед дуэлью Галуа подготовил новый вариант мемуара по математике для парижской Академии, где предельно сжато (и, увы, малопонятно даже для математиков) изложил итоги своих исследований, и переслал его своему другу Огюсту Шевалье. Он послал последние работы Галуа известным немецким математикам (Гауссу и Якоби), но ответа так не последовало. Только в 1843 году открытия Галуа заинтересовали французского математика Жозефа Лиувилля (1809 – 1882), который опубликовал и прокомментировал их в 1846 году. И только тогда открытия Галуа произвели огромное впечатление на современников, положив начало новому направлению в математике – современной высшей алгебры (теперь Галуа считается её основателем).

Галуа начал читать серьёзные математические сочинения лишь с 16 лет. В числе прочих ему попался мемуар, в котором Нильс Абель доказал, что для уравнений степени 5 и выше решение «в радикалах» невозможно. Однако юный Галуа вскоре нашёл общее решение уравнения произвольной степени, то есть выразил его корни через коэффициенты, используя только арифметические действия и радикалы. Но наиболее ценным был даже не этот результат, а те методы, с помощью которых Галуа удалось его получить. В свои 18 лет он вышел на такие фундаментальные понятия, как группа (Галуа первым использовал этот термин, активно изучая симметрические группы) и поле (конечные поля носят название полей Галуа). В итоге всего за 4 года жизни Галуа успел сделать открытия, ставящие его на уровень крупнейших математиков XIX века.

2. Теория групп – главный путь к «теории всего»?

Теория групп, у истоков которой стоял и Галуа, имеет три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры (кольца, поля, векторные пространства), являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп (менее чем за 200 лет) построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп – линейные алгебраические группы и группы Ли – стали самостоятельными областями математики, названы в честь норвежского математика Софуса Ли (1842 – 1899).

Понимание теории групп очень важно для физики и других естественных наук. В химии группы используются для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. В физике группы используются для описания многочисленных симметрий, которым подчиняются физические законы. Особенно важны в физике представления групп, в частности, групп Ли, так как они часто указывают путь к «возможным» физическим теориям (например, «теориям всего»). Например, Стандартная модель физики элементарных частиц (пока лучшая физическая теория) описывает три силы (без гравитации) и подчиняющиеся им частицы как разные динамичные геометрические объекты – разные группы Ли. Таким образом, реальная Вселенная может быть естественным образом объяснена математической структурой, в том числе группами Ли.

3. Колоссальная теорема ХХ века

Одним из наиболее значительных математических прорывов XX века стала полная классификация (с точностью до изоморфизма) простых конечных групп. Данные группы – «элементарные кирпичики», из которых можно построить любую конечную группу, так же, как любое натуральное число можно разложить в произведение простых, с той разницей, что эти «кирпичики» не будут определять группу однозначно, так как может существовать множество неизоморфных групп с теми же композиционными рядами. Доказательство теоремы об указанной классификации – это результат совместных усилий более 100 математиков, опубликовавших около 500 отдельных работ, суммарным объемом почти 15000 печатных страниц (основной массив публикаций с 1955 по 1983 годы). Говорят, что полностью разобрался в этом доказательстве только Дэниэл Горенштейн (скончался в 1992 году).

А сама формулировка теоремы звучит так: любая простая конечная группа это либо одна из 26 спорадических групп, либо принадлежит одному из следующих трёх семейств:

– циклические группы Zp простого порядка;

– знакопеременные группы An перестановок не менее 5 элементов;

– простые (классические и особые) группы Ли.

Простые особые (исключительные) группы Ли (G2, F4, E6, E7, E8) считаются «исключительными», потому что они не попадают в бесконечный ряд групп растущей размерности. С точки зрения каждой группы в отдельности, в них нет ничего необычного, они обладают специальной структурой и широкими связями с различными разделами математики. Эти исключительные группы были обнаружены в 1890 году в классификации простых алгебр Ли над комплексными числами. В течение некоторого времени было проведено исследование вопроса, чтобы найти конкретные пути, в которых они возникают, например, как группы симметрий дифференциальной системы.

Наибольшей из 26 спорадических групп является группа Монстр, подгруппами или факторами подгрупп которой являются все остальные спорадические группы, кроме шести (их иногда называют «париями»). Группа-монстр была исходно построена Грисом в 1981 году как группа автоморфизмов определённой алгебры в евклидовом пространстве размерности 196884. Затем, была обнаружена более простая конструкция, связывающая её с решёткой Лича и двоичным кодом Голея. Группа-монстр (монстр Фишера–Гриса) имеет порядок, равный следующему числу (в каноническом виде):

N = (2^46)*(3^20)*(5^9)*(7^6)*(11^2)*(13^3)*17*19*23*29*31*

*(37^0)*41*(43^0)*47*(53^0)*59*(61^0)*(67^0)*71 ≈

≈ 8,08017424794513∙10^53.

Указанное число N(порядок группы-монстра) имеет 424.488.960 целых делителей, что достаточно много, однако примерно в 144 раза меньше максимально возможного количества делителей у числа (некого типомакса), близкого к указанному числу N.

Наибольшая группа Ли типа E8 была открыта Вильгельмом Киллингом в 1888–1890 годах, а современное её обозначение пришло из классификации, которая выделяет четыре бесконечных семейства простых алгебр Ли, обозначаемых An, Bn, Cn, Dn, и пять особых случаев, обозначаемых E6, E7, E8, F4 и G2. Группа Ли типа E8 имеет ранг 8 и размерность 248 (как многообразие). Векторы системы корней определены в восьми измерениях. Группа E8 связана с октонионами и 10-мерным пространством Минковского, естественно вводимым в теории суперструн.

Октонионы – это максимально возможное обобщение чисел в рамках алгебры Кэли. А́лгебра Кэ́ли – система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел, впервые была рассмотрена в 1843 Грейвсом, приятелем Гамильтона, а двумя годами позже независимо Кэли. По теореме Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля. Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

Элементы алгебры (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами. Число Кэли – это линейная комбинация элементов {1, i, j, k, l, il, jl, kl} (в алгебре Кэли часто числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 могут заменяться буквенным обозначением). Каждая октава x может быть записана в виде суммы с вещественными коэффициентами. Октонионы находят применение в физике: например, в СТО и теории струн.

4. Подвиг математиков в части группы Ли Е8

Весной 2007 года (начиная с конца марта?) в Интернете появились сообщения о завершении колоссальных исследований математиками группы Ли типа Е8. Для примера ниже приведу статью «Ну очень большой результат» из журнала "Компьютерра" от 11 апреля 2007 года (http://old.computerra.ru/focus/314419/).

«…Недавно завершился титанический труд международной команды из 18 математиков, возглавляемой профессором Джеффри Адамсом (Jeffrey Adams) из Мэрилендского университета, по описанию исключительно сложного математического объекта, так называемой группы Ли E8. Четыре года напряженной работы и расчетов на специализированном компьютере в Вашингтонском университете в Сиэтле вылились в 60-гигабайтный научный результат. Авторы гордятся тем, что если их труд напечатать как обычную научную статью мелким шрифтом на бумаге, то ею можно будет накрыть весь Манхэттен. [Его площадь – 59,47 кв.км или 5,947∙10^11 кв.см, что составляет почти 954 миллионов форматов А4 (листов обычной писчей бумаги). У данной команды ученых два года ушло только на понимание математических аспектов проблемы. Описывая вычислительную сложность проделанной ими работы, математики сравнивают ее с проектом "Геном человека". Но если информацию о генах человека можно записать в объеме 1 Гбайт, то результаты вычислений по проекту Е8 составляют 60 Гбайт. Оптимизация алгоритмов позволила сократить объем вычислений в 1 тысячу раз, и, тем не менее, для окончательного решения потребовалось 77 часов работы суперкомпьютера Sage. Ученые в итоге составили матрицу размером 453060 х 453060.].

Непрерывные группы, введенные норвежским математиком Софусом Ли еще в 1870 году и теперь носящие его имя, играют важнейшую роль в современной математике и физике. Формально это гладкие многообразия – многомерные поверхности в еще более многомерных пространствах – с определенной на них операцией "умножения" точек, которая ставит в соответствие любой паре точек поверхности третью. Эта операция удовлетворяет обычным аксиомам умножения и, кроме того, непрерывна, то есть если любую из точек-сомножителей чуть-чуть сдвинуть, точка-произведение тоже сдвинется немного. Неформально группы Ли представляют собой группы непрерывных симметрий – преобразований различных пространств или других объектов, которые оставляют их неизменными и могут быть сколь угодно малыми. В этом случае умножение элементов есть последовательное применение двух преобразований. Простейший пример группы Ли – это группа поворотов плоскости вокруг начала координат. Поворот задается единственным числом, углом поворота, поэтому группа одномерна. Многообразие этой группы – обычная окружность.

Симметрии в современной физике играют центральную роль, поскольку именно они порождают фундаментальные законы природы. Например, всем известный закон сохранения энергии – это простое следствие независимости пространства-времени от сдвигов начала отсчета по времени. Поэтому важные группы Ли носят имена знаменитых ученых – Галилея, Лоренца, Пуанкаре. Например, группа Пуанкаре насчитывает десять измерений и описывает все преобразования нашего четырехмерного пространства-времени Минковского, основного объекта специальной теории относительности Эйнштейна. А в физике элементарных частиц, космологии и теориях великого объединения язык теории групп Ли стал фактически естественным языком, обладающим предсказательной силой. Большинство физических законов там формулируются на языке симметрий и подходящих групп Ли.

Виновница торжества, группа Ли E8, – самая большая и сложная из так называемых исключительных (exceptional) групп Ли. Она включает в себя симметрии геометрических объектов в 57 измерениях и сама имеет размерность 248. Соответствующая ей "корневая система" насчитывает 240 векторов в восьмимерном пространстве. Тем не менее, ученым удалось составить полный каталог объектов, на которые может действовать эта группа, и описать, как именно она действует. Этот каталог и занял 60 гигабайт.

Пока даже сами авторы толком не знают, кому, как и когда может понадобиться их фундаментальный результат (несмотря на то что группа E8 тесно связана со многими математическими объектами), – слишком уж сложно в этом каталоге разобраться. Но слабая надежда на физиков-теоретиков уже есть. В одном из многочисленных вариантов теории струн (претендующей на великое объединение фундаментальных взаимодействий), который предполагает пространство и время 26-мерным, такие группы естественно возникают в процессе "свертывания" лишних размерностей.»

5. «Теория всего» Лиси (модель Е8)

Исключительно простая теория всего – единая теория поля, которая объединяет все известные физические взаимодействия, существующие в природе, предложенная американским физиком Гарретом Лиси (Лизи) 6 ноября 2007 года (то есть спустя полгода после того, как математики досконально «разобрались» с группой Ли Е8, см. выше). Теория основана на группе Ли E8 и интересна своей элегантностью (в силу того, что вся конструкция строится на одной-единственной группе Ли). В этой теории частицы вещества и кванты-переносчики всех взаимодействий описываются одинаковым языком– единым геометрическим объектом (группой Ли Е8). Геометрические объекты, сопоставленные с элементарными частицами, суть правильные фигуры, существующие как бы в некотором абстрактном воображаемом пространстве. Разумеется, мы не можем видеть эти фигуры (они принадлежат математическому пространству), однако нам дано выявить обусловленные ими эффекты уже в нашем реальном мире. Например, в теории Лиси дано предсказание о существовании двух новых, пока неизвестных, частиц (полей), и описаны их свойства (поэтому судьбу теории Лиси сможет решить Большой адронный коллайдер в ЦЕРНе).

«Теория всего» Лиси (это шутливое название самого Лиси, строго говоря, его модели Е8 ещё далеко до «настоящей» теории всего) позволяет свести все четыре силы в одну короткую формулу, которая имеет очень простой геометрический смысл – все взаимодействия возникают из-за кривизны единой исходной группы Ли Е8. И эта теория обходится без дополнительных пространствен­ных измерений и без суперсимметрии. Однако вся эта конструкция "работает" только когда пространство-время больше не существует (при сверхвысокой температуре), иначе нарушается одна из теорем физики элементарных частиц – теорема Коулмена-Мандулы, запрещающая объединение гравитации и остальных взаимодействий в единой (одной) группе Ли, если существует пространство-время. Таким образом, пока непонятно какая картина получится из теории Лиси при очень низких температурах, которые отвечают нашему обычному миру.

Вот что говорит сам Лиси о своей теории: «…реальная Вселенная может быть естественным образом объяснена математической структурой. Математическая теория объясняет нам, что такое бозоны Хиггса, как гравитация и другие взаимодействия возникают из нарушений симметрии, почему фермионы существуют именно с таким спинами и зарядами, почему частицы взаимодействуют так, а не иначе. Однако, несмотря на ее успехи, над этой теорией предстоит еще работать и работать. Надо понять, как теория Е8 позиционирует себя в качестве квантовой теории, как взаимодействуют между собой все три поколения частиц, как они получают свои массы, взаимодействуя с бозонами Хиггса.

Если данная теория верна, то, вероятно, Большой адронный коллайдер сможет зарегистрировать некоторые предсказываемые ею частицы. Если же на этом ускорителе будут обнаружены частицы, которых нет в модели Е8, это будет сокрушительный крах теории. В любом случае все найденные частицы найдут свое место на весовой диаграмме, ведя нас к сердцу Природы. Если структура Вселенной на мелких масштабах элементарных частиц описывается все же Е8 с ее 248 наборами окружностей, наматывающихся друг на друга, вращающимися и танцующими в пространстве–времени всеми возможными способами, тогда мы достигнем полного объединения теорий и получим удовлетворение от осознания того, что мы живем в удивительно красивой Вселенной.» (http://modcos.com/articles.php?id=53)