Три миллиона долларов за теорему

Сейчас самой крупной в мире научной премией в области математики является премия за прорыв в математике (Breakthrough Prize in Mathematics) – это ежегодная премия, присуждаемая за значительные (прорывные) достижения в области математики. Эта премия учреждена в 2013 году интернет-предпринимателями Юрием Мильнером (Mail.ru Group), Марком Цукербергом (Facebook), Сергеем Брином (Google), Джеком Ма (англ. Jack Ma) (Alibaba Group). Размер премии составляет по 3 миллиона долларов США каждому лауреату. Кстати, именно в такую сумму обходится всего лишь один день войны Украины со своим восставшим народом (такая сумма фигурирует в российских СМИ). Поэтому можно сказать, что человечеству все достижения математики достаются даром.

Первые пять лауреатов (2014 года) указанной премии выбраны Юрием Мильнером (он начинал как физик-теоретик, работал под руководством Виталия Гинзбурга) и другими учредителями премии после консультаций с экспертами. Среди пяти лауреатов есть и Теренс Тао, который получил премию за прорывной вклад в гармонический анализ, комбинаторику, дифференциальные уравнения в частных производных и аналитическую теорию чисел (что мы и рассмотрим ниже).

Те́ренс Чи Шен Тао (род. 17 июля 1975 года, Аделаида) – австралийский математик, наиболее известным достижением которого (в 2004 году совместно с британским математиком Беном Грином) является доказательство существования неограниченно длинных арифметических прогрессий простых чисел [теорема Грина-Тао, за которую (и здесь я лишь немного преувеличиваю) Тао получил премию в 3 миллиона долларов].

Напомню, что простое число (Р) – это натуральное (целое положительное) число, большее единицы, имеющее только два натуральных делителя: 1 и Р. Другими словами, простое число Р не делится (нацело) ни на какое другое число, кроме самого себя и единицы. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … . Натуральные числа (N), которые больше единицы и не являются простыми, называются составными и все они, согласно основной теореме арифметики, «строятся» из простых чисел (путем их перемножения, например: N = 1234567890 = 2*3*3*5*3607*3803). Таким образом, все натуральные числа разбиваются на три класса: простые, составные и единицу (это совершенно особое число). Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел (раздел высшей математики). В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Чем дальше (от числа 2 к бесконечности ∞) мы уходим по числовой оси – тем, вообще говоря (бывают случаи, когда это не так), всё реже и реже встречаются простые числа. При этом можно полагать, что «рождение» очередного простого числа – это псевдослучайный процесс, то есть лишь только похожий на некую «игру случая» в мире чисел (который детерминирован).

Чем больше число N, тем точнее выполняется главный закон мира чисел, указывающий количество (K) простых чисел на числовом отрезке [2; N], то есть от числа 2 до числа N:

K ~ N/lnN.                                         (1)

Иначе говоря, асимптотическая формула (1) указывает (с некой погрешностью) порядковый номер (K, в ряду всех простых чисел) наибольшего простого числа Р, не превосходящего числа N. Разумеется, что правая граница (N) отрезка [2; N] может быть и простым числом (Р). Например, простое число Р = 137 имеет порядковый номер K = 33 (см. выше ряд простых чисел), а формула (1) выдает нам: K ≈ P/lnP = 137/ln137 ≈ 137/4,92 ≈ 28 (относительная погрешность этого результата – около 18,5%).

Из формулы (1) в частности следует, что N/K ~ lnN, то есть на числовом отрезке [2; N] среднее расстояние между простыми числами (это отношение N/K) устремляется (с ростом числа N) – к логарифму натуральному числа N (правой границе отрезка).

Итак, теорема Грина-Тао утверждает, что существуют арифметические прогрессии простых чисел (АППЧ), состоящие из L членов, где L может быть любым натуральным числом (в том числе и сколь угодно большим). Вот примеры четырех таких прогрессий (из Википедии, сам я АППЧ пока не искал):

1). 3, 5, 7 (длина прогрессии L = 3; разность прогрессии R = 2);

2). 5, 11, 17, 23, 29 (длина L = 5; разность R = 6);

3). 7, 37, 67, 97, 127, 157 (длина L = 6; разность R = 30);

4). 7, 157, 307, 457, 607, 757, 907 (длина L = 7; разность R = 150).

Можно потребовать, чтобы, скажем, между соседними членами АППЧ не было других простых чисел, то есть, чтобы прогрессия представляла собой часть общей последовательности простых чисел (АППЧ «без пропусков», также из Википедии):

3, 5, 7 (длина прогрессии L = 3; разность прогрессии R = 3);

251, 257, 263, 269 (длина L = 4; разность R = 6);

9843019, 9843049, 9843079, 9843109, 9843139 (L = 5; R = 30);

121174811, 121174841, 121174871, 121174901, 121174931, 121174961 (L = 6; R = 30). Самые длинные из ныне известных АППЧ «без пропусков» имеют длину L = 10. Очевидно, что АППЧ «без пропусков» – это совершенно особая тема («внутри» всевозможных разновидностей АППЧ). И в рамках данной статьи мы не будем больше касаться АППЧ «без пропусков».

Каждый член арифметической прогрессии простых чисел (АППЧ) можно вычислить по следующей очевидной формуле:

Рk= Рmin + k*R,                                   (2)

где k = 0, 1, 2, 3, 4,…, (L – 1) – порядковый номер члена данной АППЧ; L – длина АППЧ, то есть количество всех её членов;

Рmin– первый член арифметической прогрессии (при k = 0);

Рk– k-й член данной арифметической прогрессии (АППЧ);

R– разность АППЧ (расстояние между соседними членами);

Рmax– старший член данной АППЧ (при k = L – 1), равный:

Рmax= Рmin + (L– 1)*R.                             (3)

Из теоремы Грина-Тао следует, что на числовой оси есть сколь угодно много АППЧ. Однако их поиск, даже с помощью мощнейших компьютеров, – дело весьма трудное. Так, помимо четырех АППЧ, указанных выше, в Википедии ещё приведены всего лишь шесть АППЧ (попробуйте сами найти АППЧ):

5). L = 10;   k = 0, 1, 2, 3,…, 9;      Рmin= 199;   R = 210.

6). L = 12; k = 0, 1, 2, 3,…, 11; Рmin= 110.437; R = 13.860.

7). L = 13; k = 0, 1, 2,…, 12; Рmin= 14.933.623; R = 30.030.  

8). 8.01.2007 г. Ярослав Вроблевский нашёл первый случай АППЧ из 24 простых чисел: L = 24; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…, 23;

Рmin= 468.395.662.504.823 (первый член данной АППЧ);

R = 205.619*223.092.870 ≈ 45.872.132.836.530, где константа 223.092.870 – это произведение всех простых чисел Р < 23.

9). 17.05.2008 г. Вроблевский и Раанан Чермони нашли АППЧ из 25 простых чисел: L = 25; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…, 24;

Рmin= 6.171.054.912.832.631 (первый член данной АППЧ);

R = 366.384*223.092.870 ≈ 81.737.658.082.080 (разность АППЧ).

10). 12.04.2010 г. Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений Prime Grid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел: L = 26; k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…, 25;

Рmin= 43.142.746.595.714.191 (первый член данной АППЧ);

R = 23.681.770*223.092.870 ≈ 5.283.234.035.979.900 (разность) и это – самая длинная из всех известных АППЧ по состоянию на апрель 2010 года (последовательность A204189 в OEIS).

Вполне возможно, что скоро математики придумают законы, алгоритмы, позволяющие находить сколь угодно много других АППЧ. При этом их «видовое» разнообразие также будет неисчерпаемо…

Далее приводятся результаты моего исследования десяти АППЧ, взятых из Википедии (и выше мною пронумерованных). В десяти указанных АППЧ я рассмотрел зависимость Рminот Рmaxи, с учетом своих представлений о… гармонии мира чисел, пришел к такой (весьма и весьма сомнительной) гипотезе:

Рmin~ Рmax/ln(Рmax).                                   (4)

То есть, в данной конкретной АППЧ первый член (Рmin) численно близок к количеству (K, см. формулу (1)) простых чисел, содержащихся на отрезке [2; Рmax], где правая граница – это старший член (Рmax) данной АППЧ. Вероятно, подобных АППЧ существует сколь угодно много, и чем больше Рmax, тем точнее выполняется асимптотический закон (4) (моя гипотеза).

Пусть Рmin* (со звездочкой) – это первый член – как результат вычисления по формуле (4). Тогда для данной АППЧ отношение Z = Рmin/Рmin* показывает во сколько раз реальный первый член (Рmin) больше (при Z > 1) или меньше (при Z < 1) гипотетического первого члена (Рmin*). Выше приведенные АППЧ выдают нам десять разных значений параметра Z, которые представлены на рис. 1 – для каждой длины (L) отложен свой параметр Z, причем в логарифмической шкале. При этом, если верна моя формула (4) (если верна моя гипотеза), то существует множество АППЧ, у которых параметр Z будет близок к единице (Z ~ 1). То есть множество точек на графике (подобном рис. 1) должны «толпиться» именно вокруг горизонтальной линии Z = 1. Разумеется, что лишь десять точек на рис. 1 – это сугубо «инженерный» (то есть почти абсурдный) аргумент в пользу моей математический гипотезы (4). Однако законы мира чисел иногда и… угадываются (и даже глупцами).

Ещё одна моя гипотеза касается разности (R) АППЧ:

R ~ Рmin.                                             (5)

То есть у нашей АППЧ, подчиняющейся гипотезе (4), разность (R) численно близка (по порядку величины) к первому члену данной АППЧ. В пользу данной гипотезы говорят аргументы, аналогичные гипотезе (4), то есть можно построить график, аналогичный приведенному на рис. 1 (со своим параметром Z).

С учетом гипотез (4) и (5) из формулы (3) мы получим:

L~ ln(Рmax),                                        (6)

то есть длина (L) нашей АППЧ численно близка (по порядку величины) к логарифму старшего члена (Рmax) нашей АППЧ. Иначе говоря [см. пояснения к формуле (1)], количество (L) всех членов нашей АППЧ численно близко к среднему расстоянию между простыми числами на отрезке [2; Рmax], где правая граница – это старший член (Рmax) данной АППЧ.

Из формулы (4) следует, что у нашей АППЧ при большом Рmax количество (K) простых чисел, расположенных на числовой оси между первым членом [Рmin~ Рmax/ln(Рmax)] и старшим членом (Рmax) будет порядка K ~ Рmax/ln(Рmax). Значит, получаем:

L/K ~ [ln(Рmax)]^2/Рmax.                               (7)

То есть с ростом старшего члена (Рmax) наших АППЧ отношение количества (L) простых чисел, входящих в данную АППЧ, к количеству (K) всех простых чисел, заключенных между Рmin и Рmax (в данной АППЧ) быстро убывает, устремляясь к нулю. Иначе говоря, рассматривая числа большого отрезка [2; Рmax], вероятность (L/K) обнаружить первый член (Рmin) некой АППЧ длинной L~ ln(Рmax) – будет очень малой (близкой к нулю).

Например, у нашей 10-й АППЧ мы имеем (см. выше) всм.меем:для нашей 10-й АППЧ зы (4):

L = 26 – это количество всех членов АППЧ (26 простых чисел);

Рmin= 43.142.746.595.714.191 ≈ 4,314*10^16 (первый член);

R≈ 5.283.234.035.979.900 ≈ 5,283*10^15 (разность АППЧ);

Рmax = Рmin + (L– 1)*R≈ 1,752*10^17 (старший член АППЧ).

Поэтому формула (7) даёт нам следующую вероятность (L/K):

L/K ~ [ln(Рmax)]^2/Рmax ≈ 8,997*10^–15 и это, согласитесь, – очень малая вероятность. Отчасти поэтому столь долго вёлся поиск первого члена данной АППЧ, длинной «всего лишь» L= 26. Кстати, нетрудно убедиться, что более точный (и трудоёмкий) метод вычисления даёт, практически, такой же результат:

L/K≈ L/[Рmax/ln(Рmax) – Рmin/ln(Рmin)] ≈ 7,910*10^–15.

Любопытно оценить указанные выше параметры, скажем, для ПТС-й АППЧ, у которой (по определению) Рmax ≈ e^(e^137) ~ 10^(10^59) – см. мою книгу «Новая виртуальная космология» (http://technic.itizdat.ru/docs/iav2357/FIL13850546230N820949001/1).Для такой АППЧ мы получаем следующее параметры:

L ~ ln(Рmax) ~ e^137 = 10^(137/ln10) ≈ 3,15*10^59, то есть количество членов такой АППЧ по порядку величины близко к количеству планковских времен (5,39106*10^–44 сек), которые «помещаются» в возрасте Вселенной (13,798 миллиардов лет).

R~Рmin ~ Рmax/ln(Рmax) ≈ e^(e^137)/e^137 = 10^(1,368*10^59) /3,15*10^59 ~ 10^(10^59) – даже и не пытайтесь хоть как-то представить себе это число (увы, это человеку не дано сделать).

L/K ~ [ln(Рmax)]^2/Рmax~ 1/10^(10^59) и это «почти» ноль, то есть найти (по крайней мере, с помощью пусть даже квантового компьютера) реальные, точные параметры подобной АППЧ – это, практически, не решаемая задача?

Кто-то из читателей скажет, что столь малая вероятность – L/K ~ 1/10^(10^59) – лишена всякого смысла. Однако это далеко не так. Например, в реальной космологии (физике) есть оценка вероятности выбора Творцом именно нашей Вселенной (с известной нам физикой) среди умопомрачительного количества всевозможных вселенных с иными, отличными от наших, законами физики. Так вот, указанная вероятность воплощения данного замысла Творца оценивается как 1/10^(10^123). См. замечательную научно-популярную книгу английского ученого Роджера Пенроуза «Новый ум короля…», М.: Едиториал УРСС, 2005 (стр. 297–301). И, вполне возможно, что законы мира чисел гораздо теснее связаны с реальными (физическими) законами, чем принято сейчас думать. Собственно об этом и говорит моя виртуальная космология (космология чисел).