ЛАГРАНЖИАН

ЛАГРАНЖИАН

Термин "Лагранжиан" в различных публикациях трактуется по-разному. Часто под лагранжианом понимают функцию Лагранжа и при этом вводят термин плотность лагранжиана, не определяя, что такое плотность лагранжиана. В энциклопедии физики и техники функцию Лагранжа определяют как трёхкратный интеграл от плотности функции Лагранжа по трёхмерному пространственному объёму; здесь плотность функции Лагранжа называют лагранжианом.

Понятия "лагранжиан", "плотность функции Лагранжа" являются составной частью лагранжева формализма и непосредственно связаны с принципом наименьшего действия. Кроме того, лагранжиан полностью определяет уравнения движения физических систем. Поэтому надо как-то определиться с этими терминами. Школьники на физических форумах задают вопрос: "Что такое лагранжиан?"

Возможен такой вариант.

ЛАГРАНЖИАН – в полевой формулировке это четырёхмерное непрерывное физически ненаблюдаемое скалярное поле, которое является функцией четырёх пространственно-временных координат и вводится в различные теории для удобства описания движения физических систем с точки зрения принципа наименьшего действия. Лагранжиан обладает тем свойством, что его трёхкратный интеграл по конечному пространственному объёму даёт функцию Лагранжа. В свою очередь, интеграл от функции Лагранжа на некотором временном интервале – это действие, которое на коротких интервалах времени всегда минимально для любой физической системы (для любых физических полей, частиц).

Таким образом, три понятия – действие, функция Лагранжа и лагранжиан – связаны между собой интегральными соотношениями.

Лагранжиан называют ещё плотностью функции Лагранжа – т.е. это функция Лагранжа, отнесённая к единице пространственного объёма. Плотность функции Лагранжа обладает важнейшим свойством: она лоренц-инвариантна, также как, например, электрический заряд. Это значит, что плотность функции Лагранжа какого-либо физически наблюдаемого поля (например, статического электрического или статического магнитного), рассматриваемая в конечном пространственном объёме, не зависит от скорости движения этого пространственного объёма вместе с полем. При интегрировании плотности функции Лагранжа по трёхмерному пространственному объёму получаем лоренц-неинвариантную функцию Лагранжа. Но при интегрировании функции Лагранжа на конечном малом интервале времени снова получаем лоренц-инвариантную величину – действие. Следовательно, четырёхкратный интеграл по четырём пространственно-временным координатам связывает две лоренц-инвариантные величины: действие и плотность функции Лагранжа. При этом действие – это не поле, не скаляр, это лоренц-инвариантное число, а плотность функции Лагранжа – это четырёхмерное непрерывное физически ненаблюдаемое лоренц-инвариантное скалярное поле, которое является функцией четырёх пространственно-временных координат, т.е. является лагранжианом. Итак, плотность функции Лагранжа, согласно приведённой формуле, и лагранжиан – это синонимы.

Есть другие мнения?