11.08.2013 04:00

И снова – "тень" ПТС в мире чисел

На модерации Отложенный

Математика – игра молодых. В математике чрезвычайно редко случается, чтобы учёный старше 40 лет опубликовал первую серьёзную научную работу. Ещё реже бывает, чтобы эта работа имела большую научную ценность. Именно такой редчайший случай представляет из себя доцент университета Нью-Гэмпшира Итан Чжан (Yitang Zhang), который до сих не имеет ни должности профессора, ни веб-странички со списком научных работ. Тем не менее, ему удалось совершить серьёзный шаг к решению одной из старейших математических проблем – гипотезе о простых числах-близнецах, то есть пары простых чисел, отличающихся на 2 (подробней о них расскажу ниже).

Когда журнал «Annals of Mathematics» получил 17 апреля 2013 года научную работу Итан Чжана, они восприняли её скептически. Заявка на прорывное исследование в теории чисел от неизвестного учёного? Это слишком банально и часто встречается, чтобы оказаться правдой. На удивление редколлегии, несколько научных экспертов подробно изучили работу Чжана – и нашли доказательство гипотезы о расстоянии между парными простыми числами предельно ясным, чётким и бесспорным. В результате, журнал одобрил работу для публикации в исключительно короткие сроки – уже через три недели после поступления.

В свои 50 с лишним лет Итан Чжан преподаёт алгебраическую геометрию в университете, но теория чисел (раздел высшей математики) была его хобби. Как обычно, математики часто увлекаются простыми числами как одной из самых интересных загадок в этой области науки. Внимание Чжана привлекла теорема простых чисел-близнецов.

Математики давно обратили внимание, что распределение простых чисел на числовой оси имеет определённые закономерности. В частности, странным феноменом выступают простые числа-близнецы, которые отличаются друг от друга на 2. Чем дальше мы уходим по числовой оси «вправо» (от первого простого числа 2 к бесконечности), тем реже встречаются числа-близнецы, но всё равно они продолжают встречаться снова и снова. Посмотрим на мир простых чисел чуть пристальнее.

Простое число (Р) – это натуральное число, имеющее два целых делителя: единицу и само себя (1 и Р). Ряд простых чисел бесконечен и начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, … В этом ряде простые числа-близнецы (простые-близнецы) будут следующими: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)… На декабрь 2011 года наибольшими известными простыми-близнецами являлись умопомрачительные по величине числа порядка 10^200699 (т.е. 10 в степени 200699). Математики предполагают, что простых-близнецов бесконечно много, но это аналитически не доказано – в этом и заключается знаменитая проблема простых-близнецов.

По гипотезе Харди-Литтлвуда, на отрезке [2; N] (от 2 до числа N включительно) количество (K) пар простых-близнецов, асимптотически приближается к значению

K = 2*0,66*S, (1)

где S – определенный интеграл от функции 1/(ln(x))^2, с пределами интегрирования от x = 2 до x = N(проинтегрировать не сложно на сайте «Империя Чисел»). Например, в рамках виртуальной космологии на так называемом Большом отрезке (N = 1,2698*10^62), содержащем Е = 8,9431*10^59 простых чисел, насчитывается около K = 8,3159*10^57 пар простых-близнецов (то есть отношение K/E = 0,0093 на 22% больше постоянной тонкой структуры: ПТС = 0,0072973525698).

Пусть символ И обозначает интервал (разность) между соседними (последовательными) простыми числами Р: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … Указанные интервалы образуют бесконечный ряд значений И: 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2,…, каждый из которых мы условно «припишем» наименьшему простому числу Р (из двух соседних). То есть каждому простому числу Р (отложенному по горизонтальной оси, см. рис. 1) мы поставим в соответствие свой интервал И (отложенный по вертикальной оси). Каждая пара числовых значений Р и И дает нам точку на плоскости рис. 1, и эти точки лежат на горизонтальных уровнях, первый из которых (уровень И = 2) – это и есть пресловутые простые-близнецы, а их точки, уходя вправо, будут встречаться всё реже и реже. При этом невозможно вообразить, что первый уровень точек (впрочем, как и любой выше лежащий уровень: И = 4, 6, 8, 10, …) когда-либо (при неком большом Р) вдруг… оборвется навсегда. То есть, глядя на рис.1, нам вполне «очевидно», что любой уровень (кроме И = 1), хотя и разряжается, но уходит вправо до бесконечности, и количество самих уровней (значение И) также растет (вверх) до бесконечности. Впрочем, для математиков подобные «аргументы» – пустой звук, то есть они вполне допускают (пока строго аналитически не решат проблему простых-близнецов), что точки первого уровня вполне могут оборваться навсегда (при неком колоссальном значении Р).

Пусть символ Иmaxобозначает максимальный интервал, который превосходят все ранее появившиеся значения И. Ряд значений Иmax бесконечен: 1, 2, 4, 6, 8, 14, 18, 20, 22, 34, … и ему соответствуют такие простые числа Р: 2, 3, 7, 23, 89, 113, 523, 887, 1129, 1327, … Красная линия на рис. 1 – это линия, построенная по всем значениям Иmax и, грубо говоря, за красную линию не будет «выпрыгивать» ни одна точка нашего графика (за исключением точек: И = 1, И = 2 и И = 4, поскольку в начале числовой оси мы имеем дело с сингулярностью).

Так вот, Итан Чжан доказал, что существует бесконечно большое количество соседних простых чисел, интервал (И) между которыми не более чем И = 70.000.000. Эти пары будут встречаться всё реже и реже, но не исчезнут никогда, несмотря на то, что среднее расстояние (L) между соседними простыми числами устремляется к бесконечно большому числу.

Поясню последнее утверждение. На отрезке [2; N] количество (Е) простых чисел будет около Е = N/lnN(это важнейший закон в теории чисел), значит, среднее расстояние между простыми числами будет равно L= N/E = lnN– это важный виртуальный параметр мира чисел, характеризующий отрезок [2; N]. При этом с ростом числа N его логарифм натуральный (lnN) растет до бесконечности (и относительно медленно, ведь это логарифм). Например, на гигантском Большом отрезке мы получим среднее расстояние всего лишь равное L= lnN = ln(1,2698*10^62) = 143, хотя интервал (И) между соседними простыми числами 2.010.733 и 2.010.881 (ещё относительно небольшими числами) уже впервые достигает значения И = 148 (затем данное значение И, как и всякое другое, будет многократно повторяться), а к концу Большого отрезка достигнет значения И = 19598 (об этом – ниже). Очевидно, что среднее расстояние между простыми числами (L= 143) сравнительно мало лишь потому, что на Большом отрезке ещё довольно велика доля простых чисел Р с относительно малыми интервалами И (в том числе чисел-близнецов с И = 2).

Максимальный интервал (Иmax) между соседними простыми числами в конце отрезка [2; N] достигнет значения

Иmax= (lnN)^2, (2)

и ни одна точка (кроме И = 2 и И = 4) на рис.

1 не выпрыгнет за красную линию. Данную формулу-гипотезу высказал шведский математик Крамер в 1936 году, и эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута. Грубо говоря, формула (2) означает, что пробелы между соседними (последовательными) простыми всегда «маленькие». [Кстати, ещё не зная о гипотезе Крамера, формулу (2) я и сам получил: книга «Параллельные миры II…», формула (42); книга «Зеркало» Вселенной», формула (2.18). Все мои книги и статьи (с рисунками, таблицами) находятся на портале (сайте) «Техно-Сообщество России» под псевдонимом iav2357, см. по ссылке: http://technic.itizdat.ru/users/iav2357 .]

При этом мы также приходим к любопытному отношению

L/Иmax = lnN/(lnN)^2 = 1/lnN. (3)

Например, в конце Большого отрезка (N = 1,2698*10^62) по формуле (2) мы получаем максимальный интервал между соседними простыми числами примерно равный Иmax= 20449. Это примерное число мы вправе чуть уменьшить, скажем, до Иmax = 19598 с тем, чтобы получить прелюбопытный результат: L/Иmax = 143/19598 = 0,0072966, что всего лишь на 0,01% меньше пресловутой постоянной тонкой структуры (ПТС = 0,0072973… ), «тень» которой то и дело обнаруживается в мире чисел (в рамках виртуальной космологии).

Итак, хотя с ростом отрезка [2; N] среднее расстояние (L = lnN) между простыми числами устремляется к бесконечности, однако при этом (согласно доказательству Чжана) всегда (до бесконечности) будут встречаться соседние простые числа, интервал между которыми не более чем И = 70.000.000, что просто удивительно (однако ещё не доказывает гипотезу простых-близнецов). «Эта работа изменит правила игры, – говорит Эндрю Грэнвилль, специалист в области теории чисел из Монреальского университета. – Иногда после появления нового доказательства [в данном случае Итан Чжана] то, что раньше казалось трудно доказать [гипотезу о простых-близнецах с И = 2], становится просто небольшим расширением. Теперь нам нужно изучить работу и понять, что к чему». Но по качеству доказательства нет никаких вопросов: «Он проработал каждую деталь, так что никто не поставит его работу под сомнение», – добавил Грэнвилль (см. http://habrahabr.ru/post/180259/).

Первые 75 максимальных интервалов (от Иmax = 2 до Иmax = 1476 на отрезке числовой оси от Р = 2 до Р = 1,4*10^18 приведены в Википедии в статье «Интервалы между простыми числами». Там сказано и следующее: «На 2009 г. наибольший известный интервал между числами, определенными как вероятно простые, имеет длину 2254930, с 86853-значными вероятно простыми… Наибольший известный интервал между простыми числами – это интервал длины 337446, с 7996-значными простыми…». Эти (заумные) слова далее я буду истолковывать таким образом (однако могу и ошибаться, принимая «обычные» интервалы И – за максимальные Иmax):

– для Р = 10^62 пусть Иmax = 19.598 (дальняя точка №1);

– для Р = 10^7996 пусть Иmax = 337.446 (дальняя точка №2);

– для Р = 10^86853 пусть Иmax = 2.254.930 (дальняя точка №3);

– для Р = 10^22354000 пусть Иmax = 70.000.000 (точка Чжана).

Как я нашёл простое число Р (его порядок) для точки Джана? Для этого я всего лишь построил линию тренда по трем гипотетическим дальним точкам (№1, №2 и №3):

ln(Иmax) = 0,645*lnlnP+ 6,611. (4)

На рис. 2 линия тренда (4) показана красной пунктирной линией, которая «ломается» в дальней точке №1, то есть в конце Большого отрезка, символизирующего современную нам эпоху (наше «сегодня», «сейчас», и даже «сию секунду») в рамках моей теории-игры (виртуальной космологии). На рис. 2 точками показаны 75-ть максимальных интервалов Иmax(их логарифмы) и четыре дальних точки (№1, №2, №3 и точка Чжана).

При этом для первых максимальных интервалов (точнее говоря, от Иmax = 18 до Иmax = 1476) строится аналогичная линия тренда, но существенно с другими параметрами:

ln(Иmax) = 2,2852*lnlnP– 1,2406. (5)

А вот формула (2), то есть гипотеза Крамера, нам дает:

ln(Иmax) = 2*lnlnP. (6)

На рис. 2 формула (6) рисует, скажем, линию Крамера – это сплошная красная линия, круто уходящая в бесконечность. Настолько круто, что здесь Иmax = 70.000.000 будет достигнуто у простого числа, «всего лишь» порядка Р = 10^3634.

Выводы

В данной статье, по сути дела, высказаны следующие гипотезы (в рамках виртуальной космологии):

1). В конце Большого отрезка (в нашу эпоху) выполняется соотношение L/Иmax = ПТС = 0,0072973… (постоянная тонкой структуры), где L– среднее расстояние между соседними простыми числами, Иmax – максимальный интервал между соседними простыми числами.

2). В конце Большого отрезка (около N = 1,2698*10^62) происходит резкое замедление темпов роста максимального интервала (Иmax), то есть крутое изменение закона роста Иmax (что наглядно показывает красная пунктирная линия на рис. 2).

3). За пределами Большого отрезка, вероятно, чем больший отрезок [2; N] (чем большие простые числа Р) мы будем рассматривать, тем всё медленнее будет расти максимальный интервал (Иmax) между простыми числами. Именно такой (бесконечно замедляющийся?) закон роста Иmax приводит к тому, что простые числа Р с любым параметром И (в частности простые-близнецы, у которых И = 2) будут встречаться на числовой оси бесконечно долго (всегда). В рамках моей виртуальной космологии это означает, что пространство-время будет неизбежно расширяться («таять», «редеть», «испаряться»), но никогда не исчезнет бесследно (по типу реликтового фона).