Квадрат-кубы, гиперкубы, n-кубы и Пифагоровы тройки

Отсутствие квадрат-кубов в Пифагоровых тройках.
 

[math]m = \frac{z + x}{2}, n = \frac{z - x}{2}[/math] [b](1)[/b]

[math]x = m - n, y = \root {2}{4mn}, z = m + n[/math] [b](2)[/b]

[math]x = m - n = x_2^3[/math]
[math]y = \root {2}{4mn} = y_2^3[/math]
[math]z = m + n = z_2^3[/math]

При условии: [math]\root {2}{m = \frac{z + x}{2}} > 1, \root {2}{n = \frac{z - x}{2}} > 1[/math]

[math]x^2 = (\frac{z + x}{2} - \frac{z - x}{2})^2 = (\frac{2x}{2})^2 = (\frac{z + x}{2})^2 + (\frac{z - x}{2})^2 - \frac{z^2 - x^2}{2} = \frac{z^2 + x^2}{2} - \frac{z^2 - x^2}{2} = \frac{2x^2}{2}[/math]
[math]y^2 = 4*\frac{z + x}{2} * \frac{z - x}{2} = (z + x) * (z - x) = z^2 - x^2 [/math]
[math]z^2 = (\frac{z + x}{2} + \frac{z - x}{2})^2 = (\frac{2z}{2})^2 = (\frac{z + x}{2})^2 + (\frac{z - x}{2})^2 + \frac{z^2 - x^2}{2} = \frac{z^2 + x^2}{2} + \frac{z^2 - x^2}{2} = \frac{2z^2}{2} [/math]

Необходимое условие: [math]\root {2}{m = \frac{z + x}{2}} > 1, \root {2}{n = \frac{z - x}{2}} > 1[/math]
Сокращенная формула: [math]x^2 + y^2 = z^2 = \frac{z^2 + x^2}{2} - \frac{z^2 - x^2}{2} + z^2 - x^2 = \frac{z^2 + x^2}{2} + \frac{z^2 - x^2}{2} = (x_2^3)^2 + (y_2^3)^2 = (z_2^3)^2[/math]

В общем, по формулам в правой части - [math](x_2^3)^2 + (y_2^3)^2 = (z_2^3)^2[/math]. Теперь необходимо доказать, что кубы-квадраты по формуле [math](v^3)^2[/math], не могут быть квадратами Пифагоровых троек. Если такое возможно, например, для одного квадрата Пифагоровой тройки, то остальные квадраты Пифагоровой тройки не являются квадратами-кубами по формуле [math](v^3)^2[/math].

Выражение [math](x_2^3)^2 + (y_2^3)^2 = (z_2^3)^2[/math], является правильным представлением квадрат-куб. Можно получить квадрат из куба иначе [math]x_2^3x_3^2 + y_2^3y_3^2 = z_2^3z_3^2[/math], что также является представлением куба как квадрата, но не представлением квадрата как куба...

куб * куб = куб, квадрат * куб = квадрат, [math]x^2 * x^n = x^{2+n}[/math], [math]x^n * y^n = (x * y)^n= z^n[/math]

Таким образом свойство квадрата других степеней [math]n > 1[/math], то что они дают свою степень степеням кратным их степени, иными словами при умножении только на себя, например, [math]x^3 * y^6 = x^3 * y^3 * y^3[/math].

При умножении степени [math]n_1=3[/math] на не кратную степень [math]n_2 > 3[/math], получается только сумма [math]n_3 = n_1 + n_2[/math], не картная [math]n_1, n_2[/math], если [math](n_1, n_2)[/math] не кратны [math](n_1, n_2)[/math].

Все квадраты в выражении [math]x^2+y^2=z^2[/math] должны делиться на некий куб и возвращать куб или 1.

Доказательство основывается на том, что при кубе равном одному из квадратов [math]x^2, y^2, z^2[/math], по формуле Пифагоровых троек в выражении [math]\frac{z^2 + x^2}{2} - \frac{z^2 - x^2}{2} + z^2 - x^2 = \frac{z^2 + x^2}{2} + \frac{z^2 - x^2}{2}[/math], не образуются другие кубы-квадраты.

Рассмотрим выражение: [math]a^3 + b^3 = c^2[/math]

Очевидный ответ на этот вопрос можно было бы найти по формуле [math](x^3)^2+(y^3)^2=(z^3)^2[/math], но она не выполняется (в целых числах) !! В соответствии с теоремой Ферма, не получить [math]z[/math] в целых числах, а [math]z^3[/math] в целых все-таки возможно...

Решение [math]a^3 + b^3 = c^2[/math] на основе кубов.

Поэтому одним из возможных решений является: [math]4^3+8^3 = (2^2)^3+8(2^3)^2 = 9(2^3)^2 = 24^2[/math], еще одним решением является [math]1^3+2^3 = (1^2)^3+8(1^3)^2 = 9(1^3)^2 = 3^2[/math].

Таким образом мы получили сумму: квадрат-куб + (куб = 8 * квадрат-куб)  = (квадрат = 9 * квадрат-кубов) или [math]a^3+(b^3=8a^3)=(c^2=9a^3)[/math].

Иначе все можно записать простыми формулами:
[math]a^3 = (v^3)^2[/math], квадрат-куб
[math]a = v^2[/math]

[math]b^3 = 8a^3 = 2^3 * a^3[/math], куб из квадрат-кубов a^3
[math]b = 2a = 2v^2[/math]

[math]c^2 = a^3 + b^3 = a^3 + 8a^3 = 9a^3 = 3^2 * a^3 = (3v^3)^2[/math], квадрат квадрат-кубов
[math]c = 3\root{2}{a^3} = 3v^3[/math]

Таким образом [math]с^2[/math] всегда является квадратом квадрат-кубов или [math](v^3)^2)^2[/math].

Хотя доказательство этого факта не получено, как и единственности решения нет.

Сокращенно это решение записывается по формуле [math](8^n+1^n)=((2^3)^n+1^n)=(2^{3n} + 1^n[/math], основывая на том, что если [math]n > 1[/math], то квадрат не может быть получен. Что также не доказано.

Решение [math]a^3 + b^3 = c^2[/math] на основе формулы суммы кубов.

[math]a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab)[/math]
Если присмотреться к формуле и проверить результат по известным квадрат-кубам или 6-кубам, то формула выше принимает следующий простой вид:
[math]a^3+b^3=(a+b)x^2(a+b)=(a+b)(a^2 + b^2 - ab)=(a+b)^2x^2[/math], где [math]x^2 = \frac{a^3+b^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2 + b^2 - ab}{a+b}, x^2(a+b)=a^2 + b^2 - ab[/math] соответственно [math]x = \root{2}{\frac{a^3+b^3}{(a+b)^2}=\frac{a^2 + b^2 - ab}{a+b}}[/math].
Таким образом получена иная формула для суммы кубов [math]a^3+b^3=(a+b)x^2(a+b)=(a+b)^2x^2=((a+b)x)^2[/math], которая дает x в целых числах, если [math]a^3, b^3[/math], составляют квадрат квадрат-кубов. Или число [math]\frac{a^3+b^3}{a+b}=x^2(a+b)=(a^2 + b^2 - ab)[/math]

Формула для получения квадрата из суммы кубов: [math]a(a+b)^2 = a^3+b^3[/math]. При этом a, должно быть квадрат [math]x^2=a, x = \root{2}{a}[/math], а также меньшим кубом [math]a^3. Таким образом [math]x^2 = \frac{a^3+b^3}{(a+b)^2} = \frac{a^2 + b^2 - ab}{a+b}, x^2=a[/math], иначе сумма кубов не квадрат.

Откуда следует формула для куба [math]b^3[/math]:
[math]a^3+b^3=a^3+ab(2a+b)[/math], где [math]b^3=ab(2a+b)[/math], если сумма кубов квадрат.

При [math]a(a+b)^2 = a^3+b^3[/math] и условии что [math]a = x^2, x = \root{2}{a}[/math]. Следует что сумма кубов [math]a^3+b^3[/math], дающая в результате квадрат, состоит из произведения 2х квадратов [math]a(a+b)^2=x^2(a+b)^2[/math].

Из [math]a(a+b)^2=x^2(a+b)^2[/math] следует, что сторона квадрата образованного суммой 2х кубов равна:
[math]c=\root{2}{a(a+b)^2=x^2(a+b)^2}=\root{2}{a}(a+b)=x(a+b)[/math], где [math]b=\frac{c}{\root{2}{a}}-a=\frac{c-{\root{2}{a}}^3}{\root{2}{a}}[/math] любо корню квадратного уравнения из [math]ab(2a+b)-b^3=ab^2+2a^2b-b^3=0[/math].