Уроки математики
Раздел "Экономика: идеология и наука"
Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Таким образом накапливался материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. В Вавилоне на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии начатки тригонометрии.
Начальный этап
В течение этих двух первых периодов математические исследования имеют дело преимущественно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших ещё на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам, навигации и т. п.
Особое значение имело накопление арифметических и геометрических знаний в Египте и Вавилонии 4000-2500 лет тому назад. Тогда же там появились зачатки алгебры и тригонометрии. Китайцы изобрели числа около 2600 г. до н. э. и знали, как свидетельствует «Священная книга счета» (XII в. до н. э.), что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный.
"Доевклидова" математика
Сохранившиеся древнейшие математические тексты Др. Египта, относящиеся к началу 2-го тыс. до н. э., состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах;
Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математическая теория в смысле системы взаимосвязанных и, вообще говоря, так или иначе доказываемых общих теорем, видимо, вовсе не существовала. Тем не менее самый запас установленных математических фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик.
Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приёмов арифметических вычислений, способов определения площадей и объёмов и т. п. возникает Математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её метода и необходимости систематического развития её основных понятий и Предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре возможно, что указанный процесс начался уже в Вавилоне. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математической науки, в Др. Греции.
Аксиоматический метод
Древнегреческий ученый Фалес Милетский (VIв. до н.э.) поставил вопрос о строгом доказательстве математических утверждений и последовательном переходе от доказательства одного положения к другому.
Спустя три века эту идею блестяще реализовал Евклид в своих знаменитых «Началах». В их основу Евклид положил определения, постулаты и аксиомы, истинность которых представлялась наглядно очевидной. После этого он сформулировал теоремы и привел их доказательства. Теоремы расположил так, чтобы каждую можно было доказать на основании аксиом и постулатов, а также предыдущих, уже доказанных теорем.
Экономисты, хотя среди них и были и есть неплохие математики, игнорируют принципы аксиоматического метода, предпочитая литературное изложение своих теорий. Их недостаток состоит «в постоянном использовании неработающих понятий, нечетких и неопределенных слов, чей смысл непрерывно меняется в ходе рассуждений от автора к автору» (Морис Алле).
Символика
В конце 15 в. вместо громоздкого словесного описания алгебраических действий, господствовавшего ранее, в математических сочинениях появляются принятые теперь знаки «+» и «-», затем знаки степеней, корней, скобки. И лишь в конце 16 в. стали применяться буквенные обозначения как для неизвестных, так и для заданных величин.
Геометрия Лобачевского
Пятый постулат Евклида в современной редакции звучит так: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной. Евклид не использовал этот постулат для доказательства каких-либо теорем, и он оказался вроде бы «лишним».
В течение двух тысячелетий математики пытались доказать его как теорему, потратив на это остроумия не меньше, чем на задачу о квадратуре круга.
В 1829 году Н.И. Лобачевский опубликовал свою «воображаемую» геометрию, в которой пятый постулат заменен на другой: через тоску вне прямой на плоскости проходят две прямые, не пересекающие данную. При этом все остальные аксиомы Евклида были оставлены без изменения. В результате получилась совершенно другая геометрия, которая впоследствии была названа именем автора. Современники не поняли геометрию Лобачевского. Лишь в начале ХХ века эта геометрия приобрела и смысл, и значение. Альберт Эйнштейн использовал ее для общей теории относительности как уже готовый математический аппарат. Сегодня геометрия Лобачевского с успехом используется не только для исследования космического пространства, но и для изучения столкновений элементарных частиц и других вопросов ядерных исследований.
В этой примечательной истории интересны два момента. Во-первых, новая геометрия получилась из старой в результате изменения лишь одного постулата, а, во-вторых, новая геометрия нашла впоследствии «свое» пространство.
В отношении экономики эти моменты будут звучать несколько иначе: не изменилось ли «экономическое пространство» капитализма настолько, что он должен отвечать уже другим требования, и в связи с этим для него надо искать новые аксиомы?
Квадратура круга
Многие проблемы современной экономики также кажутся неразрешимыми. Может быть, для более успешного решения этих и других «вечных» проблем необходимы какие-то экономические «гибриды»?
С задачей о квадратуре круга был знаком еще Ахмес, писец египетского фараона Аменемхета III, а был это XIX век до нашей эры! Из Древнего Египта эта задача перешла в Грецию. Во второй половине V в. до н. э. Гиппократ из Хиоса сформулировал следующую теорему: «Площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса». Но проблема заключалась в том, как найти коэффициент пропорциональности – число «пи». Философ Анаксагор, брошенный в 434 г. до н. э. в тюрьму, по словам Плутарха, «в темнице нашел квадратуру круга». Размышляя о квадратуре круга, Гиппий из Элиды в 420 г. до н. э. придумал кривую, отличную от окружности – «квадратрису».
Геометрический вариант задачи о квадратуре круга на протяжении двух тысячелетий не поддавался усилиям лучших математиков. Причины загадочного «упорства» задачи были установлены лишь в 1882 г. Ф. Линдеманом. Он строго доказал, что задача о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки - неразрешима. Дальше уже выяснилось, что эту задачу можно все-таки решить, если для построения искомого квадрата использовать специальную кривую –
квадратрису, которая, кстати, также была известна уже в древности. При построении этой кривой используются свойства и квадрата, и круга, то есть она является своего рода геометрическим «гибридом». Метод ее построения очень красиво показан в Википедии.
Как видно из построения квадратрисы, она является своего рода синтезом свойств квадрата и круга. Это наводит на мысль способ решения некоторых экономических задач, которые кажутся неразрешимыми.
Массовые задачи
В различных областях математики возникают проблемы, в которых требуется найти единую механическую процедуру (алгоритм), с помощью которой можно было бы решить любую задачу из данного бесконечного класса однотипных задач. Такие задачи математики называют массовыми. Для некоторых из них найти алгоритм решения долгое время не удавалось. А в 20-30-х годах прошлого века, когда было выработано точное понятие алгоритма, было доказано, что искомые для них алгоритмы не существуют. Однако это не исключает возможность найти единый алгоритм для какой-то отдельной группы таких задач.
Что касается экономики, то вся она построена на нормах права, устанавливаемых государством в форме законов, указов, постановлений, инструкций и других нормативных актов. Большинство из них содержит те или иные правила совершения экономических действий, то есть по своей сути являются алгоритмами. Если строго придерживаться этих правил, то некоторые экономические задачи или вообще решить невозможно, или их решения оказываются неудовлетворительными.
Статьи по теме: 1) Аксиоматический метод
Возврат в Состав проекта
Комментарии
Разве это хорошо?