Возведение в степень. Физический смысл

В каких случаях мы используем операцию возведения в степень? Например, при расчете площади, объема. В физике часто используется квадрат скорости.

В любом из этих случаев мы пытаемся выразить свойство высшего порядка через свойство низшего порядка. Например, площадь – через длины сторон, объем – через площадь основания и высоту. Насколько такая операция обоснована? Не происходит ли при этом утрата какой-то важной информации? Давайте попробуем ответить на этот вопрос.

Начнем с самого простого – измерения площади. Для расчета площади мы умножаем длину на ширину. При этом мы не учитываем угол между ними, т.е. теряем информацию о пространственном расположении, о форме. Поэтому мы вынуждены ограничить себя тем, что можем вычислить лишь площадь прямоугольной фигуры.

При вычислении площади для нас не имеет значения, какую сторону считать длиной, а какую шириной. Обычно за длину мы принимаем бОльшую сторону, а за ширину – меньшую. Но при этом мы совершенно не учитываем свойства пространства в разных направлениях.

Хотя для физического объекта есть понятия «верх», «низ», «право», «лево», именно они влияют на пространственное расположение тел и их взаимодействие.

При вычислении же площади квадрата или куба, мы совершенно теряем различие между длиной, шириной и высотой. Мы просто записываем «а в квадрате» или «а в кубе».

В самой популярной физической формуле энергия выражается через произведение массы и квадрата скорости света (Е=mc^2). Не означает ли это, что мы просто не различаем некие важные физические характеристики скорости света (электромагнитной волны)? Разумеется! И эти характеристики есть не что иное, как частота и длина волны. Их произведение есть величина постоянная.

Такое умножение является афинным преобразованием, когда множители (внутренние пропорции) меняются, а произведение остается постоянным. Именно такое постоянство в природе обеспечивает существование законов сохранения и познаваемость мира, способность вычислять одни значения через другие.