Войти в аккаунт
Хотите наслаждаться полной версией, а также получить неограниченный доступ ко всем материалам?
Заявка на добавление в друзья

Теория хаоса

3688 106 15

Теория хаоса

Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного математического определения понятия хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе. Следует отметить, что хаос не случаен, несмотря на свойство непредсказуемости. Более того, хаос динамически детерминирован (определен). На первый взгляд непредсказуемость граничит со случайностью – ведь мы, как правило, не можем предсказать как раз случайные явления. И если относиться к рынку как к случайным блужданиям, то это как раз тот самый случай.

Однако хаос не случаен, он подчиняется своим закономерностям. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном движении цены, то вы должны иметь ввиду не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема. Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые малые ошибки при измерении параметров исследуемого объекта могут привести к абсолютно неверным предсказаниям. Эти ошибки могут возникать вследствие элементарного незнания всех начальных условий. Что-то обязательно ускользнет от нашего внимания, а значит, уже в самой постановке задачи будет заложена внутренняя ошибка, которая приведет к существенным погрешностям в предсказаниях.

Применительно к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий иногда называют «эффектом бабочки». «Эффект бабочки» указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе. Дополнительные неточности в результат исследований и расчетов могут вносить самые на первый взгляд незаметные факторы воздействия на систему, которые появляются в период ее существования с начального момента до появления фактического и окончательного результата. При этом факторы воздействия могут быть как экзогенные (внешние), так и эндогенные (внутренние).

Ярким примером хаотического поведения является движение бильярдного шара. Если вы когда-либо играли в бильярд, то знаете, что от начальной точности удара, его силы, положения кия относительно шара, оценка месторасположения шара, по которому наносится удар, а также расположения других шаров, находящихся на столе, зависит конечный результат. Малейшая неточность в одном из этих факторов приводит к самым непредсказуемым последствиям – шар может покатиться совсем не туда, куда ожидал бильярдист. Более того, даже если бильярдист все сделал правильно, попробуйте предсказать движения шара после пяти-шести столкновений.

Рассмотрим еще один пример влияния начальных условий на конечный результат. Представим себе, например, камень на вершине горы. Стоит его чуть-чуть подтолкнуть, и он покатится вниз до самого подножия горы. Понятно, что совсем малое изменение силы толчка и его направления может привести к очень значительному изменению места остановки камня у подножия. Есть, правда, одна очень существенная разница между примером с камнем и хаотической системой. В первом факторы воздействия на камень во время его падения с горы (ветер, препятствия, изменения внутренней структуры вследствие столкновений и т.п.) уже не оказывают сильного воздействия на конечный результат по сравнению с начальными условиями. В хаотических системах малые изменения оказывают значительное воздействие на результат не только в начальных условиях, но и прочих факторах. Один из главных выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем – будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий. То же самое по-простому – малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия.

 

Рисунок 1. Существенная зависимость результата от начальных условий и факторов воздействия

 

Еще одним из основных свойств хаоса является экспоненциальное накопление ошибки. Согласно квантовой механике начальные условия всегда неопределенны, а согласно теории хаоса – эти неопределенности будут быстро прирастать и превысят допустимые пределы предсказуемости. Второй вывод теории хаоса – достоверность прогнозов со временем быстро падает. Данный вывод является существенным ограничением для применимости фундаментального анализа, оперирующего, как правило, именно долгосрочными категориями.

 

Рисунок 2. Экспоненциальное снижение достоверности прогнозов

 

Обычно говорят, что хаос является более высокой формой порядка, однако более правильно считать хаос другой формой порядка – с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом порядок. Если мы определим хаос как беспорядок, то в таком беспорядке мы обязательно сможем увидеть свою, особенную форму порядка. Например, дым от сигарет сначала поднимающийся в виде упорядоченного столба под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными.

Еще один пример хаотичности в природе – лист с любого дерева. Можно утверждать, что вы найдете много похожих листьев, например дуба, однако нет ни одной пары одинаковых листьев. Разница предопределена температурой, ветром, влажностью и многими другими внешними факторами, кроме чисто внутренних причин (например, генетической разницей).

Движение от порядка к хаосу и обратно, по всей видимости, является сущностью вселенной, какие бы проявления ее мы не изучали. Даже в человеческом мозгу одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала. Первое соответствует левому полушарию мозга, а второе – правому. Левое полушарие отвечает за сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется «если…, то…». В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга.

Теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем. Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B. Mandelbrot).

Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды. До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что «…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем». Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир». Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая».

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.

Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы. Аттрактор (от англ. to attract – притягивать) – геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства. Итак, фазовое пространство – это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две степени свободы. Это движение полностью определено начальной скоростью маятника и положением. Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутая кривая. В реальности на Земле на движение маятника влияет сила трения. В этом случае фазовым пространством будет спираль.

 

Рисунок 3. Движение маятника как пример фазового пространства

 

По простому, аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается. Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку. Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой. Третий тип аттрактора – тор. На рисунке 4. тор показан в верхнем правом углу.

 

Рисунок 4. Основные типы аттракторов. Вверху показаны три предсказуемых, простых аттрактора. Внизу три хаотических аттрактора.

 

Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно предсказывать его. И хотя нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы. Первым хаотическим аттрактором стал аттрактора Лоренца. На рисунке 3.7. он показан в левом нижнем углу.

 

Рисунок 5. Хаотический аттрактор Лоренца

 

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом. Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения – разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.

Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов. Сходимость-расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой.

При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости – возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации. В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука – способностью устанавливать связи между причинами и следствиями – в хаотических системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в хаосе нет.

Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора. Таким образом, можно отметить, что основным свойством хаотических аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия, фрактал – это противоположность хаоса. Главное различие между хаосом и фракталом заключается в том, что первый является динамическим явлением, а фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий. Фрактал – это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала – самоподобие. Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала. Фактически все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.

 

Рисунок 6. Фрактал «ковер Серпинского»

 

Данный фрактал получается путем проведения ряда итераций. Итерация (от лат. iteratio - повторение) – повторное применение какой-либо математической операции.

 

Рисунок 7. Построение ковра Серпинского

 

Хаотический аттрактор является фракталом. Почему? В странном аттракторе, также как и во фрактале по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. Как бы мы не изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым. В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия. Первым наиболее известным и авторитетным ученым, исследовавшим фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х годов XX века разработал фрактальную геометрию или, как он ее еще назвал – геометрию природы. Об этом Мандельброт написал свой известный труд «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature). Многие называют Мандельброта отцом фракталов, т.к. он первым начал использовать его применительно к анализу нечетких, неправильных форм. Дополнительная идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим об одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мире. Однако могут существовать и нецелые измерения, например, 2.72. Такие измерения Мандельброт называет фрактальными измерениями.

Логика существования нецелых измерений очень простая. Так, в природе вряд ли найдется идеальный шар или куб, следовательно, 3-мерное измерение этого реального шара или куба невозможно и для описания таких объектов должны существовать другие измерения. Вот для измерения таких неправильных, фрактальных фигур и было введено понятие фрактальное измерение. Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие шара. Отсюда можно предположить, что новый объект будет иметь измерение больше 2-х, но меньше 3-х. Это плохо укладывается в евклидовую геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5. Различают детерминистские фракталы, примером которых является ковер Серпинского, и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой. Сложным фракталам присуща бесконечная сложность, хотя и генерируются простой формулой. Классическим примером сложного фрактала является множество Мандельброта, получаемое из простой формулы Zn+1=Zna+C, где Z и C – комплексные числа и а – положительное число. На рисунке 8 мы видим фрактал 2-й степени, где а = 2.

 

Рисунок 8. Множество Мандельброта

 

К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций. Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек. Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации. Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение Xn+1=CXn - С(Хn)2, где С - внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу. Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения. Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом (С(Хn)2). Результатом расчетов являются следующие выводы: - при С < 1 популяция с ростом n вымирает; - в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка была притягивающая фиксированная; - в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается; - при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим. Отсюда вывод - заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса. Зависимость численности популяции от параметра С приведена на следующем рисунке.

Динамические переменные Xn принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.). Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий). Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало т.н. «дерево Фейгенбаума».

 

Рисунок 10. Дерево Фейгенбаума (расчет на основе немного измененной логистической формулы)

 

Что же такое бифуркации в обыденности, по простому. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу. С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.

К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни. На сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с тем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.

"The hypocrite! - said he to himself. - But I will unmask him". 
Copyright (c) 2007-2009 unmask.ru (Iliya Malikov)


Источник: unmask.ru
Теги: теории
{{ rating.votes_against }} {{ rating.rating }} {{ rating.votes_for }}

Комментировать

осталось 1800 символов
Свернуть комментарии

Все комментарии (106)

Анатолий Валетов

комментирует материал 06.05.2013 #

Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в хаосе нет
...
Интересный вывод. Разумеется, так говорить нельзя, прошлое всегда определяет будущее, во всяком случае в нашем мире. Но эта причинно-следственная связь может быть неоднозначной, нелинейной, не аналитической, не алгоритмической и "не прочее". Но наука "верит" что эта связь всегда научна, хотя предлагается целое многообразие мистических зависимостей.

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 06.05.2013 #

важно и то, что время можно обратить и в необратимой системе, эволюция которой тяготеет к "хаосу". Однако обращённая во времени эволюция вовсе не обратится, т.е. не пойдёт по тому же пути. А просто повторит те же особенности, которые система имеет при "прямом" течении времени.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Микола Борисiв на комментарий 10.05.2013 #

Вы говорите о Втором законе термодинамики, из-за которого процессы могут идти лишь в одну сторону. Ваза упала на пол и разбилась, в результате энтропия выросла и значит процесс разрешен. А если повернуть время, то ваза должна собраться из осколков. Такого не бывает, мы подобного не видели. И Второй закон термодинамики запрещает подобное, как процесс протекающий с понижением энтропии.

Но 2-й закон - от интегральный, и энтропия - это интегральный параметр всей системы, а в отдельных частицах энтропии нет. А если мы перейдем к фазовому пространству, к положению каждой молекулы вазы, и обратим ход времени, то возможно что ваза и склеится. Но для этого нужно точно задать миллиарды миллиардов уникальных импульсов, что сразу же сильно понизит энтропию системы, и процесс сбора вазы пойдет с повышением ее.

Теоретически вроде бы так, но что-то мне подсказывает что ваза все равно не склеится )

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 10.05.2013 #

проблема в том, что задать миллиарды миллиардов уникальных импульсов плюс точные координаты всех частиц в принципе невозможно. И не по причине огромного их числа, а по причине наличия принципа неопределённости, запрещающего точное знание этих величин. Мы можем задать в качестве начальных условий в фазовом пространстве не точки (предположим, что все частицы - точечные), а маленькие объёмчики вокруг этих точек. И если траектории точечных частиц, имеющие очень-очень сложный характер, всё-таки остаются вполне точно определёнными линиями (в предположении точного определения начальных условий для всех), то эти объёмчики с течением времени равномерно размазываются в пространстве, делая, таким образом, невозможным даже предположительное обращение времени вспять. Потому что задавая частицу не точкой, а лишь областью, где она предположительно может находиться, мы изначально вводим вероятностную трактовку в само определение начальных условий. Получается, что если даже предположить наличие абсолютно точных приборов бесконечной точности, эргодичность системы всё равно неизбежно вытекает из фундаментальных принципов.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Микола Борисiв на комментарий 25.06.2013 #

А как быть если лед бросили на раскаленную плиту. Он испарился, и вообще забыл какую имел форму. А потом время повернули, и на каком основании молекулы воды, при соприкосновении с огнем, в лед превратятся?

no avatar
Рина RINA

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

Существует раздел математики, изучающий очень сложное поведение детерминированных динамических систем… Выражение "теория хаоса" используется преимущественно в популярной литературе) А с точки зрения математики - эта "теория" не что иное, как раздел теории динамических систем. Так, что наука не просто "верит"...Всё можно доказать и расчетать с определенной долей вероятноси, естественно....))

no avatar
Шпiλѣß♥kа Иp�на

комментирует материал 06.05.2013 #

Великий авгур, президент-самородок Владимир Владимирович Путен способен победить любые антироссийские деструктивные силы!
... в том числе и Хаос, крепкой намоленной рукой православного чекиста, расщепив последнему хребет в области шейных позвонков и в клочья разорвав подонку печень.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Шпiλѣß♥kа Иp�на на комментарий 06.05.2013 #

Вы медик? )

no avatar
Eni U

комментирует материал 06.05.2013 #

К сожалению в источнике не обнаружил автора.
Должен сказать, что ХАОС это не БЕСПОРЯДОК (бардак), это непроявленная (не осмысленная человеком) Закономерность. Древние так и говорили, - В начале был ХАОС, затем возникло Слово. В Кибернетике есть такое определение Клода Шенонна, что именно Хаос может тащить на себе Информацию и Хаосом можно УПРАВЛЯТЬ.
Вот два определения, древнее и современное, но как они СТЫКУЮТСЯ чрез Века!

no avatar
Карен Бабаян

комментирует материал 06.05.2013 #

непредсказуемость хаоса из-за того что не знаем или не можем просчитать все факторы влияющие на процесс...

no avatar
Старый Соболь

комментирует материал 06.05.2013 #

Хороший очерк. Главное, краткий.
Уважаю!
Я бы от себя добавил, что система, предоставленная сама себе стремится к некому стационарному состоянию, нежно названному здесь аттрактором. Сие есть результат иерархии взаимодействий в оной системе, приводящее к тому, что некоторые параметры играют более важную роль нежели другие. Это как раз приводит к структурированию хаоса.

no avatar
Alexandr Guryan

отвечает Старый Соболь на комментарий 06.05.2013 #

Мог бы быть еще короче... Чушь.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Старый Соболь на комментарий 07.05.2013 #

Если это перевести в контекст пространства обобщенных координат, то вы утверждаете что эти самые обобщенные координаты неортогональны. Интересная мысль, ведь на самом деле просматривается зависимость между координатами.

no avatar
Старый Соболь

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

А в ортогональных чтоб хаос поиметь вам придётся специальные функции выбирать. А произвольная функция, вообще говоря, хаоса не обеспечит.
Впрочем, и в реальности, аттрактор типа точки в фазовом пространстве наиболее популярная форма стационарности.

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

совершенно неважно, в каких координатах описывать. Ни ортогональность неважна, ни кривизна. Координаты должны быть удобны для данного случая. Тогда формулы менее громоздкие, и ничего больше. Суть процесса никак не изменяется. Если известен способ пересчёта валют, то товар никак не зависит от того, за какие деньги его покупать. Лишь удобно было :-)))

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Микола Борисiв на комментарий 07.05.2013 #

Мне явно чего-то не хватает очень фундаментального в знаниях ) Не понимаю как можно с неортогональными работать. Ну это например взять за координаты скорость, импульс и энергию, и что мы в таких координатах смотреть будем?

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

скорость, импульс, и энергия - это явный переизбыток. Примерно как двумерное пространство описывать тремя координатами. Тоже можно, но особого смысла нет.
Скорость и импульс - это практически одно и тоже. Импульс более широкое понятие. Энергия - смотря что имеется ввиду. Если полная, с потенциальной, то в ней неявно и координата присутствует. Тогда энергию можно брать как переменную, независимую от скорости.

Есть понятие полноты системы координат. Это когда любое состояние системы однозначно задаётся набором чисел (координат). Минимальное число этих координат и есть размерность пространства. Скажем, материальная точка в пустом пространстве, без связей, имеет три степени свободы и описывается шестью координатами, т.е. фазовое пространство имеет шесть измерений. А если крохотный шарик на проволочке бегает, то одна степень свободы и 2-мерное пространство.
А криволинейные координаты легко использовать. И даже неортогональные. Хотя неортогональные обязательно приводят к перекрёстным проекциям, а это неудобно. Матаппарат давно развит.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Микола Борисiв на комментарий 07.05.2013 #

Мы же не о математике и физике говорим, вернее не только о них, но и о философии тоже. Система координат должна быть полной и ортогональной. Все, требование "неизбыточности" при этом выполняется автоматически, ибо избыточная система не может быть ортогональной.

Так вот, <скорость, импульс, энергия (кинетическая)> - это пример неполной и неортогональной системы координат. Если мы в неполной системе начнем описывать поведение динамической системы, то получим нарушение законов сохранения. То-есть, мы не можем в такой системе использовать привычные нам формулы для вычислений. Там нет координат, поэтому приняв, например, энергию за константу мы тем самым будем считать что не меняется кинетическая энергия. И все, мы получим бред в результате.

А как проверить полная она или не полная, если вы говорите что пусть она неортогональная?

no avatar
Андрей Борунов

комментирует материал 06.05.2013 #

С одной стороны, причинно-следственные связи в хаосе неактуальны. С другой - хаос может формировать фракталы.
Как это увязать?

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Андрей Борунов на комментарий 07.05.2013 #

Мне кажется тут причина парадокса в том что всегда идут два процесса - материальный и информационный. И если материя ведет себя хаотично, то информация, связанная с ней, видоизменяется в полном соответствии с принципом причинности. Ведь фрактал - это информационная сущность, он нематериален. Нуклон - структура из кварков, ядро - структура из нуклонов, атом - ядро и электрон, дальше (грубо) молекула, бензольное кольцо, аминокислота, клетка, организм, общество. Это же фрактал.

Так вот, с уровня клетки мы уже не можем не заметить присутствие информационной компоненты. Причем, в клетке есть и хранилище информации (ДНК), и механизмы ее обработки. А у организма уже есть разум, и у общества есть разум, который реализован через разумы субъектов и их социальные инстинкты.

Но раз фрактальность, то это же означает что и на более низких уровнях организации материи тоже есть информационная компонента, и в нуклоне, и в атоме, и в молекуле аминокислоты она сидит. Причем существует эта компонента объективно, а не потому что люди так считают.

no avatar
Андрей Борунов

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

Интересно.
Но если информационное начало хаоса упорядочено, то и материя должна быть упорядоченной?

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Андрей Борунов на комментарий 07.05.2013 #

Совсем не обязательно. например, две лягушки дерутся в тине, кувыркаются, скачут, все в грязи и ведут себя совершенно непредсказуемо. Но их информационная компонента с грязью не смешивается, и устройство организма не меняется. Оно прошито в ДНК лягушек, и сами они сотворены по высшему разряду совершенства.

Ну а вообще, коллега, у меня нет готового ответа, про это негде прочитать, надо думать самим как там и что устроено )

no avatar
Андрей Борунов

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

В генетическом коде прописано их собственное устройство, но никак не устройство грязи, в которой они кувыркаются. Мало того, их кувыркание только кажется хаотичным, в действительности оно жестко регламентировано законами поведения, мотивациями на уровне инстинктов, которые как раз и прописаны в информационной составляющей.
То есть лягушки не хаотичны по умолчанию, а их переход к хаотичности означает биологическую смерть.
Что такое рак? Это как раз, по большому счету, и есть поломка информационного механизма, ведущая к формированию в организме очага хаоса - группы клеток с неконтролируемым делением.
Результат Вам известен...

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Андрей Борунов на комментарий 07.05.2013 #

Включите воображение, представьте ребристую поверхность и прыгающий по ней шарик. Каждый раз шарик будет подпрыгивать в случайном направлении - вверх, влево, вправо, вверх-влево итд. То-есть его движения будут хаотичными. А теперь представьте лягушку на ровной поверхности, которая ловит летающих комаров. Она будет прыгать точно так же как шарик, но мы не будем считать ее движения хаотичными, ибо видим что она охотится. Но если комаров сделать невидимыми для нас, то мы решим что лягушка чокнулась и совершает хаотичные движения. То-есть, в организме идут рациональные информационные процессы, но материя себя ведет хаотично. Материя не знает что она ловит комаров, это знает информационный компонент системы.

no avatar
Андрей Борунов

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

Полагаю, это не совсем так.
Клетка себя не осознает, но тем не менее подчиняется программе. А хаотичные лягушки могут существовать исключительно в качестве модели мысленного эксперимента. Причем нам придется включить туда и комаров, поскольку без них лягушка прыгать не станет - даже если мы этих комаров не видим. А комары тоже летают в соответствии с их программой, каждый в отдельности. И получается, что информация и материя не очень-то отделимы друг от друга.
А следовательно, теория хаоса, которая предполагает такое отделение как основу своего существования, несостоятельна.

no avatar
Андрей Борунов

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

Да я и не волнуюсь :)
Тем более, что с работами Пуанкаре, а также Колмогорова, Арнольда и Мозера я знаком - в меру своей невысокой эрудиции, конечно.
С детства люблю читать энциклопедии.
А автором приведенного мной возражения в действительности является весьма известный математик. Сможете определить - кто?

no avatar
александр северов

комментирует материал 06.05.2013 #

"На сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. "
Значит, рынок-это хаос?

no avatar
nzorin

комментирует материал 06.05.2013 #

Как Вы умудрились в статье не упомянуть нашего соотечественника (по происхождению), лауреата Нобелевской - Илью Пригожина, чья книга "Порядок из Хаоса" в соавторстве с Изабеллой Стенгерс (наверное, муза автора на момент написания... франц.-историк науки) была издана на Русском языке при жизни автора?
Второе: сразу вспомнил М.С.Горби, сказавшего как-то: "Нам достался ХАВОС!"...

no avatar
Микола Борисiв

отвечает nzorin на комментарий 06.05.2013 #

дело в том, что Пригожин не внёс в собственно науку о хаосе (это физика и математика) ровным счётом ничего. Он работал в другой области (неравновесная термодинамика) и нобелевскую тоже за другое получил. Другое дело, что он активно применял в своей работе идеи динамического хаоса (а в статье именно о них речь), рассматривая открытые термодинамические системы, а также жизнь через эту призму.
А книга его со Стенгерс действительно очень интересная. Однако это вовсе не научная монография, а философско-популярная книга.

no avatar
Старый Соболь

отвечает nzorin на комментарий 07.05.2013 #

Без Стенгерс его книги только выигрывают.
Как вспомню очередь "за Пригожиным" в Академкнигу от Первомайской до Ленина... с криками: "в одни руки больше 1-го набора не давать!!!", выяснениями: "вас здесь не стояло!"

Да, злорово он продвинул эту науку.
В самыую гущщщщщу масс.

no avatar
Aleksei Belkov

комментирует материал 06.05.2013 #

В природе хаоса не существует,а в голове у человека да.Всё в мире подвержено воздействию гравитации, она формирует и трансформирует энергетические потоки,создаёт вселенные,галактики,звёзды и планеты,формирует климат и погоду, создаёт полезные ископаемые,порождает циклоны,тайфуны,торнадо,землетрясения и цунами причём все явления поддаются точному математическому расчёту.
Для примера скажу что 9-10 мая будет пик резонансных явлений нужно быть готовым к торнадо,возможен вулканический выброс и ураганные ветры,следите за новостями место и время указывать не буду.

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Aleksei Belkov на комментарий 06.05.2013 #

а 22-го числа Земля налетит на небесную ось. Истинно говорю вам...

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Микола Борисiв на комментарий 06.05.2013 #

А с гнутой небесной осью что за жизнь.

no avatar
Slava Parkov

отвечает Aleksei Belkov на комментарий 06.05.2013 #

"В природе хаоса не существует,а в голове у человека да."
Классическим примером хаоса является игровой автомат где шарик ударяется о разные препетствия. С него начинается большинство учебников по хаосу. Он полностью детерменстичен, расчитать его просто, но поведение шарика хаотично. Бесконечно малое различие в начальных условиях приводит огромной разнице в траектории.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Slava Parkov на комментарий 06.05.2013 #

"Бесконечно малое различие в начальных условиях приводит огромной разнице в траектории"
Это очень интересный момент. Вы точно сказали что хаотичность процесса не в том что нельзя просчитать траекторию, под частные начальные условия ее просчитать можно запросто, нужна лишь достаточная точность данных и вычислений. Правильно ли я понял что хаотичность определяется тем что не существует функционала зависимости траектории от начальных условий? То-есть не технические ограничения мешают (невозможность обеспечить нужную точность), а некий принцип? В природе понятно, тут проявляются квантовые свойства, и аналитика не работает именно принципиально. Но Теория Хаоса - это же математика, там не существует квантового уровня.

no avatar
Slava Parkov

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 06.05.2013 #

Раз бесконечно малые изменения приводят к конченой разнице, то это уже не точность вычислений. Строгоа это можно сформулировать (в духе для любого eps > 0 существует такая delta > 0 .... ); для любого eps > 0 существуют два начальных состояния, расстояние между которыми < eps, а траектории расходятся на конченое расстояние. И этот результат не зависит он точности вычислений.

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Slava Parkov на комментарий 06.05.2013 #

если уж совсем строго, то в данном случае следует говорить о "сколь угодно малых eps". Но не "бесконечно малых". Тогда все остальное будет верным. Кстати, не понял, зачем вы знак использовали (eps > 0)...

no avatar
Slava Parkov

отвечает Микола Борисiв на комментарий 06.05.2013 #

Напрмер, определение неприрывной функции:
Для любого eps > 0, существует такое delta > 0, что если |x-x0|< delta, то |f(x)-f(x0)| < eps. В более общем случае это записывается:

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Slava Parkov на комментарий 07.05.2013 #

Сильное изменение функции при слабом изменении аргументов называется "лавинным эффектом". Это полезное свойство при шифровании или хешировании, скажем функция (алгоритм) SHA-1 обладает таким свойством.
Но, тем не менее, отображение входного множества в выходное производится по правилу, а не хаотично, просто в пространстве результатов "как бы" топология полностью искажена, все доминошки перепутаны, и поэтому линия отображается в хаотично разбросанные точки.

no avatar
Slava Parkov

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

Это в дискретных системах. Вы не можете создать два бесонечно близких файла. Они либо совпадают, либо отличаются хотя бы одним байтом. Та что там не выполняется для любого eps > 0 ...

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Slava Parkov на комментарий 07.05.2013 #

А по-моему можно и для дискретных систем перейти к пределу, но только eps > 0 получится величиной относительной. Два файла отличаются одним битом, и одно дело когда их размер 10 байт, а совсем другое - 10 гигабайт. Во втором случае можно говорить что файлы близки более чем в первом, а при размере --> к бесконечности что они бесконечно близка. Или нет?

no avatar
Slava Parkov

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

Нет. Вы всегда можете сказать, что файлы одинаковы или нет. В случае, например, с погодой, это не так. Начальные состояния могут быть как угодно близки, а результат разный. То есть, каковы бы ни была точность измерений, вы не можете сделать точный прогноз: для любого eps>0 ... - уменьшите eps, а все равно найдутся такие состояния, который близки, но дают разный прогноз. В случае файлов - вы не можете уменьшить eps - один байт (или один бит) - и все: вы точно знаете будет ли резудьтат одинаковый или нет.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Slava Parkov на комментарий 07.05.2013 #

Мне кажется неправильным требовать абсолютной аналогии при работе с файлами и физическими объектами. Материя и информация - это все-таки разные сущности, и к ним подход нужен разный. Мы видим зайца и моментально узнаем что это именно заяц. Нам не надо сравнивать у него каждую шерстинку с эталоном заячьей шерсти. То-есть, мы извлекли из образа зайца некую ключевую информацию, сравнили ее с эталоном, и говорим - это заяц. Точно так же и файлы надо сравнивать - у них должна быть степень близости, и эта самая степень может быть низкой и высокой. Ну то-есть над ней можно операции выполнять, предельный переход в том числе.

no avatar
Slava Parkov

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

Это вы привыкли к зайцам. А ведь может быть заяц или кролик. Вы можете сразу их отличить (я про диких кроликов). Или может быть маленькое кенгуру, которое издаля тоже на зайца похоже.
У меня в Японии, по началу, была проблема: есть адрес написанный на бумажке (иероглифами), а стою на улице и пытаюсь понять - на доме написан тот же адрес или нет: это один и тот же иероглиф или разные: подсчет разных деталей не помогает - откуда я знаю что черточка проведенная горизонтально и под углом, это одно и тоже (просто различия подчерков) или это разные иероглифы. Недели две ушло что-бы сходу научиться различать.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Slava Parkov на комментарий 07.05.2013 #

Вот мы и получили первый тезис для построения теории - "За деревьями леса не видно". То-есть, нуб видит только деревья, а опытный человек уже и лес начинает замечать. И зачем же наука будет себя вести как нуб? Она должна понимать, что мир состоит из слоев, уровней обобщения. И если на философском уровне все сущее едино, то на уровне столяра даже сосновая и еловая дощечки отличается. И это уровни не материи, а именно информации, концепций.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Aleksei Belkov на комментарий 06.05.2013 #

Знаете место и время катастрофы и не говорите.... Да это же преступление, вас судить надо. Интересно, как бы вы защищались на суде? )

no avatar
Aleksei Belkov

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 06.05.2013 #

Если я скажу, что знал заранее и о фукусиме и о Гаити и вообще могу расчитаь любую катастрофу как на нашей планете, так надругих планетах Сонечной системы вы мне не поверите.Почему МЧС идругие службы должны мне верить?А бесплатно такие сложные расчёты делать не хочется.Я надеюсь после очердной катастрофы что нибудь стронется с места.Я обращался в разные организации,но положительного ответа небыло.
Эту теорию изучал и проверял много лет, сначала ошибался, но истину нашёл, теперь можете меня судить, современная наука ещё долго будет голову ломать.

no avatar
Нео Философ

отвечает Aleksei Belkov на комментарий 07.05.2013 #

СМИ любят такие прогнозы - даже одного такого вашего прогноза "о фукусиме и о Гаити" достаточно чтобы получить громадную фин-поддержку - публикация в СМИ это документ и доказательство вашего открытия.

После такого успешного опубликованного прогноза - гарантированный успех.

no avatar
Микола Борисiв

комментирует материал 06.05.2013 #

добавлю.
Все рассмотренные примеры хаоса формально являются, тем не менее, совершенно обратимыми во времени. Т.е. в известном смысле - это не хаос. Понятие хаоса - яркий пример антропности описания.

Хаосом все эти примеры становятся лишь потому, что, во-первых, никакие вычисления невозможно провести с бесконечной точностью. К примеру, 64-разрядный компьютер обрезает мантиссу и как только требуемая точность рассматриваемых величин достигает этого предела, компьютерная модель теряет обратимость во времени. Второй фактор - несуществование в реальности абсолютно точечных объектов нулевого размера. Любой описываемый объект имеет конечный объём в фазовом пространстве. И вне зависимости от гладкости или запутанности траэктории точки в фазовом пространстве, эволюция элемента фазового объёма выглядит совершенно иначе: это "размазывание" его по всему 6N-мерному пространству (примерно как растекание капли чернил в воде). Что и приводит в конечном итоге к необратимости. Являющейся, по сути, лишь невозможностью абсолютно точного описания системы.

no avatar
Slava Parkov

отвечает Микола Борисiв на комментарий 06.05.2013 #

"Все рассмотренные примеры хаоса формально являются, тем не менее, совершенно обратимыми во времени." Красивой демонтсрацией этого эффекта является опыт с чернилами в стакане воды (наверное у него есть название, но я не помню). Если капнуть из пепетки в стакан с водой каплю чернил, то получится вертикальный столбик чернил. Потом стакан надо начать вращать вокруг вертикальной оси. Довольно скоро чернила размажутся по всему стакану. Если резко изменить направление вращения стакана, то через некоторое время чернила соберутся обратно в вертикальный столбик (не такой четкий, но достаточно хорошо видимый).

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Slava Parkov на комментарий 06.05.2013 #

это шутка?
Я ведь о настоящей обратимости сказал, т.е. о механической. А вовсе не о том, что может происходить в открытой диссипативной системе, которую невозможно свести к механической. В которой обратимости быть не может по определению. Если даже такой результат опыта возможен, то это, как вы понимаете, вовсе не обратимость.

no avatar
Slava Parkov

отвечает Микола Борисiв на комментарий 06.05.2013 #

С моей точки зрения это демонстрация того, что то иногда нам кажется необратимым (чернила размазались по стакане) на самом деле таковим может и не являться. И вроде такой эксперимент возможен (во всяком случае я в учебнике читал) Таких примеров довольно много (непример "эхо гашения" - это правда чисто компьютерный эксперимент, в реальной жизни такого сделать нельзя)

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Slava Parkov на комментарий 06.05.2013 #

"эхо гашения"? По моему, это то, что называется нелинейное эхо. И оно существует не только как комп. эксперимент, но и в реальности. Экспериментально доказано существование эффекта фазовой памяти частиц в нелинейном затухании Ландау, когда две поглощенные волны производят вдали от точек поглощения интерференционную картинку в зоне непрозрачности для обоих.

no avatar
Slava Parkov

отвечает Микола Борисiв на комментарий 06.05.2013 #

Эхо гашения (когда я это изучал), это был численный эксперимент. Взаимодействующие частицы (например электроны) помещались в ящик, и система через некоторое время приходила в равновесие (кинетическая энергия выходила на константу). Потом все скорости в момент t1 руками обнулялись, и частицы отпускались. После того как кинетическая энергия опять выходила на константу (половина предыдущей), в момент t2 скорости опять обнулялись, и частицы опять отпускались. После этого в момент t2 +(t2-t1 ) без какого либо вмешательства кинетическая энергия делала резкий скачек вниз и потом возвращалась на исходное значение. Величина до которой она падала пропорциональна плотности состяний на частоте 2pi/(t2-t1).

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Slava Parkov на комментарий 06.05.2013 #

ну да, это баллистические моды, или моды Ван-Кампена. Они же "стреляют" и при нелинейном затухании Ландау. Волна затухает, т.е. "растаскивается" по фазам мод Ван-Кампена с непрерывным спектром, а потом, при наложении с таким же возмущением от другой волны, возникает эхо на разнице частот. Но уже снова как волна. Т.е. баллистические моды снова складываются в продольную волну.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Микола Борисiв на комментарий 06.05.2013 #

То-есть, в примерах даны образцы псевдохаоса - ведет себя как хаос, но хаосом не является )
Антропность конечно налицо, ибо понятие "хаос" не подходит для строгого определения, ведь это то, в чем наша интуиция не в состоянии выцепить закономерность, обладающую хоть мало-мальской практической полезностью для прогнозирования. И не будь интуиции - не было бы и хаоса. А если в своей хаотической пляске частицы спонтанно будут образовывать правильные фигуры, то интуиция укажет на присутствие разума.
А математическое определение хаоса - это когда не сохраняется объем в фазовом пространстве? То-есть, не выполняется теорема Лиувилля?

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 06.05.2013 #

мне сейчас лень копаться в букварях, поэтому не уверен, что всё скажу правильно.
Обратимость действительно существует лишь до тех пор, пока работает теорема Лиувилля. Чтобы говорить о хаосе, т.е. ввести сжимаемость фазового пространства в динамической системе, мы должны принять дополнительные предположения. Такими предположениями обычно являются вносимые "руками" ограничения на "различимость" различных участков решения. Т.е. предполагается искусственное загрубление системы. Фактически, это то же самое, что и эргодическая гипотеза.
Важным для хаоса является также число степеней свободы. Если N=2 и есть два инварианта, тогда в фазовом пространстве существуют вложенные торы и траэктория дин.системы всегда ограничена ими. Если же N > 2, тогда инвариантные торы не делят пространство и траэктория может уходить как угодно далеко от начальной точки. Кажется, это и есть диффузия Арнольда.
Общий критерий хаоса в гамильтоновской системе точно есть, но я не помню, как он формулируется. В частном случае, к примеру, можно задать условие перекрытия нелинейных резонансов и тогда траэктория становится блуждающей. Это и будет детерминированный хаос.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Микола Борисiв на комментарий 06.05.2013 #

У вас серьезные знания по теме, интересно бы обсудить на интуитивном уровне. Скажем, почему сохранение объема в фазовом пространстве - это не закон, а теорема? Скорее всего потому математическая модель описывает не всю материальную систему, а лишь некую ее проекцию. Поэтому и законы сохранения работают не всегда, а лишь при определенных условиях. Но так бывает как раз если брать не все пространство, а его проекцию.
Мне видится что за свойствами хаоса стоит некий фундаментальный принцип, уровня закона больших чисел. Как думаете, если Теорию Хаоса совместить с вариационным исчислением? По-моему что-то там может вырисоваться.

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

теорема Лиувилля не закон, а теорема потому, что это следствие обратимых уравнений движения. Но следствие неочевидное и потому появившееся как теорема. В математике все теоремы следуют из аксиом, а в физике - из фундаментальных законов. Но теорема Лиувилля работает всегда. Единственное условие - обратимые уравнения движения, т.е. механика. Это же не гипотеза.
Теорема Лиувилля относится к замкнутой системе, в том смысле, что все возможные решения уравнений движения лежат в рассматриваемом фазовом пространстве. И здесь совершенно неважно, является ли эта система подпространством более высокого порядка, или нет. Скажем, если я описываю одномерный маятник часов в двумерном фазовом пространстве (координата+скорость), то это описание полное до тех пор, пока мне не вздумается учесть, скажем, ещё и колыхания плоскости колебаний маятника, увеличив число степеней свободы. Тогда и размерность фаз.пр-ва увеличится, и теорема Лиувилля изменится.
А вариационное исчисление - это просто метод. Метод мощный и удобный. И во многих случаях даже предпочтительный. Хотя во многих других случаях и крайне неудобный. Но он ровным счётом ничего не добавляет к физике описываемого процесса.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Микола Борисiв на комментарий 07.05.2013 #

Попробую пояснить мысль, про закон и проекции.
Существует Второй закон Ньютона. Как говорится, F = ma. А почему он Закон? А потому что Ньютона озарило и он его придумал. И никто не обнаружил случаев невыполнения. То-есть, чистая физика.
Но был и другой подход к тому же вопросу, математический, через принцип наименьшего действия. "Мопертюи пришёл к этому принципу из ощущения, что совершенство Вселенной требует определенной экономии в природе и противоречит любым бесполезным расходам энергии". Вы, конечно, в курсе что из этого принципа получили функцию Лагранжа и все законы механики, Второй закон Ньютона и законы сохранения в том числе. То-есть, с одной стороны имеется решение математических уравнений, а с другой стороны оно является законом физики. Вот про это я говорю.

Может ведь и кто-то еще "из ощущения" прийти к принципу поведения динамической системы, если предположит, например, что в точке хаоса происходит рассогласование материи и сопряженной с ней информации. То-есть, рассматривать в этой точке лишь материальную компоненту системы нельзя, ибо тогда в фазовом пространстве не хватает измерений, система не полная, и мы будем наблюдать нарушения законов

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

не совсем так. Лагранжиан нельзя получить из принципа наименьшего действия потому что он-то как раз и входит в функционал, который следует минимизировать. Процедура такая:
1. сперва на основе соображений симметрии и фундаментальных законов сохранения строится лагранжиан рассматриваемой системы;
2. затем записывается функционал, т.е. некий интеграл от лагранжиана или заменяющей его функции. Этот функционал (интеграл), имеет смысл действия в механике, энтропии в кинетике, пути между точками в оптике, и т.д.
3. находя затем экстремумы этого функционала (иногда минимум, иногда максимум - это зависит от рассматриваемой проблемы) получаем уравнения, описывающие систему. Уравнения эти содержат дифф. операции над лагранжианом.
Это общий принцип и он работает везде. Но он ровным счётом ничего не добавляет к физике, изначально учтённой в лагранжиане. Он лишь конкретизирует процесс.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Микола Борисiв на комментарий 07.05.2013 #

Большое спасибо, очень фундаментально объяснили. То-есть, получается что предварительными допущениями в Лагранжиан уже были вставлены законы сохранения. У меня почему-то по-другому отложилось. Я считал что допущения были сделаны лишь относительно свойств пространства-времени, ну то-есть что S не зависит явно от координат и времени. И отсюда составляется система уравнений, которая решаема. Иначе как понять что закон сохранения энергии есть следствие изотропности времени?

Это примерно как Максвелл вывел формулу распределения молекул по скоростям. Он предложил что проекции скорости по координатам не зависят друг от друга, составил систему и решил. Ну и получилась экспоненциальная зависимость. Для меня это означает что экспонента есть следствие ортогональности системы координат. И по-моему в хаосе что-то похожее содержится, какая-то информация, и ее можно извлечь именно математически. Но информация эта несет сведения о природе, о неких свойствах вселенной.

no avatar
Slava Parkov

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

Насколько я понимаю, объем фазового пространства сохраняется всегда (если система не диссипативная), это следует из основных уравнений. Но в хаотических системах форма становится очень сложной. Например из эллипсоида выползают тонкие "волосы", а объем эллипсоида уменьшается на нужную величину. Если "волосы" очень тонкие, то может возникнуть ситуация, что возле любой точки фазового пространства с любой точностью есть состояние. Поэтому, если считать объем фазового пространства не точно, то он будет "меняться", хотя на самом деле он строго постянен.

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Slava Parkov на комментарий 07.05.2013 #

и как только загрубим систему, появляется необратимость, т.е. невозможность отследить траекторию назад. В некотором смысле это и есть диссипация. И с хаосом то же самое - он есть результат загрубления.

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Slava Parkov на комментарий 07.05.2013 #

Если при хаосе объем фазового пространства сохраняется, тогда непонятно чем хаос формально отличается от нехаоса? Строгого определения хаоса нет, главный признак - это сильное изменение конечного состояния при слабом изменении начального. Но что такое сильный-слабый? Это лирика, а не математика. Какое там именно отображение? Раз есть топологическое смешивание, значит отображение не взаимно однозначное. Но тоже непонятно - насколько именно? Есть ли там хоть кусочная линейность или ее вообще нет?

no avatar
Slava Parkov

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 07.05.2013 #

"Но что такое сильный-слабый?" - сколь угодно слабое (для любого eps>0). Назовите любое число и будут начальные состояния, которые разойдутся на большое расстояние. Потом поделите его на 10 и все равно найдутся, потом опять и опять .... .

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Slava Parkov на комментарий 07.05.2013 #

Зачем же так мучиться. Нужно просто взять подмножество начальных состояний, геометрически - область, линию, и посмотреть во что эта линия отобразится в пространстве конечных систояний. Если она отобразится тоже в линию, пусть скрученную-перекрученную, но непрерывную, то и нечего говорить про "слабые-сильные". А если отображение распадается на множество разрозненных точек, то тоже "слабые-сильные" не нужны. Важно какое отображение качественно, а количественных определений в математике не бывает. Хотя есть, вру - треугольник, многоугольник. Но так делали при Пифагоре, то-есть достаточно давно )

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Slava Parkov на комментарий 08.05.2013 #

Если говорить о математической системе, то очень даже известно. Там же не шарики прыгают по гравию, а функциями все взаимодействия описаны. И если функции аналитические, то и отображение будет комформное (вроде так оно называется). А если функции заданы таблично или алгоритмами изощренными, то имеем случай полной поломки топологии. В общем, вопрос интегрируемости это называется.

no avatar
Рина RINA

комментирует материал 07.05.2013 #

Теория нелинейных динамических систем(теория хаоса) является очень модной в последнее время, особенно в отношении исследования рынка))) Автор пишет:” К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой.” Однако…существует раздел математики, изучающий поведение детерминированных динамических систем) Для изучения таких систем используют общие математические принципы и компьютерное моделирование. Фундаментальной характеристикой всякой динамической системы является итерация, т.е. результат повторного (многократного) применения одного и того же математического правила к некоторому выбранному состоянию. Состояние обычно описывается числом или набором чисел, но это может быть также геометрическая фигура или конфигурация. Например, правило «возвести в квадрат, удвоить и затем вычесть единицу», если начать применять его, скажем, к значению 0,1, порождает последовательность чисел -0,98, 0,92, 0,69, -0,03,..., в которой не удается заметить никакой очевидной закономерности) Но это не так! Состояние динамической системы – это набор чисел, которые можно интерпретировать как координаты изображающей его точки в некотором фазовом пространстве. Вот))

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Рина RINA на комментарий 07.05.2013 #

Замечательно сказали, все стало понятно даже мне )
Но поспорить хочется, потому что автор по-моему прав, "само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой". Именно само существование, и ключ к пониманию этого тезиса в значении слова "наука". По умолчанию под наукой понимается естественная наука, физико-математическая. Традиционно предметом исследования этой науки была природа, то-есть материальный мир. А гуманитарная наука занималась обществоведением - экономика, социология, политология, психология. В гуманитарной области нет аксиоматик, строгих правил вывода и проч. Поэтому и происходят революции, социальные конфликты и прочие радости общественной жизни. Естественная наука кварки исследует, а общественная наука не может дать рекомендацию какой строй нужен нашей стране. Вот такой перекос.

А Теория Хаоса это первая попытка применить аппарат естественной науки в области отношений. Ведь что такое рынок? Это не материальный объект, а система отношений, экономических в первую голову, но не только, а еще и социальных, семейных, дружеских, деловых итп. То-есть, рынок - это информационный объект, и он не есть предмет естественной науки.

no avatar
Рина RINA

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 08.05.2013 #

Видите ли, моя специальность математика и я убеждена, что её необходимо изучать всем (политикам, психологам, и т.д.... а уж экономистам = сам Бог велел!), чтобы привести в порядок ум)
Если вспомнить классика,то..." В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики" (Кант)

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Рина RINA на комментарий 08.05.2013 #

Математику в экономике использовал еще Адам Смит, без нее даже прибыль не удастся узнать. Но Теория Хаоса дает совершенно другой инструмент, можно сказать что это промежуточный шаг между классической экономикой и квантовой экономикой. И Теория Хаоса это "Теория нелинейных динамических систем" лишь формально, а по существу она не только математика, но уже и философия экономики и финансов, да и рынка вообще.

С Кантом согласен, можно даже усилить - в природе нет ничего кроме математики. Но мы пока еще не всякую природную математику понимаем, не любую. Вот поэтому и буксуют общественные науки.

no avatar
Рина RINA

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 08.05.2013 #

"Теория Хаоса" - использует математические методы, а не естествевенно-научные) Математика строго говоря не является естественно-научной дисциплиной. Она объединена с логикой в комплекс формальных наук, и не включается в естественные науки, поскольку их методология существенно отличается от методологии естественных наук)

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Рина RINA на комментарий 08.05.2013 #

Ну я как бы воспринимаю физику и математику вместе, а если отдельно взять математику, то она получится языком. Ну то-есть некие специализированные <язык, лингвистика, методология>, с помощью которых можно совершать абстрактные операции над абстракциями.
А что от физики останется, если из нее убрать математику, вы представляете? Она превратится в недоделанную философию, совершенно не нужную никому. Пусть уж они вместе будут естественной наукой )

no avatar
Рина RINA

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 08.05.2013 #

))))))))))))))) А, что останется от философии, если из нее убрать математику и логику?)) А от Химии, биологии и т.д.....?)) Вот я и говорю: "Математика - королева наук!" без нее никуда))

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Рина RINA на комментарий 10.05.2013 #

я тоже ставлю математику на особое место. Но особенность её я вижу в том, что это не совсем наука, а отчасти даже искусство. Где эстетика играет огромную, а иногда даже и главную роль. Причём эта часть математики самодостаточна. Тогда как остальная её часть, меньшая по сути, но по объёму составляющая может даже 99%, является жизненно необходимым инструментарием в естественных науках :-)))

no avatar
Рина RINA

отвечает Микола Борисiв на комментарий 10.05.2013 #

Я бы сказала, что математика – это все же наука)), которая занимается методами описания абстракций) Ведь для анализа физического объекта мы заменяем его моделью (абстракцией), в которой отбрасывается все несущественное и остаются только те свойства, которые необходимы для анализа). Что касается математики, как искусства…Задачу можно решить разными способами, но найти “красивое” решение – равносильно таланту музыканта)

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Рина RINA на комментарий 10.05.2013 #

первая часть вашего комментария относится не к математике, а к физике. Которая использует математику как инструмент и наполняет уравнения вполне конкретным смыслом. А вторая часть, о красивом решении, логически незавершена. Потому что вы не сказали главного - является ли критерий красоты движущим или он просто "для красоты"? На мой взгляд, красота в математике - чуть ли не главная идея, чуть ли не самоцель. А всё остальное - лишь следствия. Лишь красивые идеи, красивые теории оказываются жизнеспособными.

no avatar
Рина RINA

отвечает Микола Борисiв на комментарий 11.05.2013 #

Видимо Вы не в полнее меня поняли)) И так…Как правильно заметил Анатолий Валетов, математику можно рассматривать, как универсальный “язык” описания некоего физического(существующего) обьекта, явления или процесса...будь то многоэтажный дом, распространение волны, химическая реакция…или такой априорной характеристики, как время, например…)) Я апеллировала понятием“физический обьект” только для того, чтобы пояснить… что именно я подразумеваю под понятием “описание абстракции”)) Так, что речь шла не о физике)) Красота в математике присутствует = несомненно, но это отнюдь не главная идея и не только “красивые теории” имеют право на существование и оказываются жизнеспособны)))) А Королевой Наук я назвала математику не потому, что она отличается красотой и стройностью теорий от других наук…а потому, что эта наука необходима нам для понимания мира в котором мы живём и нас самих, она учит нас логически мыслить и бережёт от ошибок…Она помогает нам понять физические. химические , биологические и социальные явления в мире...учит анализу... Какая еще из наук, кроме математики, позволила бы человечеству подняться из первобытно - общинного строя в современное состояние?)

no avatar
Микола Борисiв

отвечает Рина RINA на комментарий 11.05.2013 #

какая из наук позволила бы подняться - вопрос спорный. Потому что подниматься человек стал задолго до появления математики и даже намёков на науку. Я бы даже рискнул на утверждение, что в становлении человека наибольшую роль сыграла музыка. Потому что в первобытных инстинктах можно найти корни и обоснования всем качествам и достоинствам человека, всем - кроме музыкальности. Музыка, да и вообще тяга к эстетике, не имеют никакого рационального объяснения. Невозможно вывести из законов первобытной борьбы за жизнь появление музыки. Иными словами - музыка избыточна с точки зрения естественного отбора, и, на первый взгляд, человек легко мог бы развиваться и без неё. Но история показывает нам, что музыка не просто сопровождает человека, но даже сопутствует успеху в развитии. Человек отделился от животного мира и стал человеком только тогда, когда у него появилась эстетика. Вот и поверьте это алгеброй :-)))

no avatar
Рина RINA

отвечает Микола Борисiв на комментарий 11.05.2013 #

Намёки на науку были) Ведь, обычный счет - элементарная математика (такой раздел в математике есть до сих пор)....Ну зачем же все проверять алгеброй)))) У нас, ведь, есть теория вероятности и мат.статистика))

no avatar
Рина RINA

отвечает Анатолий Валетов на комментарий 08.05.2013 #

Вы физик?)

no avatar
Анатолий Валетов

отвечает Рина RINA на комментарий 08.05.2013 #

Только по образованию, а по профе менеджер.

no avatar
×
Заявите о себе всем пользователям Макспарка!

Заказав эту услугу, Вас смогут все увидеть в блоке "Макспаркеры рекомендуют" - тем самым Вы быстро найдете новых друзей, единомышленников, читателей, партнеров.

Оплата данного размещения производится при помощи Ставок. Каждая купленная ставка позволяет на 1 час разместить рекламу в специальном блоке в правой колонке. В блок попадают три объявления с наибольшим количеством неизрасходованных ставок. По истечении периода в 1 час показа объявления, у него списывается 1 ставка.

Сейчас для мгновенного попадания в этот блок нужно купить 1 ставку.

Цена 10.00 MP
Цена 40.00 MP
Цена 70.00 MP
Цена 120.00 MP
Оплата

К оплате 10.00 MP. У вас на счете 0 MP. Пополнить счет

Войти как пользователь
email
{{ err }}
Password
{{ err }}
captcha
{{ err }}
Обычная pегистрация

Зарегистрированы в Newsland или Maxpark? Войти

email
{{ errors.email_error }}
password
{{ errors.password_error }}
password
{{ errors.confirm_password_error }}
{{ errors.first_name_error }}
{{ errors.last_name_error }}
{{ errors.sex_error }}
{{ errors.birth_date_error }}
{{ errors.agree_to_terms_error }}
Восстановление пароля
email
{{ errors.email }}
Восстановление пароля
Выбор аккаунта

Указанные регистрационные данные повторяются на сайтах Newsland.com и Maxpark.com