Теория хаоса
На модерации
Отложенный
Теория хаоса
Теория хаоса в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного математического определения понятия хаос пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе. Следует отметить, что хаос не случаен, несмотря на свойство непредсказуемости. Более того, хаос динамически детерминирован (определен). На первый взгляд непредсказуемость граничит со случайностью – ведь мы, как правило, не можем предсказать как раз случайные явления. И если относиться к рынку как к случайным блужданиям, то это как раз тот самый случай.
Однако хаос не случаен, он подчиняется своим закономерностям. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном движении цены, то вы должны иметь ввиду не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема. Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые малые ошибки при измерении параметров исследуемого объекта могут привести к абсолютно неверным предсказаниям. Эти ошибки могут возникать вследствие элементарного незнания всех начальных условий. Что-то обязательно ускользнет от нашего внимания, а значит, уже в самой постановке задачи будет заложена внутренняя ошибка, которая приведет к существенным погрешностям в предсказаниях.
Применительно к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий иногда называют «эффектом бабочки». «Эффект бабочки» указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе. Дополнительные неточности в результат исследований и расчетов могут вносить самые на первый взгляд незаметные факторы воздействия на систему, которые появляются в период ее существования с начального момента до появления фактического и окончательного результата. При этом факторы воздействия могут быть как экзогенные (внешние), так и эндогенные (внутренние).
Ярким примером хаотического поведения является движение бильярдного шара. Если вы когда-либо играли в бильярд, то знаете, что от начальной точности удара, его силы, положения кия относительно шара, оценка месторасположения шара, по которому наносится удар, а также расположения других шаров, находящихся на столе, зависит конечный результат. Малейшая неточность в одном из этих факторов приводит к самым непредсказуемым последствиям – шар может покатиться совсем не туда, куда ожидал бильярдист. Более того, даже если бильярдист все сделал правильно, попробуйте предсказать движения шара после пяти-шести столкновений.
Рассмотрим еще один пример влияния начальных условий на конечный результат. Представим себе, например, камень на вершине горы. Стоит его чуть-чуть подтолкнуть, и он покатится вниз до самого подножия горы. Понятно, что совсем малое изменение силы толчка и его направления может привести к очень значительному изменению места остановки камня у подножия. Есть, правда, одна очень существенная разница между примером с камнем и хаотической системой. В первом факторы воздействия на камень во время его падения с горы (ветер, препятствия, изменения внутренней структуры вследствие столкновений и т.п.) уже не оказывают сильного воздействия на конечный результат по сравнению с начальными условиями. В хаотических системах малые изменения оказывают значительное воздействие на результат не только в начальных условиях, но и прочих факторах. Один из главных выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем – будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий. То же самое по-простому – малые изменения и/или ошибки могут порождать большие последствия.
Рисунок 1. Существенная зависимость результата от начальных условий и факторов воздействия
Еще одним из основных свойств хаоса является экспоненциальное накопление ошибки. Согласно квантовой механике начальные условия всегда неопределенны, а согласно теории хаоса – эти неопределенности будут быстро прирастать и превысят допустимые пределы предсказуемости. Второй вывод теории хаоса – достоверность прогнозов со временем быстро падает. Данный вывод является существенным ограничением для применимости фундаментального анализа, оперирующего, как правило, именно долгосрочными категориями.
Рисунок 2. Экспоненциальное снижение достоверности прогнозов
Обычно говорят, что хаос является более высокой формой порядка, однако более правильно считать хаос другой формой порядка – с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом порядок. Если мы определим хаос как беспорядок, то в таком беспорядке мы обязательно сможем увидеть свою, особенную форму порядка. Например, дым от сигарет сначала поднимающийся в виде упорядоченного столба под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными.
Еще один пример хаотичности в природе – лист с любого дерева. Можно утверждать, что вы найдете много похожих листьев, например дуба, однако нет ни одной пары одинаковых листьев. Разница предопределена температурой, ветром, влажностью и многими другими внешними факторами, кроме чисто внутренних причин (например, генетической разницей).
Движение от порядка к хаосу и обратно, по всей видимости, является сущностью вселенной, какие бы проявления ее мы не изучали. Даже в человеческом мозгу одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала. Первое соответствует левому полушарию мозга, а второе – правому. Левое полушарие отвечает за сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется «если…, то…». В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга.
Теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем. Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B. Mandelbrot).
Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды. До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.
Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас. Лаплас заявил, что «…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем». Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир». Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.
Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая».
В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.
Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы. Аттрактор (от англ. to attract – притягивать) – геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства. Итак, фазовое пространство – это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две степени свободы. Это движение полностью определено начальной скоростью маятника и положением. Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутая кривая. В реальности на Земле на движение маятника влияет сила трения. В этом случае фазовым пространством будет спираль.
Рисунок 3. Движение маятника как пример фазового пространства
По простому, аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается. Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку. Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой. Третий тип аттрактора – тор. На рисунке 4. тор показан в верхнем правом углу.
Рисунок 4. Основные типы аттракторов. Вверху показаны три предсказуемых, простых аттрактора. Внизу три хаотических аттрактора.
Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно предсказывать его. И хотя нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы. Первым хаотическим аттрактором стал аттрактора Лоренца. На рисунке 3.7. он показан в левом нижнем углу.
Рисунок 5.
Хаотический аттрактор Лоренца
Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом. Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения – разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.
Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов. Сходимость-расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой.
При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости – возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации. В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука – способностью устанавливать связи между причинами и следствиями – в хаотических системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в хаосе нет.
Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора. Таким образом, можно отметить, что основным свойством хаотических аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия, фрактал – это противоположность хаоса. Главное различие между хаосом и фракталом заключается в том, что первый является динамическим явлением, а фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий. Фрактал – это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала – самоподобие. Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала. Фактически все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.
Рисунок 6. Фрактал «ковер Серпинского»
Данный фрактал получается путем проведения ряда итераций. Итерация (от лат. iteratio - повторение) – повторное применение какой-либо математической операции.
Рисунок 7. Построение ковра Серпинского
Хаотический аттрактор является фракталом. Почему? В странном аттракторе, также как и во фрактале по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. Как бы мы не изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым. В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия. Первым наиболее известным и авторитетным ученым, исследовавшим фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х годов XX века разработал фрактальную геометрию или, как он ее еще назвал – геометрию природы. Об этом Мандельброт написал свой известный труд «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature). Многие называют Мандельброта отцом фракталов, т.к. он первым начал использовать его применительно к анализу нечетких, неправильных форм. Дополнительная идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим об одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мире. Однако могут существовать и нецелые измерения, например, 2.72. Такие измерения Мандельброт называет фрактальными измерениями.
Логика существования нецелых измерений очень простая. Так, в природе вряд ли найдется идеальный шар или куб, следовательно, 3-мерное измерение этого реального шара или куба невозможно и для описания таких объектов должны существовать другие измерения. Вот для измерения таких неправильных, фрактальных фигур и было введено понятие фрактальное измерение. Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие шара. Отсюда можно предположить, что новый объект будет иметь измерение больше 2-х, но меньше 3-х. Это плохо укладывается в евклидовую геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5. Различают детерминистские фракталы, примером которых является ковер Серпинского, и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой. Сложным фракталам присуща бесконечная сложность, хотя и генерируются простой формулой. Классическим примером сложного фрактала является множество Мандельброта, получаемое из простой формулы Zn+1=Zna+C, где Z и C – комплексные числа и а – положительное число. На рисунке 8 мы видим фрактал 2-й степени, где а = 2.
Рисунок 8. Множество Мандельброта
К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций. Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек. Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации. Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение Xn+1=CXn - С(Хn)2, где С - внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу. Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения. Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Xn. Через год появляется потомство численностью Xn+1. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХn), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом (С(Хn)2). Результатом расчетов являются следующие выводы: - при С < 1 популяция с ростом n вымирает; - в области 1 < С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка была притягивающая фиксированная; - в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается; - при C > 3.57 происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим. Отсюда вывод - заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса. Зависимость численности популяции от параметра С приведена на следующем рисунке.
Динамические переменные Xn принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.). Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий). Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало т.н. «дерево Фейгенбаума».
Рисунок 10. Дерево Фейгенбаума (расчет на основе немного измененной логистической формулы)
Что же такое бифуркации в обыденности, по простому. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу. С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.
К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни. На сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с тем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.
"The hypocrite! - said he to himself. - But I will unmask him".
Copyright (c) 2007-2009 unmask.ru (Iliya Malikov)
Комментарии
...
Интересный вывод. Разумеется, так говорить нельзя, прошлое всегда определяет будущее, во всяком случае в нашем мире. Но эта причинно-следственная связь может быть неоднозначной, нелинейной, не аналитической, не алгоритмической и "не прочее". Но наука "верит" что эта связь всегда научна, хотя предлагается целое многообразие мистических зависимостей.
Но 2-й закон - от интегральный, и энтропия - это интегральный параметр всей системы, а в отдельных частицах энтропии нет. А если мы перейдем к фазовому пространству, к положению каждой молекулы вазы, и обратим ход времени, то возможно что ваза и склеится. Но для этого нужно точно задать миллиарды миллиардов уникальных импульсов, что сразу же сильно понизит энтропию системы, и процесс сбора вазы пойдет с повышением ее.
Теоретически вроде бы так, но что-то мне подсказывает что ваза все равно не склеится )
23.02.2006 01:19 Bioton
http://elementy.ru/news?discuss=430110
... в том числе и Хаос, крепкой намоленной рукой православного чекиста, расщепив последнему хребет в области шейных позвонков и в клочья разорвав подонку печень.
Должен сказать, что ХАОС это не БЕСПОРЯДОК (бардак), это непроявленная (не осмысленная человеком) Закономерность. Древние так и говорили, - В начале был ХАОС, затем возникло Слово. В Кибернетике есть такое определение Клода Шенонна, что именно Хаос может тащить на себе Информацию и Хаосом можно УПРАВЛЯТЬ.
Вот два определения, древнее и современное, но как они СТЫКУЮТСЯ чрез Века!
Copyright (c) 2007-2009 unmask.ru (Iliya Malikov)
Уважаю!
Я бы от себя добавил, что система, предоставленная сама себе стремится к некому стационарному состоянию, нежно названному здесь аттрактором. Сие есть результат иерархии взаимодействий в оной системе, приводящее к тому, что некоторые параметры играют более важную роль нежели другие. Это как раз приводит к структурированию хаоса.
Впрочем, и в реальности, аттрактор типа точки в фазовом пространстве наиболее популярная форма стационарности.
Скорость и импульс - это практически одно и тоже. Импульс более широкое понятие. Энергия - смотря что имеется ввиду. Если полная, с потенциальной, то в ней неявно и координата присутствует. Тогда энергию можно брать как переменную, независимую от скорости.
Есть понятие полноты системы координат. Это когда любое состояние системы однозначно задаётся набором чисел (координат). Минимальное число этих координат и есть размерность пространства. Скажем, материальная точка в пустом пространстве, без связей, имеет три степени свободы и описывается шестью координатами, т.е. фазовое пространство имеет шесть измерений. А если крохотный шарик на проволочке бегает, то одна степень свободы и 2-мерное пространство.
А криволинейные координаты легко использовать. И даже неортогональные. Хотя неортогональные обязательно приводят к перекрёстным проекциям, а это неудобно. Матаппарат давно развит.
Так вот, <скорость, импульс, энергия (кинетическая)> - это пример неполной и неортогональной системы координат. Если мы в неполной системе начнем описывать поведение динамической системы, то получим нарушение законов сохранения. То-есть, мы не можем в такой системе использовать привычные нам формулы для вычислений. Там нет координат, поэтому приняв, например, энергию за константу мы тем самым будем считать что не меняется кинетическая энергия. И все, мы получим бред в результате.
А как проверить полная она или не полная, если вы говорите что пусть она неортогональная?
Как это увязать?
Так вот, с уровня клетки мы уже не можем не заметить присутствие информационной компоненты. Причем, в клетке есть и хранилище информации (ДНК), и механизмы ее обработки. А у организма уже есть разум, и у общества есть разум, который реализован через разумы субъектов и их социальные инстинкты.
Но раз фрактальность, то это же означает что и на более низких уровнях организации материи тоже есть информационная компонента, и в нуклоне, и в атоме, и в молекуле аминокислоты она сидит. Причем существует эта компонента объективно, а не потому что люди так считают.
Но если информационное начало хаоса упорядочено, то и материя должна быть упорядоченной?
Ну а вообще, коллега, у меня нет готового ответа, про это негде прочитать, надо думать самим как там и что устроено )
То есть лягушки не хаотичны по умолчанию, а их переход к хаотичности означает биологическую смерть.
Что такое рак? Это как раз, по большому счету, и есть поломка информационного механизма, ведущая к формированию в организме очага хаоса - группы клеток с неконтролируемым делением.
Результат Вам известен...
Клетка себя не осознает, но тем не менее подчиняется программе. А хаотичные лягушки могут существовать исключительно в качестве модели мысленного эксперимента. Причем нам придется включить туда и комаров, поскольку без них лягушка прыгать не станет - даже если мы этих комаров не видим. А комары тоже летают в соответствии с их программой, каждый в отдельности. И получается, что информация и материя не очень-то отделимы друг от друга.
А следовательно, теория хаоса, которая предполагает такое отделение как основу своего существования, несостоятельна.
Тем более, что с работами Пуанкаре, а также Колмогорова, Арнольда и Мозера я знаком - в меру своей невысокой эрудиции, конечно.
С детства люблю читать энциклопедии.
А автором приведенного мной возражения в действительности является весьма известный математик. Сможете определить - кто?
Значит, рынок-это хаос?
Значит город - это буква?
Второе: сразу вспомнил М.С.Горби, сказавшего как-то: "Нам достался ХАВОС!"...
А книга его со Стенгерс действительно очень интересная. Однако это вовсе не научная монография, а философско-популярная книга.
Как вспомню очередь "за Пригожиным" в Академкнигу от Первомайской до Ленина... с криками: "в одни руки больше 1-го набора не давать!!!", выяснениями: "вас здесь не стояло!"
Да, злорово он продвинул эту науку.
В самыую гущщщщщу масс.
Для примера скажу что 9-10 мая будет пик резонансных явлений нужно быть готовым к торнадо,возможен вулканический выброс и ураганные ветры,следите за новостями место и время указывать не буду.
Классическим примером хаоса является игровой автомат где шарик ударяется о разные препетствия. С него начинается большинство учебников по хаосу. Он полностью детерменстичен, расчитать его просто, но поведение шарика хаотично. Бесконечно малое различие в начальных условиях приводит огромной разнице в траектории.
Эту теорию изучал и проверял много лет, сначала ошибался, но истину нашёл, теперь можете меня судить, современная наука ещё долго будет голову ломать.
Это очень интересный момент. Вы точно сказали что хаотичность процесса не в том что нельзя просчитать траекторию, под частные начальные условия ее просчитать можно запросто, нужна лишь достаточная точность данных и вычислений. Правильно ли я понял что хаотичность определяется тем что не существует функционала зависимости траектории от начальных условий? То-есть не технические ограничения мешают (невозможность обеспечить нужную точность), а некий принцип? В природе понятно, тут проявляются квантовые свойства, и аналитика не работает именно принципиально. Но Теория Хаоса - это же математика, там не существует квантового уровня.
Для любого eps > 0, существует такое delta > 0, что если |x-x0|< delta, то |f(x)-f(x0)| < eps. В более общем случае это записывается:
Но, тем не менее, отображение входного множества в выходное производится по правилу, а не хаотично, просто в пространстве результатов "как бы" топология полностью искажена, все доминошки перепутаны, и поэтому линия отображается в хаотично разбросанные точки.
После такого успешного опубликованного прогноза - гарантированный успех.
У меня в Японии, по началу, была проблема: есть адрес написанный на бумажке (иероглифами), а стою на улице и пытаюсь понять - на доме написан тот же адрес или нет: это один и тот же иероглиф или разные: подсчет разных деталей не помогает - откуда я знаю что черточка проведенная горизонтально и под углом, это одно и тоже (просто различия подчерков) или это разные иероглифы. Недели две ушло что-бы сходу научиться различать.
Все рассмотренные примеры хаоса формально являются, тем не менее, совершенно обратимыми во времени. Т.е. в известном смысле - это не хаос. Понятие хаоса - яркий пример антропности описания.
Хаосом все эти примеры становятся лишь потому, что, во-первых, никакие вычисления невозможно провести с бесконечной точностью. К примеру, 64-разрядный компьютер обрезает мантиссу и как только требуемая точность рассматриваемых величин достигает этого предела, компьютерная модель теряет обратимость во времени. Второй фактор - несуществование в реальности абсолютно точечных объектов нулевого размера. Любой описываемый объект имеет конечный объём в фазовом пространстве. И вне зависимости от гладкости или запутанности траэктории точки в фазовом пространстве, эволюция элемента фазового объёма выглядит совершенно иначе: это "размазывание" его по всему 6N-мерному пространству (примерно как растекание капли чернил в воде). Что и приводит в конечном итоге к необратимости. Являющейся, по сути, лишь невозможностью абсолютно точного описания системы.
Я ведь о настоящей обратимости сказал, т.е. о механической. А вовсе не о том, что может происходить в открытой диссипативной системе, которую невозможно свести к механической. В которой обратимости быть не может по определению. Если даже такой результат опыта возможен, то это, как вы понимаете, вовсе не обратимость.
Антропность конечно налицо, ибо понятие "хаос" не подходит для строгого определения, ведь это то, в чем наша интуиция не в состоянии выцепить закономерность, обладающую хоть мало-мальской практической полезностью для прогнозирования. И не будь интуиции - не было бы и хаоса. А если в своей хаотической пляске частицы спонтанно будут образовывать правильные фигуры, то интуиция укажет на присутствие разума.
А математическое определение хаоса - это когда не сохраняется объем в фазовом пространстве? То-есть, не выполняется теорема Лиувилля?
Обратимость действительно существует лишь до тех пор, пока работает теорема Лиувилля. Чтобы говорить о хаосе, т.е. ввести сжимаемость фазового пространства в динамической системе, мы должны принять дополнительные предположения. Такими предположениями обычно являются вносимые "руками" ограничения на "различимость" различных участков решения. Т.е. предполагается искусственное загрубление системы. Фактически, это то же самое, что и эргодическая гипотеза.
Важным для хаоса является также число степеней свободы. Если N=2 и есть два инварианта, тогда в фазовом пространстве существуют вложенные торы и траэктория дин.системы всегда ограничена ими. Если же N > 2, тогда инвариантные торы не делят пространство и траэктория может уходить как угодно далеко от начальной точки. Кажется, это и есть диффузия Арнольда.
Общий критерий хаоса в гамильтоновской системе точно есть, но я не помню, как он формулируется. В частном случае, к примеру, можно задать условие перекрытия нелинейных резонансов и тогда траэктория становится блуждающей. Это и будет детерминированный хаос.
Мне видится что за свойствами хаоса стоит некий фундаментальный принцип, уровня закона больших чисел. Как думаете, если Теорию Хаоса совместить с вариационным исчислением? По-моему что-то там может вырисоваться.
Теорема Лиувилля относится к замкнутой системе, в том смысле, что все возможные решения уравнений движения лежат в рассматриваемом фазовом пространстве. И здесь совершенно неважно, является ли эта система подпространством более высокого порядка, или нет. Скажем, если я описываю одномерный маятник часов в двумерном фазовом пространстве (координата+скорость), то это описание полное до тех пор, пока мне не вздумается учесть, скажем, ещё и колыхания плоскости колебаний маятника, увеличив число степеней свободы. Тогда и размерность фаз.пр-ва увеличится, и теорема Лиувилля изменится.
А вариационное исчисление - это просто метод. Метод мощный и удобный. И во многих случаях даже предпочтительный. Хотя во многих других случаях и крайне неудобный. Но он ровным счётом ничего не добавляет к физике описываемого процесса.
Существует Второй закон Ньютона. Как говорится, F = ma. А почему он Закон? А потому что Ньютона озарило и он его придумал. И никто не обнаружил случаев невыполнения. То-есть, чистая физика.
Но был и другой подход к тому же вопросу, математический, через принцип наименьшего действия. "Мопертюи пришёл к этому принципу из ощущения, что совершенство Вселенной требует определенной экономии в природе и противоречит любым бесполезным расходам энергии". Вы, конечно, в курсе что из этого принципа получили функцию Лагранжа и все законы механики, Второй закон Ньютона и законы сохранения в том числе. То-есть, с одной стороны имеется решение математических уравнений, а с другой стороны оно является законом физики. Вот про это я говорю.
Может ведь и кто-то еще "из ощущения" прийти к принципу поведения динамической системы, если предположит, например, что в точке хаоса происходит рассогласование материи и сопряженной с ней информации. То-есть, рассматривать в этой точке лишь материальную компоненту системы нельзя, ибо тогда в фазовом пространстве не хватает измерений, система не полная, и мы будем наблюдать нарушения законов
1. сперва на основе соображений симметрии и фундаментальных законов сохранения строится лагранжиан рассматриваемой системы;
2. затем записывается функционал, т.е. некий интеграл от лагранжиана или заменяющей его функции. Этот функционал (интеграл), имеет смысл действия в механике, энтропии в кинетике, пути между точками в оптике, и т.д.
3. находя затем экстремумы этого функционала (иногда минимум, иногда максимум - это зависит от рассматриваемой проблемы) получаем уравнения, описывающие систему. Уравнения эти содержат дифф. операции над лагранжианом.
Это общий принцип и он работает везде. Но он ровным счётом ничего не добавляет к физике, изначально учтённой в лагранжиане. Он лишь конкретизирует процесс.
Это примерно как Максвелл вывел формулу распределения молекул по скоростям. Он предложил что проекции скорости по координатам не зависят друг от друга, составил систему и решил. Ну и получилась экспоненциальная зависимость. Для меня это означает что экспонента есть следствие ортогональности системы координат. И по-моему в хаосе что-то похожее содержится, какая-то информация, и ее можно извлечь именно математически. Но информация эта несет сведения о природе, о неких свойствах вселенной.
Но поспорить хочется, потому что автор по-моему прав, "само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой". Именно само существование, и ключ к пониманию этого тезиса в значении слова "наука". По умолчанию под наукой понимается естественная наука, физико-математическая. Традиционно предметом исследования этой науки была природа, то-есть материальный мир. А гуманитарная наука занималась обществоведением - экономика, социология, политология, психология. В гуманитарной области нет аксиоматик, строгих правил вывода и проч. Поэтому и происходят революции, социальные конфликты и прочие радости общественной жизни. Естественная наука кварки исследует, а общественная наука не может дать рекомендацию какой строй нужен нашей стране. Вот такой перекос.
А Теория Хаоса это первая попытка применить аппарат естественной науки в области отношений. Ведь что такое рынок? Это не материальный объект, а система отношений, экономических в первую голову, но не только, а еще и социальных, семейных, дружеских, деловых итп. То-есть, рынок - это информационный объект, и он не есть предмет естественной науки.
Если вспомнить классика,то..." В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики" (Кант)
С Кантом согласен, можно даже усилить - в природе нет ничего кроме математики. Но мы пока еще не всякую природную математику понимаем, не любую. Вот поэтому и буксуют общественные науки.
А что от физики останется, если из нее убрать математику, вы представляете? Она превратится в недоделанную философию, совершенно не нужную никому. Пусть уж они вместе будут естественной наукой )